歸納與演繹，數(shù)學建模的“左膀右臂”

黃蓮花

數(shù)學作為一門應(yīng)用性很強的科學，在實際生活中的應(yīng)用廣泛，這種應(yīng)用的廣泛性靠的是數(shù)學模型。模型是把現(xiàn)實生活中的數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系抽象成概念和符號，它們作為數(shù)學研究的對象，推進了數(shù)學自身的發(fā)展。而數(shù)學自身的發(fā)展得益于歸納推理及演繹推理，依靠推理，數(shù)學才具有了嚴謹性。由此，小學數(shù)學建模應(yīng)該重視歸納推理與演繹推理的教學，促進小學生建模意識的形成，最終提升其數(shù)學核心素養(yǎng)。

一、歸納推理——激發(fā)創(chuàng)新意識

小學數(shù)學建模教學，是從現(xiàn)實情境中抽象出數(shù)學問題，圍繞著研究對象所呈現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律或空間形式，建立數(shù)學抽象層面的符號化結(jié)論。這個過程，歸納推理發(fā)揮著關(guān)鍵作用。所謂的歸納推理，就是從特殊到一般的推理方法，通過觀察某類事物中部分對象以發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)，從而推導(dǎo)出該類事物具有這種性質(zhì)。由此可以看出，模型建立的過程中，首先，尋找相關(guān)的特殊實例，使之成為教學研究的一類對象，這是歸納推理的重要內(nèi)容;其次，引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)這一類對象的共性之處，進而推理概括出符號化結(jié)論，即數(shù)學模型，這是歸納推理的重要結(jié)果。歸納推理的過程，猜測、驗證、舉例、觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納，學生在經(jīng)歷這個過程中，不僅由已知發(fā)現(xiàn)了未知，而且激發(fā)了學生主動思考、主動創(chuàng)新的意識。

例如，教學人教版五上“平行四邊形的面積”一課。學生從現(xiàn)實情境中抽象出數(shù)學問題“這個平行四邊形的面積怎么求”之后，可進入如下幾個環(huán)節(jié)的探究。

（1）驗證本案例中的兩種猜測“6×5”或“6×3”。引導(dǎo)學生先數(shù)方格，用剪拼法進行驗證后，再借助填寫表格和觀察數(shù)據(jù)，不但發(fā)現(xiàn)“6×3”是正確答案，而且發(fā)現(xiàn)這個平行四邊形的面積正好是底乘高的積。

（2）猜測平行四邊形的面積計算方法。此時，筆者追問：“看來這個平行四邊形的面積與它的底乘高的積有關(guān)系。是不是所有的平行四邊形的面積都可以用底乘高計算呢？你有什么好辦法驗證下？”

（3）多個案例驗證平行四邊形的面積計算方法。引導(dǎo)學生數(shù)一數(shù)另外3個平行四邊形的面積，并填寫表格。（筆者通過多媒體展示方格紙圖，并在圖上出示標有底和高的平行四邊形3個，圖略）

（4）概括得出平行四邊形的面積計算公式。此時，學生通過觀察表格中面積與底和高之間的關(guān)系，可以推導(dǎo)出平行四邊形的面積等于底乘高。

上述四個環(huán)節(jié)的教學，學生經(jīng)歷了兩次猜測，兩次驗證，借助數(shù)方格和觀察數(shù)據(jù)，學生從所舉出的案例中，發(fā)現(xiàn)了每一個平行四邊形的面積與它的底和高之間存在著一定的關(guān)系，即“面積=底×高”。由此，完成了歸納推理的過程。這樣的設(shè)計，學生是通過對一個個不同實例的思考、操作、觀察、分析，發(fā)現(xiàn)實例間的共性，進而推理得出結(jié)論的，學生的主動性、思考性都得以彰顯，創(chuàng)新性得到培養(yǎng)。

二、演繹推理——培育科學精神

演繹推理是從一般到特殊的推理方法，其一般模式包括：大前提——已知的一般原理，小前提——要研究的論斷，結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況作出的判斷。演繹推理在于證明結(jié)論而不在于發(fā)現(xiàn)結(jié)論，引導(dǎo)學生經(jīng)歷演繹推理的過程，可以讓學生感受到數(shù)學結(jié)論的嚴謹性，培育敬畏科學的精神。

