帶有源項(xiàng)的Chaplygin氣體非對(duì)稱Keyfitz-Kranzer方程組含狄拉克初值的廣義黎曼問(wèn)題?

宋赟，郭俐輝

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,新疆烏魯木齊830046)

0 引言

帶有源項(xiàng)的Chaplygin氣體非對(duì)稱Keyfitz-Kranzer方程組具有以下形式

其中β是常數(shù)，ρ(x,t),u(x,t)分別表示密度和速度，壓力P滿足

當(dāng)β=0時(shí),方程組(1)屬于非對(duì)稱Keyfitz-Kranzer方程[1]

其中φ(ρ,u)=f(u)?P(ρ).方程組(1)是由Aw和Rascle[2]提出的關(guān)于交通流的宏觀模型,其中壓力P是光滑的、嚴(yán)格遞增函數(shù)且滿足

關(guān)于Aw-Rascle模型的更多結(jié)果,讀者可參看[3-5].Lu[6]對(duì)方程組(1)作如下假設(shè)

稱為帶有源項(xiàng)的Chaplygin氣體非對(duì)稱Keyfitz-Kranzer方程組含狄拉克初值的廣義黎曼問(wèn)題,其中ω0>0,ρ±>0,u±,u0是常數(shù).關(guān)于狄拉克初值的廣義黎曼問(wèn)題,讀者可參看[11-14].Li[15]利用速度變換

得到了方程組(1)–(2)的黎曼解,其中速度變換(5)是由Faccanoni和Mangeney[16]提出的.

本文主要研究了初值問(wèn)題(1)–(2)和(4)的解.方程組(1)–(2)的所有特征都是線性退化的,故其基本波為接觸間斷.當(dāng)時(shí),其黎曼解中會(huì)出現(xiàn)狄拉克激波.在一些宇宙學(xué)理論中,狄拉克激波的形成表明了宇宙在不同時(shí)期的進(jìn)化.關(guān)于狄拉克激波的研究,請(qǐng)參看[17-24].

1 預(yù)備知識(shí)

在本節(jié)中,我們簡(jiǎn)單陳述方程組(1)–(2)的黎曼問(wèn)題,關(guān)于此問(wèn)題的詳細(xì)理論讀者請(qǐng)參看[15].

運(yùn)用速度變換(5),方程組(1)–(2)可以轉(zhuǎn)化為守恒律形式

由[15]可知，相平面可分為五個(gè)區(qū)域(見(jiàn)圖1).

圖1 (ρ,v)-平面Fig 1 Phase Plane

當(dāng)右狀態(tài) (v+,ρ+)∈(I∪II∪III∪IV)時(shí),解由接觸間斷J1和J2組成,且

中間狀態(tài) (v?,ρ?) 滿足

w(t)和uδ(t)=vδ+βt分別表示狄拉克激波的權(quán)和速度,且狄拉克激波滿足下面的廣義Rankine-Hugoniot條件

由(11)式,可得:

當(dāng) ρ+6=ρ?時(shí),

當(dāng) ρ+=ρ?時(shí),

且狄拉克激波滿足如下形式的廣義熵條件

此外,廣義Rankine-Hugoniot條件(11)式也等價(jià)于廣義Rankine-Hugoniot條件

2 帶有狄拉克初值的黎曼問(wèn)題

情形1

圖2 情形1:v+++

且狄拉克激波解(16)滿足如下廣義Rankine-Hugoniot條件

其中[ρ]=ρ+?ρ?.

接下來(lái),通過(guò)求解常微分方程(17)式,我們可得到狄拉克激波的位置、權(quán)和速度.

對(duì)(17)式兩邊從0到t積分,可得

由(18)式得

從而(19)式可化為

(22)式等價(jià)于

對(duì)(23)式在[0,t]上積分,可得

當(dāng)ρ+6=ρ?時(shí),我們有

由(18)式和(24)式,可得

其中

由v++ω0>0.聯(lián)立(18)式和(21)式,我們可以推出

當(dāng)ρ+=ρ?時(shí),(24)式是關(guān)于變量x的一個(gè)線性函數(shù),因此

從(18)式,可得

由(30)式和(21)式,可得

注1(漸近性) 當(dāng) ρ+6=ρ?時(shí),由(25)–(28)式,我們有

和

(32)–(34)式與初值問(wèn)題(1)–(2)的黎曼解中狄拉克激波的權(quán)、位置和速度相同.類似,當(dāng)ρ+=ρ?時(shí),可得到相同的結(jié)果.這表明在初值(4)下構(gòu)造的黎曼解是穩(wěn)定的.

