一種通過約瑟夫森結(jié)非線性頻率響應(yīng)確定微波耗散的方法*

陳恒杰 薛航 李邵雄 王鎮(zhèn)

1) (中國科學(xué)院上海微系統(tǒng)與信息技術(shù)研究所,信息功能材料國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200050)

2) (中國科學(xué)院超導(dǎo)電子學(xué)卓越創(chuàng)新中心,上海 200050)

3) (中國科學(xué)院大學(xué),北京 100049)

1 引 言

超導(dǎo)約瑟夫森結(jié)是超導(dǎo)電子學(xué)應(yīng)用的關(guān)鍵元件之一.尤其是在最近二十年里,它在超導(dǎo)量子信息處理器件中有著至關(guān)重要的應(yīng)用[1].隨著結(jié)制備水平的進(jìn)步、材料損耗研究的深入和電路設(shè)計(jì)的優(yōu)化,以約瑟夫森結(jié)為基礎(chǔ)的超導(dǎo)量子比特有了巨大的進(jìn)步.為了不斷提升約瑟夫森結(jié)器件水平,建立一種適用于約瑟夫森結(jié)微波器件,特別是量子比特器件,而且簡單、可靠的結(jié)質(zhì)量評估方法是十分有意義的.

通常測量約瑟夫森結(jié)的電流-電壓(I-V)關(guān)系曲線是一個(gè)簡單評估結(jié)質(zhì)量的方法.例如對于在超導(dǎo)電子學(xué)中有廣泛應(yīng)用的Nb/AlOx/Nb約瑟夫森結(jié),可定義一個(gè)量Vm來衡量結(jié)的品質(zhì).Vm為測得的I-V曲線中2 mV處的能隙內(nèi)電阻與結(jié)臨界電流的乘積[2].Vm值越大,表明得到的結(jié)質(zhì)量越好.但是,Vm不直接反映結(jié)的高頻性質(zhì).在結(jié)的質(zhì)量比較好、沒有額外漏電流的情況下,能隙內(nèi)電阻值的大小取決于能隙內(nèi)低能激發(fā)的準(zhǔn)粒子數(shù),因此Vm基本反映了結(jié)中準(zhǔn)粒子的情況.在高頻應(yīng)用中,準(zhǔn)粒子會(huì)帶來能量耗散[3].而超導(dǎo)量子比特器件通常工作在數(shù)吉赫茲的頻率,它在這一頻域上的能量損耗是最受關(guān)注的性質(zhì)之一.高頻損耗會(huì)導(dǎo)致量子比特的能量弛豫,能量弛豫率1/T1的大小直接正比于能量耗散的大小[4,5].能量弛豫時(shí)間T1,相位退相干時(shí)間T?是限制量子比特量子相干時(shí)間T2的兩個(gè)主要因素 (1/T2=1/(2T1) + 1/T?).因此,測量結(jié)的高頻耗散,能有效地評估制備的約瑟夫森結(jié)在量子比特器件中的適用性.約瑟夫森結(jié)中高頻耗散主要來自三個(gè)方面: 準(zhǔn)粒子損耗、輻射損耗、介電損耗[6].其中準(zhǔn)粒子損耗會(huì)隨著溫度降低而指數(shù)減少[7],而且從I-V曲線中得到的Vm反映的是熱平衡下的準(zhǔn)粒子平均數(shù),不反映準(zhǔn)粒子的漲落情況[8,9],因此Vm不能直接全面表征結(jié)的高頻性質(zhì).高頻耗散的準(zhǔn)確確定通常需要復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)建模,不合理的系統(tǒng)建模會(huì)給出不可靠的結(jié)果[10,11].另外,直接測量能量弛豫時(shí)間,會(huì)有嚴(yán)格的實(shí)驗(yàn)溫度要求(通常在mK范圍),為此需要極其謹(jǐn)慎地實(shí)驗(yàn)排除所有強(qiáng)度可比于該溫度漲落的噪聲干擾[12,13].

