基于磁液變形鏡生成彎曲軌跡自加速類貝塞爾光束*

魏祥 吳智政 曹戰(zhàn) 王園園 Dziki Mbemba

(上海大學(xué)精密機(jī)械工程系,上海 200072)

1 引 言

1987年,Durnin[1]得到關(guān)于自由空間標(biāo)量波動(dòng)方程的一組特解,其橫截面光場(chǎng)分布具有第一類零階貝塞爾函數(shù)形式,并首次提出“無(wú)衍射貝塞爾光束”的概念.眾所周知的無(wú)衍射光束還包括馬蒂厄(Mathieu)光束[2]、余弦光束[3]、拋物線光束[4]等,都具有沿傳播方向光束強(qiáng)度不變等特性.近十年來(lái),Siviloglou 和 Christodoulides[5]還提出艾里(Airy)光束,這是一種新型的近似無(wú)衍射光束.在艾里光束的傳播過(guò)程中,它的波包沿著離軸方向發(fā)生橫向平移,這個(gè)特性就是艾里光束的自加速特性,也可以看成是自彎曲特性.除了艾里光束具有自加速特性以外,貝塞爾光束在傳播過(guò)程中也可表現(xiàn)出自加速特性[6],通過(guò)相位調(diào)制,可以在自由空間中生成任意軌跡的類貝塞爾光束[7]; 零階類貝塞爾螺旋光束能在局部保持貝塞爾光束的無(wú)衍射性和自修復(fù)性下實(shí)現(xiàn)主瓣沿著螺旋軌跡傳播[8].利用這些新型無(wú)衍射光束的獨(dú)特性質(zhì),可以將其應(yīng)用在沿著任意軌跡操控微粒[9],非線性介質(zhì)中的加速光束[10],自彎曲等離子體通道[11],以及物體周圍的激光輔助引導(dǎo)[12]等領(lǐng)域.

目前,用于生成無(wú)衍射光束的方法有環(huán)縫法[13]、計(jì)算機(jī)全息圖法[14]、球差透鏡法[15]、諧振腔法[16]、軸棱錐法[17]等.大多數(shù)實(shí)驗(yàn)采用的是空間光調(diào)制器來(lái)彎曲貝塞爾光束的中心光瓣[18,19],常用的液晶空間光調(diào)制器易造成信號(hào)損失或編碼錯(cuò)誤.此外,液晶材料具有非理想化靜態(tài)特性和動(dòng)態(tài)特性,會(huì)在信號(hào)還原過(guò)程中造成光譜扭曲.因此,具有像素結(jié)構(gòu)的空間光調(diào)制器在獲取高分辨率成像方面仍然面臨著諸多挑戰(zhàn)[20].陳歡等[21]提出了一種基于Pancharatnam-Berry (PB)相位設(shè)計(jì)制作的超表面平面軸棱錐透鏡產(chǎn)生貝塞爾光束的方法.而本文通過(guò)使用磁液變形鏡 (magnetic fluid deformable mirror,MFDM)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的空間光調(diào)制器以及PB相位調(diào)控等方法.基于磁液變形鏡的波前校正器能夠?qū)崟r(shí)動(dòng)態(tài)校正需要的波前面形,從而可動(dòng)態(tài)控制零階類貝塞爾光束的彎曲軌跡.磁液變形鏡本身具有鏡面變形幅值大、制造成本低、鏡面連續(xù)光滑、驅(qū)動(dòng)器易于拓展等優(yōu)點(diǎn),并且克服了傳統(tǒng)變形鏡驅(qū)動(dòng)器間相對(duì)行程較小的缺點(diǎn),可生成理想的錐形面[22].本文通過(guò)數(shù)學(xué)幾何分析來(lái)預(yù)測(cè)彎曲類貝塞爾光束的軌跡,再利用磁液變形鏡擬合相應(yīng)面形.磁液變形鏡具有無(wú)像素化的特性,并且可以快速修改參數(shù),對(duì)面形進(jìn)行微調(diào).

