源自弦景觀的有效Quintessence*

翟韓豫 申佳音 薛迅2)?

1)(華東師范大學(xué)物理系,上海 200241)

2)(新疆大學(xué)理論物理中心,烏魯木齊 830046)

1 引 言

從弦理論約化到描述低能物理的有效場(chǎng)論時(shí),需要將多出來(lái)的六個(gè)空間維度緊致化到非常小的微觀尺度,這一處理方法被稱之為弦理論的緊致化.在緊致化后,便可以用一個(gè)低能有效理論來(lái)描述熟悉的四維世界[1,2].弦論有10500種之多的緊致化方案,其中所有不等價(jià)的低能有效理論,其真空能的取值形成了一個(gè)復(fù)雜的“山脈地形圖”,構(gòu)成了所謂的弦景觀[3].

1998年通過(guò)觀測(cè)遙遠(yuǎn)超新星發(fā)現(xiàn)宇宙正在加速膨脹,德西特(de Sitter,dS)型的真空可以解釋宇宙的加速膨脹,但是從弦理論出發(fā),我們很難得到亞穩(wěn)的dS真空,并且基于dS真空的自洽有效場(chǎng)論都難以與量子引力相容.Vafa等[4,5]在2005年提出了沼澤地的概念,即弦景觀被一個(gè)更廣闊的沼澤地所包圍,并非所有的自洽有效場(chǎng)理論都可以從弦理論中導(dǎo)出,有許多看似自洽的有效場(chǎng)理論實(shí)際上和量子引力理論并不兼容,不具有紫外完備性,不屬于弦景觀,只能被排除到所謂的“沼澤地”當(dāng)中.Vafa等提出了兩個(gè)擬議的沼澤地判據(jù)并研究了其宇宙學(xué)含義,指出對(duì)于宇宙的后期加速膨脹來(lái)說(shuō),第二個(gè)沼澤地判據(jù)(對(duì)于任何自洽的量子引力理論的標(biāo)量勢(shì)V,當(dāng)V>0 時(shí),存在下限|??V|/V>c～O(1),c是正的常數(shù),單位為約化的普朗克單位)與亞穩(wěn) dS勢(shì)能不相容,但是quintessence類(lèi)型的勢(shì)能以及弦景觀的反德西特(anti-de Sitter,AdS)真空勢(shì)能可以與這兩個(gè)判據(jù)相容[6,7].

在Vafa等提出的“dS沼澤地”猜想中指出:dS空間不存在自洽的量子引力理論,它屬于沼澤地.其直接否定了弦理論中正的穩(wěn)定真空能的存在,用一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的勢(shì)來(lái)描述真空能量的話,存在兩種dS類(lèi)型的標(biāo)量場(chǎng)勢(shì)V[8,9],

1)亞穩(wěn)態(tài)的dS即具有局域極小的勢(shì)能類(lèi)型,如圖1所示.

圖1 亞穩(wěn)態(tài)dS的標(biāo)量勢(shì)VFig.1.The scalar potential V for a metastable dS.

2)quintessence場(chǎng)類(lèi)型即單調(diào)下降的勢(shì)能類(lèi)型,如圖2所示.

圖2 不穩(wěn)定dS的標(biāo)量勢(shì)VFig.2.The scalar potential V for an unstable dS.

沼澤地的兩個(gè)判據(jù)排除了亞穩(wěn)態(tài)的dS時(shí)空作為解釋晚期宇宙加速度膨脹的可能性.