基于結(jié)的非線性頻率響應(yīng),本文提出一種溫度限制相對寬松的測量結(jié)微波損耗的簡單可靠方法.若外加微波頻率在約瑟夫森結(jié)的線性等離子振蕩頻率附近,隨著微波驅(qū)動(dòng)能量的增強(qiáng),結(jié)因非線性效應(yīng)產(chǎn)生的共振頻率偏離結(jié)的線性等離子振蕩頻率.這一偏離的幅度與振蕩經(jīng)歷的耗散直接相關(guān).這種非線性頻率響應(yīng)效應(yīng)可以被用來確定微波耗散.

本文首先介紹電流偏置約瑟夫森結(jié)的動(dòng)力學(xué)描述.采用結(jié)的等效勢阱的四階近似,得到約瑟夫森結(jié)的非線性響應(yīng)解析結(jié)果.從得到的非線性響應(yīng)方程中建立結(jié)的共振頻率-振幅-微波品質(zhì)因子關(guān)系.用數(shù)值方法模擬未做勢阱四階近似的電流偏置約瑟夫森結(jié)微波動(dòng)力學(xué)行為.數(shù)值結(jié)果證實(shí)了非線性響應(yīng)方程的定量關(guān)系可在約瑟夫森結(jié)中應(yīng)用.最后討論提出的方法在約瑟夫森結(jié)中的實(shí)驗(yàn)應(yīng)用情況.

2 約瑟夫森結(jié)中的非線性響應(yīng)

約瑟夫森結(jié)是超導(dǎo)量子比特器件中至關(guān)重要的非線性元件.電流偏置的約瑟夫森結(jié)在較強(qiáng)微波驅(qū)動(dòng)下會(huì)表現(xiàn)出比較強(qiáng)的非線性響應(yīng)效應(yīng).為了能夠定量描述這一非線性響應(yīng),需要考慮約瑟夫森結(jié)動(dòng)力學(xué)具體行為.電流偏置的約瑟夫森結(jié)的動(dòng)力學(xué)行為,可以由電阻電容并聯(lián)結(jié)(RCSJ)模型描述[14,15]:

其中j是通過約瑟夫森結(jié)的相位差,是約化普朗克常數(shù),e是電荷電量,C是結(jié)電容,R是損耗帶來的有效阻抗,Ic0是結(jié)臨界電流,Idc是偏置電流,Irfcos(ωrft)為外加微波驅(qū)動(dòng).在固定偏置電流(

其中idc=Idc/Ic0是歸一化的偏置電流,Q=ωp0RC是品質(zhì)因子.運(yùn)動(dòng)方程(2)式中對應(yīng)的非線性勢能(洗衣板勢)為

考慮虛擬粒子是在勢阱的極小值附近振動(dòng),可將勢函數(shù)U在極小值φ0=arcsinidc附近展開,取四階近似,運(yùn)動(dòng)方程(2)式可簡化為

發(fā)生共振時(shí),振幅b達(dá)到最大值,

因此結(jié)線性等離子頻率與非線性共振頻率的差 ?ω=γres? ωp與微波品質(zhì)因子Q有一個(gè)直接簡單的關(guān)系:

利用這個(gè)關(guān)系,可以通過測量不同強(qiáng)度微波驅(qū)動(dòng)下的頻率差值來確定結(jié)的微波品質(zhì)因子.

