考慮對(duì)流和擴(kuò)散兩種動(dòng)力學(xué)起源的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)行走模型*

楊曉榮 王瓊 葉唐進(jìn) 土登次仁

1)(西藏大學(xué)理學(xué)院,拉薩 850000)

2)(西藏大學(xué)工學(xué)院,拉薩 850000)

1 引 言

近年來(lái),反常輸運(yùn)的研究受到了極大的關(guān)注.人們發(fā)現(xiàn)在很多地質(zhì)和生物系統(tǒng)中廣泛存在反常輸運(yùn)現(xiàn)象并提出了相應(yīng)的研究模型[1?9].與經(jīng)典的正常輸運(yùn)過(guò)程不同,反常輸運(yùn)通常表現(xiàn)出1)非高斯的傳播子,以及可能帶來(lái)的2)粒子均方位移與時(shí)間的非線性標(biāo)度關(guān)系.比如,一系列研究孔隙介質(zhì)中示蹤劑粒子輸運(yùn)過(guò)程的實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬結(jié)果[10?13]表明: 當(dāng)Péclet數(shù)(Pe)較大時(shí),即對(duì)流相比于擴(kuò)散對(duì)粒子輸運(yùn)行為的影響重要得多時(shí),上述兩種反常性質(zhì)其實(shí)是“正?！钡?它們是一般孔隙介質(zhì)輸運(yùn)過(guò)程的“典型”特征.近期的研究表明這種反常輸運(yùn)的典型性是流體動(dòng)力學(xué)與孔隙結(jié)構(gòu)耦合的結(jié)果[14?17].由于邊界層的影響,孔隙介質(zhì)的壁面附近存在較大的速度梯度,引起了非均勻的空間速度分布,而孔隙空間的結(jié)構(gòu)復(fù)雜性加劇了速度分布的異質(zhì)性.當(dāng)流場(chǎng)對(duì)輸運(yùn)過(guò)程起主要影響,并且流場(chǎng)的速度分布具有強(qiáng)烈的異質(zhì)性時(shí),粒子的輸運(yùn)行為將嚴(yán)重偏離經(jīng)典的對(duì)流擴(kuò)散方程所做出的預(yù)測(cè),出現(xiàn)反常行為.反之,當(dāng)Pe變小,即擴(kuò)散的作用變得大于對(duì)流的作用時(shí),上述的反常現(xiàn)象逐漸消失,粒子的輸運(yùn)行為表現(xiàn)為正常的,可以由達(dá)西尺度的對(duì)流擴(kuò)散方程描述,同時(shí)傳播子為高斯型,且粒子的均方位移與時(shí)間呈線性標(biāo)度關(guān)系[18?20].

由此可以看出: 當(dāng)孔隙介質(zhì)結(jié)構(gòu)給定時(shí),對(duì)流與擴(kuò)散作用的相對(duì)重要性變化可以引起輸運(yùn)性質(zhì)的定性改變[13,17].本文的目的即是對(duì)這種改變進(jìn)行初步探索,提出理論上的定性和半定量(如均方位移與時(shí)間的標(biāo)度指數(shù))理解.本文的結(jié)果對(duì)于地下水污染物運(yùn)移行為的認(rèn)識(shí)、模擬以及預(yù)測(cè)具有一定的理論和現(xiàn)實(shí)意義.

2 考慮對(duì)流和擴(kuò)散兩種動(dòng)力學(xué)起源的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)行走模型