洛倫茲不變性是物理學(xué)最嚴(yán)格的對(duì)稱性之一,然而在目前的量子引力理論中,很多模型都指向了洛倫茲對(duì)稱性的破缺[10,11].按照現(xiàn)在宇宙學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)模型,業(yè)界相信宇宙首先經(jīng)歷了量子引力主導(dǎo)的時(shí)期,隨后經(jīng)歷暴脹,暴脹結(jié)束后才開(kāi)始正常膨脹,然后在近期又開(kāi)始了加速膨脹,現(xiàn)在的可觀測(cè)宇宙是由量子引力主導(dǎo)時(shí)期的一個(gè)非常小的時(shí)空區(qū)域經(jīng)歷暴脹所得到的.量子引力的一個(gè)普遍的特征是洛倫茲破缺和非局域性,暴脹前洛倫茲破缺的時(shí)空區(qū)域尺度會(huì)隨著早期宇宙暴脹超出視界,在暴脹結(jié)束后的某個(gè)時(shí)間有可能又重新進(jìn)入視界或者尚未進(jìn)入視界,洛倫茲破缺時(shí)空區(qū)域的各個(gè)部分因?yàn)楸┟洷患彼倮_(kāi)遠(yuǎn)離,因而失去相互作用,使得洛倫茲破缺被凍結(jié)在大尺度上[12].因此,當(dāng)我們?cè)谘芯坑钪鎸W(xué)問(wèn)題時(shí)需要將大尺度上的洛倫茲破缺效應(yīng)考慮在內(nèi)[12?17].

廣義相對(duì)論是目前最成功的引力理論[18?20],但是涉及大尺度的天文觀測(cè)現(xiàn)象也有許多與單純廣義相對(duì)論預(yù)言不符合的現(xiàn)象.最困擾物理學(xué)界的就是為解釋宇宙加速膨脹而引進(jìn)的宇宙學(xué)尺度上斥力存在的暗能量假說(shuō),暗能量最簡(jiǎn)單的唯象模型是用宇宙學(xué)常數(shù)來(lái)描述暗能量,也就是所謂的ΛCDM模型.ΛCDM模型的問(wèn)題在于當(dāng)我們將宇宙學(xué)常數(shù)看成真空能量密度時(shí),天文觀測(cè)與理論預(yù)言之間存在很大差距,理論預(yù)言比天文觀測(cè)大了54到112個(gè)數(shù)量級(jí),這就必須使用精細(xì)調(diào)節(jié)機(jī)制,理論的置信度就被極大地降低.所以,導(dǎo)致宇宙后期加速膨脹的暗能量機(jī)制依然是一個(gè)亟待解決的問(wèn)題.

將考慮了大尺度洛倫茲破缺的引力理論運(yùn)用到宇宙學(xué),真空能量密度或者等效的宇宙學(xué)常數(shù)項(xiàng)并非導(dǎo)致宇宙加速膨脹的唯一原因,洛倫茲破缺效應(yīng)會(huì)貢獻(xiàn)一個(gè)等效的“暗能量”,兩者綜合在一起的結(jié)果會(huì)產(chǎn)生觀測(cè)到的宇宙后期加速膨脹.真空能量密度有點(diǎn)像一個(gè)裸的宇宙學(xué)常數(shù),考慮了大尺度洛倫茲破缺效應(yīng)在內(nèi)的等效能量密度是決定宇宙演化的有效宇宙學(xué)常數(shù)或者真空能量密度.暗能量的產(chǎn)生機(jī)制是宇宙學(xué)中最大的謎題,這方面的研究非?；钴S[21?31],我們從凍結(jié)在大尺度上的洛倫茲破缺導(dǎo)致物質(zhì)的暗伴的角度來(lái)思考這一機(jī)制是一個(gè)全新的視角.這樣我們發(fā)現(xiàn)弦景觀中裸宇宙學(xué)常數(shù)為負(fù)時(shí)也可以使宇宙產(chǎn)生加速膨脹,并在與ΛCDM模型做對(duì)比時(shí),導(dǎo)致一個(gè)作為有效真空能量密度的宇宙學(xué)常數(shù),其行為對(duì)于弦景觀表現(xiàn)為單調(diào)下降的類(lèi)quintessence勢(shì).對(duì)于大部分具有裸的正真空能量密度的沼澤地,有效宇宙學(xué)常數(shù)隨時(shí)間的演化會(huì)出現(xiàn)局域極小,與單調(diào)下降的quintessence勢(shì)所導(dǎo)致的演化不符.從而源自弦景觀的真空能量密度會(huì)給出滿足沼澤地判據(jù)的quintessence勢(shì),而亞穩(wěn)的dS真空正宇宙學(xué)常數(shù)的沼澤地模型給出的真空能量密度演化不是quintessence勢(shì),也就不能滿足第二個(gè)dS判據(jù).因此導(dǎo)致后期宇宙加速膨脹的有效勢(shì)只能來(lái)自弦景觀,其自然具有紫外完備性,所以給出了后期宇宙加速膨脹是早期量子引力的特征,從而避免了Vafa等文章中指出的弦沼澤地與后期加速膨脹難以相容的問(wèn)題.另外基于弦理論,其真空為AdS類(lèi)型,在用ΛCDM模型解釋宇宙后期加速膨脹時(shí)就需要正的宇宙學(xué)常數(shù),于是弦理論學(xué)家不得不構(gòu)造一些不自然的模型,將穩(wěn)定的AdS真空能量密度提升至正值,變成亞穩(wěn)的dS真空.我們通過(guò)考慮大尺度洛倫茲破缺效應(yīng),自然地實(shí)現(xiàn)了從裸的負(fù)真空能量密度提升至正的有效真空能量密度,避免了很多不自然的技術(shù),也避開(kāi)了沼澤地猜想的第二判據(jù).