2 基本原理

2.1 鏡面輪廓設(shè)計(jì)

J0(krr)表示零階貝塞爾光束,可以采用入射的高斯光束準(zhǔn)直后經(jīng)軸棱錐透射或其等效反射形式來(lái)產(chǎn)生[17],其中kr表示空間頻率.貝塞爾光束在空間中的傳播距離取決于軸棱錐的內(nèi)部錐角αax,折射率nax和半徑Rax.

在軸棱錐上疊加一個(gè)可調(diào)的鏡面輪廓,疊加后的形狀如圖1所示.當(dāng)準(zhǔn)直后的入射光束經(jīng)過(guò)該新合成的面形后,類貝塞爾光束的中心光瓣將沿著該n階曲線的軌跡從z0彎曲到z1.

圖1 經(jīng)疊加輪廓后彎曲類貝塞爾光束中心光瓣的傳播軌跡(紅色)Fig.1.The propagation trajectory of the center lobe of a bended Bessel-like beam through the superimposed profile(in red).

如圖2(a)所示,在軸棱錐x-y平面上取一個(gè)半徑為r的薄圓環(huán)切片,當(dāng)入射光束經(jīng)過(guò)該薄環(huán)后會(huì)聚到z軸上的點(diǎn)Dsym.對(duì)于兩個(gè)任意光束P-Dsym和P′-Dsym,它們的光程相等.疊加該薄環(huán)上所有光束,即可在軸上獲得相長(zhǎng)干涉,產(chǎn)生零階類貝塞爾光束的中心.當(dāng)類貝塞爾光束的中心光瓣從Dsym點(diǎn)移動(dòng)到同一平面zD中的Dasym點(diǎn)時(shí),為了保證光程P-Dasym和P′-Dasym相等,需要在軸棱錐上疊加一個(gè)鏡面輪廓,它能夠補(bǔ)償軸棱錐每個(gè)薄圓環(huán)切片上光程的不同.由圖2(b)可知,薄環(huán)和Dasym點(diǎn)的最長(zhǎng)光程為H-Dasym.假設(shè)調(diào)整鏡在H點(diǎn)的厚度等于0,就可以通過(guò)將薄環(huán)上的所有光程與HDasym進(jìn)行比較來(lái)計(jì)算調(diào)整鏡面的整體輪廓?OL(r,θ).由圖2(b)可得H-Dasym的光程為

對(duì)于薄圓環(huán)上半徑為r,角度為θ的任意點(diǎn)P,可得P-Dasym的光程為

則P-Dasym和H-Dasym之間的光程差表達(dá)式為

其中 ?D=Dsym?Dasym.

圖2 偏移點(diǎn)幾何關(guān)系分析 (a) 薄環(huán)上任意點(diǎn)與偏移點(diǎn)的光程; (b)偏移點(diǎn)與薄環(huán)的最長(zhǎng)光程Fig.2.Off-axis point geometric analysis: (a) The distance between any point on the thin ring and the off-axis point;(b) the longest distance between the off-axis point and the point on the thin ring.

參數(shù) ?D和類貝塞爾光束的彎曲軌跡有直接的相關(guān)性.實(shí)際上,將 ?D與光束的中心光瓣所遵循的軌跡相關(guān)聯(lián),假設(shè)沿z軸傳播時(shí)增加到其n次冪,可得

其 中y0為z=0 時(shí)中心點(diǎn)位置;an為軌跡的曲率參數(shù).

將(4)式中的 ?D代入(3)式中,可以得到如圖3所示的連續(xù)輪廓.其中錐角αax=0.12?,折射率ndv=1.52,曲率參數(shù)a2=152m,參數(shù)y0=5μm,軸棱錐的半徑Rax=1.5cm.本實(shí)驗(yàn)中使用的磁液變形鏡采用的是該模型的等效反射形式,此時(shí)的光程差L(r,θ) 等 于(3)式中的 ?OL(r,θ) 除以2.

圖3 鏡面輪廓Fig.3.Mirror profile.

類似于上述分析,利用磁液變形鏡可以產(chǎn)生任意的鏡面輪廓,從而通過(guò)產(chǎn)生期望的非對(duì)稱相位調(diào)制出相應(yīng)的特殊光束,如漩渦光束[23],厄米-高斯光束[24],艾里漩渦光束[25],完美漩渦光束[26]等.