2.1 建模原則

采取經(jīng)典的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)行走模型對(duì)孔隙介質(zhì)中的輸運(yùn)過(guò)程進(jìn)行建模.之前的工作表明該模型可以成功描述一系列反常輸運(yùn)過(guò)程,包括有機(jī)大分子在細(xì)胞內(nèi)的擴(kuò)散過(guò)程,以及溶質(zhì)分子在孔隙介質(zhì)中的輸運(yùn)等.對(duì)于我們感興趣的巖土介質(zhì)中的輸運(yùn)過(guò)程,近年來(lái)發(fā)展起一種新的技術(shù),即對(duì)巖土孔隙介質(zhì)進(jìn)行掃描,并對(duì)掃描圖像進(jìn)行處理得到相應(yīng)的孔隙空間.在孔隙空間上,人們可以進(jìn)行流體動(dòng)力學(xué)模擬,直接求解Navier-Stokes方程和對(duì)流擴(kuò)散方程來(lái)考察輸運(yùn)過(guò)程[13,17]; 或者可以進(jìn)一步對(duì)孔隙空間進(jìn)行簡(jiǎn)化抽象,將其看成一個(gè)網(wǎng)絡(luò),這樣可以利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的一些結(jié)果考察網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)輸運(yùn)性質(zhì)的影響[21].對(duì)于前者,人們發(fā)現(xiàn)連續(xù)時(shí)間隨機(jī)行走模型可以成功解釋觀察到的輸運(yùn)現(xiàn)象; 對(duì)于后者,孔隙網(wǎng)絡(luò)提供了一個(gè)天然的框架,把經(jīng)典的建立在規(guī)則晶格上的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)行走模型推廣到網(wǎng)絡(luò)上.孔隙網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)為較大的“孔”,而連邊為相對(duì)狹長(zhǎng)的“喉道”.孔隙空間的結(jié)構(gòu),特別是孔和喉道的形成與具體的物理過(guò)程相關(guān).比如對(duì)于典型的沉積巖,孔喉的形成是顆粒物質(zhì)沉降后在長(zhǎng)期的地質(zhì)作用下形成的,不同類(lèi)型巖石的孔隙結(jié)構(gòu)也有不同的特征.圖1給出了取自拉薩周?chē)貐^(qū)的一塊巖心樣本的CT掃描圖像,以及相應(yīng)的孔隙空間.通過(guò)這些圖像信息,可以建立相應(yīng)的孔隙網(wǎng)絡(luò).我們發(fā)現(xiàn)連續(xù)時(shí)間隨機(jī)行走理論仍然可以對(duì)網(wǎng)絡(luò)上的輸運(yùn)性質(zhì)進(jìn)行解釋.關(guān)于這方面的具體數(shù)值模擬結(jié)果我們將在另外的工作中報(bào)道,本文主要討論與此相關(guān)的理論建模方面的問(wèn)題.

圖1 拉薩周邊地區(qū)某巖心樣本的CT掃描圖像(左)及其對(duì)應(yīng)的孔隙空間(右)Fig.1.Left: Micro-CT image of a rock sample from Lhasa;Right: the corresponding pore space extracted from the left image.

在孔隙網(wǎng)絡(luò)上,粒子從一個(gè)節(jié)點(diǎn)向另一個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)進(jìn)行跳躍,相鄰兩次跳躍的空間位移矢量為相應(yīng)的連邊,而時(shí)間間隔物理上等于粒子通過(guò)該連邊所需要的時(shí)間.統(tǒng)計(jì)上看,粒子的躍遷過(guò)程是隨機(jī)的,由兩個(gè)概率密度分布函數(shù)決定: 一個(gè)為位移矢量的分布,包括位移大小和方向,另一個(gè)為等待時(shí)間分布w(t).本文不考慮前者可能帶來(lái)的反常結(jié)果,如Lévy飛行[6,7],因?yàn)楫?dāng)孔隙介質(zhì)不存在宏觀天然裂縫的時(shí)候,不會(huì)出現(xiàn)長(zhǎng)距離的輸運(yùn).因此只考慮后者可能帶來(lái)的影響.眾所周知,理論上當(dāng)?shù)却龝r(shí)間的一階矩發(fā)散,或者一階矩有限而二階矩發(fā)散時(shí),會(huì)出現(xiàn)反常輸運(yùn)現(xiàn)象[4,18].生物大分子在細(xì)胞內(nèi)的反常擴(kuò)散是第一種情況的典型代表; 而在存在對(duì)流的情況下孔隙介質(zhì)中的溶質(zhì)輸運(yùn)過(guò)程是后者的典型代表.在此過(guò)程中,粒子的輸運(yùn)過(guò)程明顯受到對(duì)流和擴(kuò)散的共同影響,具有雙重的動(dòng)力學(xué)起源,但是在傳統(tǒng)的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)行走模型中,等待時(shí)間分布并未區(qū)分這兩者分別的影響,從而物理意義不是特別明確,無(wú)法用于考察對(duì)流和擴(kuò)散兩種機(jī)制對(duì)輸運(yùn)過(guò)程影響的區(qū)別.