2 大尺度洛倫茲破缺下的引力理論

要構(gòu)造包含大尺度洛倫茲破缺下的引力理論,可以借助規(guī)范原理,將局域?qū)ΨQ性加以約束進(jìn)行破缺[12].為引入局域SO(3)不變洛倫茲boost破缺的約束條件,我們先考察洛倫茲規(guī)范勢(shì)在局域SO(3)下的變換性質(zhì).規(guī)范勢(shì)在局域洛倫茲變換x7→Λ(x)x下滿足

即可得規(guī)范勢(shì)Au所滿足的約束條件為

函數(shù)fμ(x)可以認(rèn)為是洛倫茲破缺的量度,并且是參考系依賴的.

在Hilbert-Einstein作用量中加入Lagrange乘子項(xiàng)λu

其中Λ0是真空能量密度給出的裸宇宙學(xué)常數(shù),R為曲率標(biāo)量.需要注意的是,由于拉格朗日乘子項(xiàng)的存在,其對(duì)聯(lián)絡(luò)的運(yùn)動(dòng)方程的貢獻(xiàn)相當(dāng)于一個(gè)有效的角動(dòng)量張量,所以即使引力場(chǎng)的物質(zhì)源是無(wú)旋的,聯(lián)絡(luò)的運(yùn)動(dòng)方程也會(huì)偏離廣義相對(duì)論中的形式,一般的聯(lián)絡(luò)是有撓的,而非廣義相對(duì)論中的Levi-Civita聯(lián)絡(luò).

取滿足宇宙學(xué)原理的度規(guī)假設(shè),即FRW度規(guī)的形式

可以讀出瞬時(shí)共動(dòng)標(biāo)架為

在這個(gè)標(biāo)架下可以將聯(lián)絡(luò)運(yùn)動(dòng)方程和標(biāo)架的運(yùn)動(dòng)方程明確的寫(xiě)出來(lái).對(duì)標(biāo)架項(xiàng)進(jìn)行變分可以得到標(biāo)架運(yùn)動(dòng)方程

其中Γabu是Levi-Civita項(xiàng),Kabu是contortion項(xiàng).