注2當(dāng)v0=0,ω0=0,初值問(wèn)題(1)–(2)和(4)的黎曼解與方程組(1)–(2)的黎曼解相同.

情形2v?≤v0≤v++.

根據(jù) v0,v?,v++的大小關(guān)系,又可以分四種子情形進(jìn)行討論.

情形2.1v?

當(dāng)t充分小時(shí),初值問(wèn)題(1)–(2)和(4)的解可構(gòu)造為(見(jiàn)圖3)

圖3 情形2.1:v?

其中

狄拉克激波滿足廣義Rankine-Hugoniot條件(17),其中[ρ]=ρ2?ρ1.當(dāng)把(25)–(28)式中的?,+分別換成1,2時(shí),我們可得狄拉克激波的速度、位置和權(quán)分別為

當(dāng)ω(t)=ω0?t=0時(shí),有t1:=t=ω0,這表明δ-激波在t1時(shí)刻消失(見(jiàn)圖3).

當(dāng)t>t1時(shí),我們可構(gòu)造如下形式的解(見(jiàn)圖3)

其中

接觸間斷J1,J2的傳播速度分別為

情形2.2v?=v0

我們構(gòu)造初值問(wèn)題(1)–(2)和(4)的解為(見(jiàn)圖4)

圖4 情形2.2:v?=v0

圖5 情形2.3:v?

其中u2,ρ2由(35)式給出,接觸間斷J2的傳播速度由(39)式給出.狄拉克接觸間斷的速度、位置和權(quán)分別為

我們可驗(yàn)證狄拉克接觸間斷滿足廣義Rankine-Hugoniot條件(17).

情形2.3v?

與情形2.2類似,初值問(wèn)題(1)–(2)和(4)的解可構(gòu)造為(見(jiàn)圖5)

狄拉克接觸間斷的位置、權(quán)和速度分別為

情形2.4v?=v0=v++.

初值問(wèn)題(1)–(2)和(4)的解為

其中狄拉克激波的權(quán)、速度和位置分別為

易驗(yàn)證(42)式滿足廣義Rankine-Hugoniot條件(11).此外,狄拉克激波滿足熵條件

注3當(dāng)v0=0,ω0=0時(shí),則初值問(wèn)題(1)–(2)和(4)的黎曼解與方程組(1)–(2)的黎曼解相同.

情形3v0

我們尋找初值問(wèn)題(1)–(2)和(4)的具有如下形式的分片光滑解(見(jiàn)圖6)

圖6 情形3:v0

狄拉克激波滿足廣義Rankine-Hugoniot條件

其中 [ρ]=ρ??ρ?.

由式(45)和(46)2,可得

聯(lián)立(45)式及(46)3,我們有

根據(jù)(47)–(48)式,我們得到與[13]一致的等式

其中 A=ω0(ρ?v?+1?ρ?v0),并且

令

可得

從而由(49)式和(51)式,得到狄拉克激波的權(quán)為

進(jìn)而,有

這表明δ–激波永遠(yuǎn)不會(huì)穿過(guò)J2.

當(dāng)v?

情形4v0

在這種情形下,由(55)式,可知存在唯一的t?,使得uδ(t?)=v+++βt(見(jiàn)圖7).因此,當(dāng) 0≤t≤t?時(shí),初值問(wèn)題(1)–(2)和(4)的解與情形3相同

圖7 情形4:v0

其中,當(dāng)0

當(dāng) t>t?時(shí),假設(shè) t=t??時(shí),δS1將全部穿透 J2.當(dāng) t?

其中 [ρ]=ρ?(t1)?ρ?.

當(dāng)t>t??時(shí),解的表達(dá)式與情形1類似.可以構(gòu)造如下形式的解(見(jiàn)圖7)

這里,t??由決定.其中,位置、權(quán)和速度滿足廣義Rankine-Hugoniot條件 (17)和初始條件

下面,我們給出主要結(jié)果.

定理1初值問(wèn)題(1)–(2)和(4)的解有如下情形:

(1)當(dāng)v++

(2)當(dāng)v?≤v0≤v++時(shí),(1)–(2)和(4)的解中包含接觸間斷,狄拉克激波和狄拉克接觸間斷.

(3)當(dāng)v0