例如，在通過歸納得出平行四邊形的面積等于底乘高后，教學不應(yīng)止步于此，還需要完成如下幾個環(huán)節(jié)的論證過程。

（1）繼續(xù)追問，引導(dǎo)質(zhì)疑。問題：僅僅舉幾個例子，就能確定所有的平行四邊形面積等于底乘高嗎，還是要繼續(xù)舉例，越多越好？或是有更好的方法？

（2）運用轉(zhuǎn)化的方法探究。這個過程要處理好幾個問題：一是為什么要將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形？二是如何轉(zhuǎn)化？三是轉(zhuǎn)化前后圖形各部分之間什么變了，什么不變？

（3）推導(dǎo)出面積公式。學生反饋交流后，圍繞著怎樣得出平行四邊形的面積計算公式這一主旨，就有了演繹推理三段論的過程：長方形的面積等于長乘寬（大前提），平行四邊形的面積等于轉(zhuǎn)化后的長方形的面積，平行四邊形的底和高相當于長方形的長和寬（小前提），所以，平行四邊形的面積等于底乘高（結(jié)論）。

歸納得出的概念可以真也可以假，如何讓學生領(lǐng)悟和感受真假結(jié)論是教學中的重點。從上述片段教學中可以看出，引導(dǎo)質(zhì)疑是一個好的方法，通過尋找一個更好的解決途徑，借助已知與未知間的關(guān)聯(lián)，推斷出未知，確保結(jié)論的正確性。從中學生也能體會數(shù)學思維的邏輯條理，學習科學方法，培育科學精神。

三、兩者并舉——積累活動經(jīng)驗

小學數(shù)學建模教學旨在培養(yǎng)學生的建模意識，形成建模思想，積淀數(shù)學基本活動經(jīng)驗。積淀數(shù)學基本活動經(jīng)驗，需要親身經(jīng)歷和感悟歸納推理和演繹推理的過程，從而形成一定的思維模式，建立一定的數(shù)學直觀。歸納推理在于由已知發(fā)現(xiàn)未知，演繹推理在于驗證結(jié)論。歸納推理，本質(zhì)上是從經(jīng)歷過的東西推斷沒有經(jīng)歷過的東西。經(jīng)驗不是靠教出來的，而是親身經(jīng)歷過程，自己感悟出來的。當然，親身經(jīng)歷過程未必有感悟，必須是這個過程有發(fā)生“故事”或者“事故”，引發(fā)了學生的思考，吸取了教訓，才成為了經(jīng)驗。因此，這里的“故事”或者“事故”就成為了教學的焦點。

例如，情境創(chuàng)設(shè)蘊含實例與非實例問題，即上述猜測的兩種答案“6×3”（底×高）或“6×5”（鄰邊×鄰邊），可看成是學生經(jīng)歷歸納過程中的一個“故事”。因為這個“故事”，維系了學生已有的經(jīng)驗，依據(jù)“長方形的面積=長×寬，長與寬是相鄰的邊，同時又是互相垂直的兩條邊”這個經(jīng)驗，推斷出上述的兩種答案。通過驗證，借助方格紙中的“剪切法”又是另一個“故事”，經(jīng)歷這個過程，學生獲得了新的經(jīng)驗，一是感悟到了平行四邊形的面積不是與相鄰的邊有關(guān)，而是與相互垂直的兩條邊有關(guān);二是積累了“面積就是面積單位的累加”的這一內(nèi)涵的直觀感知;三是為后面的演繹推理蘊伏了方法經(jīng)驗。接下來的再猜測再驗證更是一個“故事”，學生獲得了歸納的經(jīng)驗，形成“從特例入手，嘗試性歸納探索一般規(guī)律或結(jié)論”的思維方式。最后，借助演繹推理過程驗證歸納得出的結(jié)論;進而再推廣到另外一些特例中去，獲得實踐活動的經(jīng)驗。

歸納與演繹，兩者同樣重要。經(jīng)歷歸納與演繹的過程，就是自主體驗、感悟和積累“創(chuàng)新”與“邏輯”經(jīng)驗的過程，長期積累形成經(jīng)驗后，就會成為自己獨特的思維模式，最終演變?yōu)橐欢ǖ臄?shù)學直觀，從而在遇到類似的問題或新的問題時能下意識地回憶或聯(lián)想，能作出一定的直觀判斷。歸納與演繹恰似建模的“左膀右臂”，在建立數(shù)學模型的過程中起著舉足輕重的作用。

（作者單位：福建省廈門市文安小學? ?責任編輯：王振輝）