對(duì)規(guī)范勢(shì)的運(yùn)動(dòng)方程加上約束條件整理可得

由宇宙學(xué)原理,宇宙介質(zhì)應(yīng)該是理想流體,其能動(dòng)張量具有理想流體的特征,由能量密度r和壓強(qiáng)p來(lái)描述,即由方程(7)得到必須是對(duì)角矩陣,由此可以解出可以非0,其他的contortion分量皆為0.又由于宇宙學(xué)原理要求只能是宇宙時(shí)t的函數(shù),所以

此時(shí),可以給出fμ與K(t)的關(guān)系

fμ中的三個(gè)自由度是由標(biāo)架的選取而被確定,剩余的一個(gè)自由度以K(t)表達(dá).注意到(7)式中的愛(ài)因斯坦張量Gab其聯(lián)絡(luò)Aabu是有撓的,記Aabu的無(wú)撓部分Levi-Civita聯(lián)絡(luò)Γabu所產(chǎn)生的相應(yīng)幾何量為且

我們可以將(7)式的標(biāo)架場(chǎng)方程改寫(xiě)為

由(7)式,(11)式和(14)式可以得到,對(duì)于理想流體暗伴的有效能量動(dòng)量張量為

由修正的Friedmann方程(11)可知宇宙的加速膨脹解應(yīng)該滿足

應(yīng)該注意的是(11)式中的K不能由(11)式確定,即便是給出了宇宙介質(zhì)的狀態(tài)方程.由(12)式可知,K可以用fμ來(lái)表示.fμ是我們之前唯象引入的,其演化應(yīng)該由量子引力和暴脹模型給出,目前的模型不能給出fμ或K的演化,為了確定K的演化規(guī)律,我們不得不做一些近似.因?yàn)棣獵DM模型是一個(gè)非常好的宇宙學(xué)唯象模型,可以借助其給出K的演化近似,基于ΛCDM模型的Friedmann方程

其中ρΛ1=Λ,pΛ1=?Λ.

由(16a)和(18a)式我們可以得到K(t)的初始條件

3 三種近似下的模型

第一種近似CaseA:

通過(guò)對(duì)比(16)式和(18)式,我們可以將K(t)與ΛCDM模型中的宇宙學(xué)常數(shù)L建立聯(lián)系

第二種近似CaseB:

宇宙介質(zhì)的狀態(tài)方程p(t)=w(t)ρ(t),代入到(16)和(18)式整理可得

大尺度洛倫茲破缺模型

ΛCDM模型

對(duì)比(21)式和(22)式可以得到

第三種近似CaseC:

因此將(20),(23),(24)式分別與(16)式結(jié)合并有初始條件是宇宙的當(dāng)今時(shí)刻,可以確定K(t)和哈勃參數(shù)H(t)的演化.修正的Friedman方程(16)式有兩個(gè)不同的解從ΛCDM模型的解來(lái)看,第一個(gè)解更合理.我們只考慮物質(zhì)為主的時(shí)期即表1對(duì)上述情況進(jìn)行了匯總.

表1 Lorentz破缺宇宙學(xué)的幾種模型Table 1.Proposed models of Lorentz violation cosmology.

圖3和圖4給出了不同初值下哈勃參數(shù)隨著時(shí)間的演化曲線.可以看出在哈勃時(shí)間附近的范圍內(nèi),這幾種模型的宇宙演化非常近似.在長(zhǎng)期的演化中,CaseB1與ΛCDM模型的演化結(jié)果趨近于完全相同,CaseA1和ΛCDM模型的結(jié)果相比要比CaseB1的差別大一些,CaseC1和ΛCDM模型的演化結(jié)果相比差別很大,并且隨著Λ0的增大,CaseA1,CaseC1與ΛCDM模型的差別也在逐漸縮小.CaseB2與ΛCDM模型的結(jié)果也趨近于完全相同,相比于CaseA1和CaseC1,CaseA2與CaseC2要比ΛCDM模型的演化結(jié)果偏差更大.圖5和圖6給出了不同初值下K隨宇宙時(shí)的演化曲線,可以看出,CaseA1和CaseB1在哈勃時(shí)間附近的范圍內(nèi)趨近于完全一致,并且在長(zhǎng)期的演化過(guò)程中也非常相近,CaseC1和CaseA1,CaseB1的演化結(jié)果偏離的較大.CaseA2,CaseB2和CaseC2在哈勃時(shí)間附近的范圍內(nèi)也趨近于完全一致,并且在長(zhǎng)期的演化過(guò)程中CaseC2與CaseA2,CaseB2的偏差比CaseC1與CaseA1,CaseB1的偏差要小.