2.2 自加速類貝塞爾光束的生成理論

在柱坐標(biāo)系下,高斯光束的場(chǎng)強(qiáng)滿足[27]:

其中A0為高斯光束的振幅常量;w0為高斯光束的束腰; 波數(shù)k=2π/λ;高斯光束的束寬高斯光束的等相面曲率半徑高斯光束的相位因子

當(dāng)高斯光束經(jīng)過(guò)上述定義的軸棱錐和可調(diào)鏡面輪廓共同疊加的鏡面時(shí),其反射后的場(chǎng)強(qiáng)可表示為

根據(jù)光束傳播法(beam propagation method,BPM)[28],由(6)式可以得到反射后每個(gè)z平面的場(chǎng)強(qiáng)為

圖4 沿拋物線軌跡的自加速類貝塞爾光束仿真 (a) 數(shù)值模擬類貝塞爾光束傳輸?shù)膫?cè)面圖; (b) 彎曲軌跡類貝塞爾光束在傳播距離 z=40cm 處的光強(qiáng); (c)—(f) 圖(a)中不同傳播距離處光強(qiáng)的橫截面分布Fig.4.The simulation of self-accelerating Bessel-like beam along a parabolic trajectory: (a) Numerically simulated side-view propagation of the generated beam; (b) intensity of a bended Bessel-like beam when propagation distance z=40cm ; (c)?(f) crosssectional images of Bessel-like beam along different distance.

其中vx和vy分別為沿著x軸和y軸的空間頻率.FFT表示快速傅里葉變換,IFFT表示快速傅里葉逆變換.

當(dāng)取曲率參數(shù)a2=152m,激光的波長(zhǎng)λ=635nm 和束腰w0=2mm,軸棱錐的錐角αax=0.12?和半徑Rax=1.5cm 時(shí),可以得到如圖4所示的理論上沿著拋物線軌跡的自加速類貝塞爾光束.隨著沿彎曲軌跡傳播距離的增加,類貝塞爾光束的光強(qiáng)仍能呈現(xiàn)多個(gè)環(huán)狀分布,中心光強(qiáng)為一個(gè)亮斑.當(dāng)傳播距離z=40cm 時(shí),自加速類貝塞爾光束的光強(qiáng)分布如圖4(b)所示.

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)裝置設(shè)置

本實(shí)驗(yàn)采用磁液變形鏡來(lái)產(chǎn)生類貝塞爾光束[29].如圖5所示,實(shí)驗(yàn)中使用雙層驅(qū)動(dòng)磁液變形鏡,微線圈的位置采用六角形排布,雙層設(shè)計(jì)不僅實(shí)現(xiàn)了行程的增加,還實(shí)現(xiàn)了驅(qū)動(dòng)器密度的增加.其中上層包含37個(gè)微線圈,尺寸結(jié)構(gòu)較小、排布緊湊,用于校正面形復(fù)雜而幅值較小的高階像差; 下層包含19個(gè)微線圈,尺寸結(jié)構(gòu)較大、排布稀疏,用于校正面形簡(jiǎn)單但幅值較大的低階像差[30].每個(gè)線圈都可以單獨(dú)驅(qū)動(dòng),將該雙層線圈置于磁性液體容器下方,再一同放置在麥克斯韋線圈中,麥克斯韋線圈可以產(chǎn)生均勻強(qiáng)磁場(chǎng),該磁場(chǎng)單獨(dú)作用時(shí)對(duì)鏡面狀態(tài)沒有影響,但是和微線圈產(chǎn)生的擾動(dòng)磁場(chǎng)疊加之后可以使鏡面變形量大大增加.實(shí)驗(yàn)中使用的磁性液體來(lái)自FerroTec公司,具有較高的相對(duì)磁導(dǎo)率(μ=3.89)和 較低黏度 (ν=3 cP,1 cP=10–3Pa·s)能夠更好實(shí)現(xiàn)磁液變形鏡面形的控制,同時(shí),為了提高磁液變形鏡鏡面的反射率,在其表面覆蓋一層類似液狀的銀納米薄膜[31],所得表面的反射率大約為80%.磁液變形鏡需在隔振平臺(tái)上進(jìn)行操作,并保持磁性流體的深度在 1 mm 左右,這樣就可以最大限度地減少振動(dòng)對(duì)液體表面的影響.