基于此,本文發(fā)展了經(jīng)典的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)行走模型[3,4],在等待時(shí)間分布中明確引入了對(duì)流和擴(kuò)散對(duì)粒子躍遷過(guò)程的影響.為了引入等待時(shí)間分布,我們先考慮復(fù)雜孔隙介質(zhì)中的流速場(chǎng)分布.假設(shè)孔隙介質(zhì)的復(fù)雜結(jié)構(gòu)可以使得流速場(chǎng)足夠“隨機(jī)”(通常是可以接受的),并且我們主要關(guān)注的是宏觀壓力降方向的輸運(yùn)過(guò)程,那么可以考慮速度絕對(duì)大小的分布f(v).對(duì)于一個(gè)局域特征長(zhǎng)度lc,粒子躍遷該長(zhǎng)度所需要的時(shí)間是不失一般性,令lc=1,以此定義粒子的等待時(shí)間,則有注意該公式實(shí)際上考慮的是Pe為無(wú)窮大的情況下等待時(shí)間的分布,即只考慮對(duì)流,并沒(méi)有考慮擴(kuò)散的影響.然而數(shù)值計(jì)算的結(jié)果表明,當(dāng)Pe增加到一定程度時(shí),即對(duì)流相對(duì)于擴(kuò)散的作用強(qiáng)到一定程度時(shí),該冪律分布即可以達(dá)到很好的近似[17].文獻(xiàn)中一般以此時(shí)的w(t)分布來(lái)分析反常輸運(yùn)的均方位移隨時(shí)間變化的冪律指數(shù).但粒子實(shí)際上同時(shí)受到對(duì)流和擴(kuò)散作用的影響,一般來(lái)說(shuō),速度大小的概率分布式是比較復(fù)雜的,并且顯式依賴于流場(chǎng)的邊界條件、孔隙結(jié)構(gòu)、溫度、流體黏度等.但在此并不關(guān)注其可能的精確表達(dá)式,而是研究在一階近似下這些可能的分布函數(shù)的共性特征.為此,作為對(duì)經(jīng)典模型的一個(gè)直接推廣,本文把f(v)寫(xiě)成一個(gè)混合模型的形式:

其中a1≥ 0,a2≥ 0,且a1+a2=1,f1為對(duì)流引起的粒子躍遷速度大小的概率密度分布函數(shù),而f2為由擴(kuò)散引起的粒子躍遷速度大小的概率密度分布函數(shù).該模型形式上區(qū)分了對(duì)流和擴(kuò)散的不同影響,在物理上,不同的輸運(yùn)機(jī)制體現(xiàn)為f1和f2統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的定性區(qū)別.對(duì)流和擴(kuò)散對(duì)輸運(yùn)過(guò)程的相對(duì)影響力體現(xiàn)在權(quán)重因子a1和a2上.當(dāng)a1→1,對(duì)流起主導(dǎo)作用; 當(dāng)a2→1,擴(kuò)散起主導(dǎo)作用.考慮到基于對(duì)流與基于擴(kuò)散的輸運(yùn)過(guò)程呈現(xiàn)出定性上完全不同的特點(diǎn),本文在一階近似下把總的速度分布寫(xiě)成這兩種因素的線性疊加,這就是本文分析的基本出發(fā)點(diǎn).基于該模型,可以定性和半定量地研究輸運(yùn)過(guò)程統(tǒng)計(jì)特征的變化.

2.2 理論分析

仍然保留經(jīng)典的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)行走模型的理論分析框架,考慮在t=0時(shí)刻粒子位于x=0,可以寫(xiě)出粒子的躍遷方程[3,10]:

其中h(x,t)是粒子“剛剛”在t時(shí)刻到達(dá)x點(diǎn)的概率密度,l是躍遷位移的概率密度.那么粒子在t時(shí)刻仍處于x點(diǎn)的概率密度為

圖2 等待時(shí)間分布w(t)~t–1–a示意圖,不同統(tǒng)計(jì)特征導(dǎo)致定性上不同的輸運(yùn)行為.以a=2為界,當(dāng)a > 2時(shí)輸運(yùn)行為是正常的,當(dāng)0 2,the transport behavior is normal;while when 0

假定l(k)具有良好的性質(zhì),不會(huì)導(dǎo)致反常輸運(yùn).這在巖土類(lèi)孔隙介質(zhì)中是合理的假設(shè),因?yàn)槿苜|(zhì)粒子的躍遷距離因?yàn)榭紫督Y(jié)構(gòu)的限制而不會(huì)具有特別大的差異.則可以在k=0的鄰域?qū)(k)展開(kāi)為

這即是

所以有

綜上可得粒子的均方位移隨時(shí)間的關(guān)系為

由(10)式可見(jiàn),當(dāng)a1→ 0,即否則物理上,a1→ 0意味著對(duì)流的作用被極大削弱,擴(kuò)散為主導(dǎo)項(xiàng),所以表現(xiàn)出的標(biāo)度律,即此時(shí)為正常擴(kuò)散.反之,若a2→0,則對(duì)流占據(jù)主導(dǎo),此時(shí)表現(xiàn)出反常輸運(yùn)的特征而在一般情況下,兩者都不可以被忽略時(shí),隨著時(shí)間的變化關(guān)系介于和t之間,取決于(10)式右邊各項(xiàng)的相對(duì)大小關(guān)系.