需要注意的是,在contortion不為零的情況下,光的世界線依然是類(lèi)光測(cè)地線而不是自平行曲線,所以紅移公式與Lorentz不變情況一樣,即

對(duì)于k=0,由光度距離的定義[32]可得

距離模數(shù)被定義為[32]

由(25),(26)式可以將(16)和(20),(23),(24)式轉(zhuǎn)化為以紅移z為變量的K(z)和dL(z)的方程組:

圖7和圖8給出了不同初值下光度距離隨紅移的演化結(jié)果.在長(zhǎng)期的演化中,CaseB1和ΛCDM模型的結(jié)果趨近于完全相同,相較于CaseB1的演化結(jié)果,CaseA1和CaseC1與ΛCDM模型的演化結(jié)果對(duì)比差別要大些.并且CaseB2在長(zhǎng)期的演化中也和ΛCDM模型的結(jié)果趨近于完全相同,但CaseA2,CaseC2的演化結(jié)果與ΛCDM模型相比要比差別要比CaseA1和CaseC1大.

4 計(jì)算結(jié)果與數(shù)據(jù)分析

圖9和圖10給出了距離模數(shù)的測(cè)量值與理論期望值的對(duì)比.比較(16a)和(18a)式發(fā)現(xiàn)ρΛ扮演了有效宇宙學(xué)常數(shù)的角色.由此我們可以定義表現(xiàn)為類(lèi)標(biāo)量場(chǎng)的有效勢(shì)能.對(duì)于所有的近似情況,可以求解Λ0臨界值的情況,它表示Λeff從單調(diào)下降的quintessence類(lèi)型到有效宇宙學(xué)常數(shù)隨時(shí)間的演化出現(xiàn)局域極小類(lèi)型轉(zhuǎn)變的臨界值.

表2給出了不同模型下Λ0的臨界值情況,圖11和圖12將Λeff在臨界值附近隨時(shí)間的演化曲線清楚地表示了出來(lái).對(duì)于CaseC,當(dāng)時(shí),對(duì)于所有Λ0,Λeff表現(xiàn)為單調(diào)下降的類(lèi)quintessence勢(shì),并且由圖9可知,通過(guò)天文觀測(cè)可以將時(shí),Λ0大于0的情況排除.對(duì)于所有有臨界值的情況,Λ0?crit近似為0,我們可以推測(cè)Λ0?crit與0的偏差可能是由近似所引起的,在一個(gè)更詳細(xì)精準(zhǔn)的模型中,它可能會(huì)有Λ0?crit=0.

對(duì)于弦景觀,有效的宇宙學(xué)常數(shù)Λeff表現(xiàn)為類(lèi)quintessence類(lèi)型的標(biāo)量勢(shì)所驅(qū)動(dòng)的演化,它滿足這兩個(gè)弦沼澤地判據(jù).也就是說(shuō)dS真空并不是宇宙加速膨脹所必需的,宇宙加速膨脹與量子引力是相容的.對(duì)于具有裸的正宇宙學(xué)常數(shù)的弦沼澤地,在最合理的近似下,有效宇宙學(xué)常數(shù)Λeff隨著時(shí)間的演化會(huì)出現(xiàn)局域極小,如果有標(biāo)量場(chǎng)的勢(shì)能驅(qū)動(dòng)其演化的話,必然不是quintessence類(lèi)型.