圖5 磁液變形鏡裝置 (a) 實(shí)物圖; (b) 結(jié)構(gòu)示意圖Fig.5.Assembly of the prototype MFDM: (a) Actual diagram; (b) schematic diagram.

圖6 基于波前傳感器的磁液變形鏡鏡面控制實(shí)驗(yàn)平臺(tái)(a) 光路示意圖; (b) 實(shí)物圖Fig.6.Layout of the experimental system setup based on the wavefront sensor: (a) Schematic diagram of optical path; (b) actual diagram.

圖7 波前傳感器檢測(cè)到的波前輪廓 (左圖: 主視圖; 右圖: 三維視圖) (a) 初始面形; (b) 軸棱錐輪廓; (c) 鏡面輪廓; (d) 混合軸棱錐和鏡面輪廓后的面形輪廓Fig.7.Wavefront detected by the wavefront sensor (left: main view; right: 3D view): (a) Initial wavefront; (b) an axicon profile;(c) mirror profile; (d) the combination of both axicon and mirror profile.

圖8 取四個(gè)不同 z 值的實(shí)驗(yàn)結(jié)果橫截面圖Fig.8.Experimental cross-section profiles for four different values of z.

為了進(jìn)一步驗(yàn)證基于磁液變形鏡來(lái)生成軌跡可控的自加速類貝塞爾光束的可行性,搭建如圖6所示的自適應(yīng)光學(xué)實(shí)驗(yàn)平臺(tái),該裝置由激光光源、雙層驅(qū)動(dòng)磁液變形鏡、夏克-哈特曼波前傳感器、CCD相機(jī)、計(jì)算機(jī)控制平臺(tái)和反射鏡、分束鏡、光闌等光學(xué)元器件組成.實(shí)驗(yàn)中使用波長(zhǎng)為635nm的激光作為實(shí)驗(yàn)光源,經(jīng)準(zhǔn)直后近似為平面波,1∶15(R1,R2)擴(kuò)束后經(jīng)光闌限制再經(jīng)雙層驅(qū)動(dòng)磁液變形鏡反射,然后20∶3 (R3)縮束后經(jīng)分束鏡分為兩路光束: 一路由夏克-哈特曼波前傳感器(WFS150-5C,THORLABS,USA)接收并用來(lái)檢測(cè)鏡面面形,將波前的分析結(jié)果反饋給計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng),由控制系統(tǒng)產(chǎn)生變形鏡變形所需要的驅(qū)動(dòng)電壓,通過(guò)Advantech PCI-1724模擬輸出卡驅(qū)動(dòng)磁液變形鏡使其鏡面變形; 另一路光束由 CCD相機(jī)(DCU223C,THORLABS,USA)捕獲,獲得校正后的波前圖像.本實(shí)驗(yàn)中,利用影響函數(shù)對(duì)磁液變形鏡系統(tǒng)進(jìn)行解耦,由設(shè)計(jì)的分散式PID閉環(huán)控制器,實(shí)現(xiàn)對(duì)多輸入多輸出系統(tǒng)每個(gè)通道的獨(dú)立控制,消除外界干擾,改善鏡面的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能,可以實(shí)現(xiàn)鏡面形狀的精確控制.