根據(jù)方程(10)式,在定性和半定量上,我們提出的考慮對(duì)流和擴(kuò)散兩種動(dòng)力學(xué)起源的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)行走模型給出了輸運(yùn)過(guò)程的合理理論解釋.

2.3 宏觀輸運(yùn)方程

基于上述結(jié)果,還可以進(jìn)一步發(fā)展具有工程意義的宏觀輸運(yùn)方程,用于描述地下水污染物的運(yùn)移行為.通過(guò)對(duì)感興趣的地理區(qū)域的巖石進(jìn)行掃描分析建模,計(jì)算流體力學(xué)模擬[13,17],可以理論上得到反常冪指數(shù)a; 通過(guò)巖心物理實(shí)驗(yàn)結(jié)果,可以對(duì)下述方程中的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行擬合[3],最終可以得到符合該地區(qū)巖土介質(zhì)特點(diǎn)的輸運(yùn)方程.

注意到

進(jìn)行逆變換得:

當(dāng)a1→0,即B→0時(shí),va,Da→0,得到了經(jīng)典的對(duì)流擴(kuò)散方程,反之,則得到了用于描述反常輸運(yùn)的分?jǐn)?shù)階對(duì)流方程.注意(12)式在形式上與以前得到過(guò)的方程一致[17,18],但本文是在區(qū)分對(duì)流和擴(kuò)散的物理效果上重觀此結(jié)果,具有更清楚的物理意義.這些系數(shù)(v1,D1,va,Da)一方面由對(duì)流和擴(kuò)散的相對(duì)重要性決定,另一方面也和孔隙空間的結(jié)構(gòu)緊密相關(guān).特別是后兩者,它們實(shí)際上都依賴于a,而如上所述,a由流體動(dòng)力學(xué)和孔隙結(jié)構(gòu)給出[17].

2.4 討 論

以上主要研究的是在連續(xù)時(shí)間隨機(jī)行走模型中,由對(duì)流決定的那部分等待時(shí)間分布函數(shù)中a的取值范圍是1

直接對(duì)上述兩式進(jìn)行逆Laplace變換得不到解析解,只能進(jìn)行數(shù)值求解.但不難看出在擴(kuò)散主導(dǎo),a1=0的極限下這即是重現(xiàn)了正常輸運(yùn)的結(jié)果.另一方面,在對(duì)流主導(dǎo),a2=0的極限下而即

所以

類(lèi)似地,在a1=0的極限下,可以得到描述正常輸運(yùn)過(guò)程的經(jīng)典對(duì)流擴(kuò)散方程,而在a2=0的極限下其中其逆變換得到相應(yīng)的輸運(yùn)方程為

在兩者極限之間,得不到時(shí)間空間域的顯式解,但可以利用數(shù)值模擬進(jìn)行逆變換求解.

所以,盡管本文的關(guān)注點(diǎn)是1

3 總 結(jié)

本文通過(guò)考察復(fù)雜孔隙介質(zhì)中輸運(yùn)過(guò)程的特征,考慮了對(duì)流和擴(kuò)散的不同效果,提出具有不同動(dòng)力學(xué)起源的等待時(shí)間分布函數(shù),補(bǔ)充了經(jīng)典的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)行走模型,得到了一般情況下溶質(zhì)輸運(yùn)的長(zhǎng)時(shí)間漸進(jìn)行為,討論了對(duì)流和擴(kuò)散效應(yīng)的相對(duì)強(qiáng)弱對(duì)輸運(yùn)行為的定性和半定量影響,并針對(duì)正常和反常輸運(yùn)分別得到了相應(yīng)的宏觀輸運(yùn)方程.本文的結(jié)果有助于進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和模擬復(fù)雜孔隙介質(zhì)中的輸運(yùn)行為,對(duì)于研究地下水污染物的運(yùn)移行為具有一定的現(xiàn)實(shí)意義和工程價(jià)值.