5 總結(jié)與展望

實(shí)際上,從上文的分析可以看出,CaseC并不是一個(gè)很好的近似,原因可能是在暗能量部分的狀態(tài)方程中使用固定的w0.根據(jù)光度距離觀測(cè)值與理論期望值的比較,以及對(duì)Λ0臨界值在不同模型下的分析,可以得出結(jié)論: 從弦景觀中能夠產(chǎn)生有效的類(lèi)quintessence勢(shì),我們推測(cè)從單調(diào)下降的quintessence勢(shì)能類(lèi)型到有效宇宙學(xué)常數(shù)(或者說(shuō)類(lèi)標(biāo)量場(chǎng)的有效勢(shì)能)隨時(shí)間的演化出現(xiàn)局域極小類(lèi)型轉(zhuǎn)變的臨界值Λ0為零.在我們的討論中事實(shí)上沒(méi)有涉及標(biāo)量場(chǎng),也沒(méi)有涉及標(biāo)量場(chǎng)的勢(shì)能,我們給出的是有效宇宙學(xué)常數(shù)隨時(shí)間的演化.如果將這個(gè)有效宇宙學(xué)常數(shù)用一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的真空勢(shì)能來(lái)等效地實(shí)現(xiàn),這個(gè)標(biāo)量場(chǎng)應(yīng)該具有quintessence的行為,后續(xù)的研究將給出一個(gè)由quintessence勢(shì)能驅(qū)動(dòng)的加速膨脹宇宙,其標(biāo)量勢(shì)隨時(shí)間的演化與我們?cè)谶@里的有效宇宙學(xué)常數(shù)預(yù)言之間的比較.

表2 在不同模型下有無(wú) Λ0 的臨界值Table 2.Whether there are critical values of Λ0 under different models.

為了得到一個(gè)預(yù)言性強(qiáng)的理論,從我們對(duì)洛倫茲破缺的根源分析可以看出,需要從某個(gè)具體的量子引力模型和某個(gè)具體的暴脹模型出發(fā)來(lái)預(yù)言K(t)的演化規(guī)律,這樣就可以用觀測(cè)去檢驗(yàn)大尺度洛倫茲破缺模型的正確性.另外洛倫茲破缺區(qū)域進(jìn)入視界也是具有不確定性的,目前我們并沒(méi)有足夠的信息來(lái)確定其何時(shí)進(jìn)入視界,進(jìn)入視界時(shí)間的不同會(huì)導(dǎo)致洛倫茲破缺區(qū)域尺度大小的不同,也會(huì)對(duì)于理論的預(yù)言造成差別,但是這些差別都可以通過(guò)觀測(cè)進(jìn)行鑒別.我們目前的洛倫茲破缺引力模型是基于規(guī)范原理對(duì)廣義相對(duì)論的修正,實(shí)現(xiàn)洛倫茲破缺不見(jiàn)得一定要通過(guò)規(guī)范原理.尤其是有研究指出考慮量子引力修正之后,時(shí)空的對(duì)稱性一般不是李代數(shù),而是更一般的Hopf代數(shù)[33],規(guī)范原理應(yīng)用于Hopf代數(shù)沒(méi)有現(xiàn)成的理論可以借鑒,需要尋求實(shí)現(xiàn)洛倫茲破缺的其他途徑.廣義相對(duì)論的黎曼幾何框架是表述引力的一種最常用的框架,研究證明絕對(duì)平行引力的框架完全等價(jià)于廣義相對(duì)論非黎曼幾何表述的一種,另外基于非不可度量性的幾何的表述也是等價(jià)于廣義相對(duì)論的.對(duì)于后兩種的大尺度洛倫茲破缺的修正與我們的模型是否一致也是值得研究的,我們的結(jié)論是否是模型不依賴的還需要檢驗(yàn).