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

圖7(a)為夏克-哈特曼波前傳感器檢測(cè)到磁液變形鏡初始平面,可以看出表面存在一定的誤差,其表面變形量 PV為 0.246μm,RMS誤差為0.078 μm,對(duì)應(yīng)的精度為λ/8.圖7(b)為夏克-哈特曼波前傳感器采集到的內(nèi)部錐角為αax=0.12?的軸棱錐波前.為了產(chǎn)生拋物線彎曲軌跡,取n=2和a2=152m,此時(shí)得到的鏡面輪廓如圖7(c)所示.將圖7(b)和圖7(c)相結(jié)合,可以得到如圖7(d)所示經(jīng)過(guò)調(diào)整后的波前輪廓形狀,其表面變形幅值 PV 為 8.093μm,RMS 誤差為 0.134μm.所擬合面形的質(zhì)量主要和驅(qū)動(dòng)器的數(shù)目有關(guān),通過(guò)增加驅(qū)動(dòng)器數(shù)目可進(jìn)一步提高面形的擬合精度.

激光經(jīng)過(guò)圖7(d)調(diào)整后的磁液變形鏡反射,最終由CCD相機(jī)接收到相應(yīng)的光束.圖8展示了實(shí)驗(yàn)上得到的拋物線軌跡的自加速類貝塞爾光束.由于搭建的光路中各個(gè)透鏡對(duì)(R1,R2,R3)之間的準(zhǔn)直及距離存在一定的誤差,以及外部環(huán)境振動(dòng)和驅(qū)動(dòng)器安裝誤差等干擾存在,對(duì)光束產(chǎn)生一定的影響,可以看到實(shí)驗(yàn)結(jié)果中類貝塞爾光束周圍產(chǎn)生一些亮條紋.但由總體實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出,相較于使用空間光調(diào)制器來(lái)生成軌跡可控的自加速類貝塞爾光束[6],基于磁液變形鏡產(chǎn)生的自加速類貝塞爾光束仍能夠保持相對(duì)完整的光瓣,并且中心光瓣具有較強(qiáng)的光強(qiáng).為了進(jìn)一步驗(yàn)證光束與理想拋物線軌跡的擬合程度,從 5 cm 到 4 5cm,每隔 5 cm 測(cè)量一次軌跡的變化.由圖9可以看出,實(shí)驗(yàn)1中該自加速類貝塞爾光束沿z軸的彎曲軌跡遵循理想軌跡傳播.對(duì)彎曲軌跡進(jìn)行調(diào)整只需要修改對(duì)應(yīng)參(數(shù)即可,如實(shí)驗(yàn))2所示,當(dāng)設(shè)定新的彎曲軌跡(?D=2.632×10?3z2+(2.15×10?4)z)時(shí),實(shí)際測(cè)得的類貝塞爾光束的彎曲軌跡仍然沿預(yù)定軌跡傳播.

圖9 理論和實(shí)際測(cè)得的光束傳播軌跡相比較Fig.9.Comparison between numerical and experimental demonstrations of deflection of the central spot of a bended Bessel-like beam.

4 總 結(jié)

介紹了一種基于磁液變形鏡來(lái)產(chǎn)生自加速類貝塞爾光束的新方法.根據(jù)彎曲軌跡的不同,通過(guò)幾何分析得到對(duì)應(yīng)的可調(diào)鏡面輪廓,將該輪廓與軸棱錐鏡疊加后產(chǎn)生目標(biāo)輪廓,再利用磁液變形鏡進(jìn)行擬合.磁液變形鏡具有表面連續(xù)光滑、鏡面變形幅值大、驅(qū)動(dòng)器間行程大等優(yōu)點(diǎn),提供了一種無(wú)像素化的方法產(chǎn)生該目標(biāo)輪廓,并且可以快速修改參數(shù)進(jìn)行光束微調(diào).基于分析的模型,本文設(shè)計(jì)了滿足自加速類貝塞爾光束彎曲軌跡控制的變形鏡結(jié)構(gòu)和參數(shù),并進(jìn)行了仿真驗(yàn)證.最后搭建了基于磁液變形鏡的自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng),驗(yàn)證了推導(dǎo)模型以及類貝塞爾光束沿預(yù)定拋物線軌跡傳播的準(zhǔn)確性.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該磁液變形鏡能產(chǎn)生精確的鏡面面形并具有良好的激光束波前控制性能,生成了具有拋物線軌跡傳播的類貝塞爾光束并驗(yàn)證了其準(zhǔn)確性,并且可以快速修改參數(shù)對(duì)光束軌跡進(jìn)行微調(diào).