3 數(shù)值模擬驗(yàn)證

由于(7)式是采用了勢阱近似得到的,為了驗(yàn)證這一關(guān)系可以被定量地應(yīng)用于約瑟夫森結(jié)中,我們對微波驅(qū)動(dòng)的約瑟夫森結(jié)動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了數(shù)值模擬.采用四階Runge-Kutta方法數(shù)值求解方程(1),式中勢能U未做前述四階近似處理.數(shù)值計(jì)算步長為0.05.為獲得虛擬相位粒子在相空間中完整的運(yùn)動(dòng)圖像,總計(jì)算步長數(shù)為1800.選取常見的結(jié)面積為4 μm2的結(jié),其他所有用到的結(jié)參數(shù)值見表1.表2列出了所有數(shù)值模擬用到的實(shí)驗(yàn)條件參數(shù)值.其中結(jié)的直流偏置選取在0.5左右是考慮到實(shí)驗(yàn)在熱激發(fā)逃離勢阱為主導(dǎo)的高溫區(qū)進(jìn)行,相較于量子隧穿逃離為主的低溫區(qū),高溫區(qū)的勢阱需要更深才能容許較大的微波驅(qū)動(dòng)[17].由于ωp=(1?不同的直流偏置電流選擇會(huì)導(dǎo)致工作頻率的不同.但是我們的數(shù)值模擬計(jì)算中采用了歸一化因子ωp0,實(shí)驗(yàn)上總是可以通過磁場調(diào)節(jié)結(jié)的臨界電流值達(dá)到將工作頻率調(diào)整到一個(gè)感興趣范圍的目的.

表1 數(shù)值模擬采用的結(jié)參數(shù)Table 1.Parameters of Josephson junctions used in numerical simulations.

表2 數(shù)值模擬采用的實(shí)驗(yàn)參數(shù)Table 2.Experiment settings used in numerical simulations.

圖1為數(shù)值計(jì)算得到的一個(gè)典型的虛擬相位粒子在相空間的運(yùn)動(dòng)軌跡.由于模擬計(jì)算時(shí)采用的初始條件不一定處于相位粒子的穩(wěn)定態(tài),采用的總計(jì)算步長數(shù)必須保證粒子運(yùn)動(dòng)軌跡能夠達(dá)到一個(gè)不變穩(wěn)定態(tài).穩(wěn)定態(tài)的運(yùn)動(dòng)軌跡(例如圖1中內(nèi)圈軌跡被重復(fù)了很多遍因而更密集)可被認(rèn)定是方程(1)的穩(wěn)定解.運(yùn)動(dòng)軌跡在位置坐標(biāo)上的變化幅度對應(yīng)粒子的振動(dòng)幅度.

圖1 計(jì)算得到的相位粒子在相空間中的運(yùn)動(dòng)軌跡 縱坐標(biāo) v=d?/dτ,計(jì)算采用的實(shí)驗(yàn)參數(shù)為idc=0.473,irf=5.5×10?4,g=0.9306Fig.1.Calculated trajectory of phase particle with experiment parameters for junction 3: idc=0.473,irf=5.5×10–4,g=0.9306.Vertical axis v=d?/dτ.

微波頻率響應(yīng)通常需要變化外加微波頻率.但是實(shí)驗(yàn)上測量約瑟夫森結(jié)的微波響應(yīng)時(shí),選取固定外加微波頻率,改變偏置電流idc的方法(即改變?chǔ)豴)可以保證耦合到結(jié)的實(shí)際微波功率的可定標(biāo)性.為方便與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較,在不同的微波強(qiáng)度驅(qū)動(dòng)條件下,在計(jì)算非線性響應(yīng)時(shí)只改變idc,這對應(yīng)于(5)式中固定g,改變?chǔ)豴.圖2給出了數(shù)值模擬得到的結(jié)非線性響應(yīng)結(jié)果與(5)式計(jì)算結(jié)果的比較,可以看到兩者定量符合.圖2中,響應(yīng)幅度b最大處對應(yīng)約瑟夫森結(jié)發(fā)生共振吸收.發(fā)生共振時(shí)共振頻率γres=γ,對應(yīng)的ωp由最大振幅處的idc決定.從計(jì)算的結(jié)果可見當(dāng)外加微波強(qiáng)度增大,約瑟夫森結(jié)非線性共振時(shí)對應(yīng)的idc變小,從而相應(yīng)的ωp變大,這意味著共振頻率相對更小,這說明較強(qiáng)微波驅(qū)動(dòng)下約瑟夫森結(jié)振子會(huì)軟化.為進(jìn)一步驗(yàn)證由非線性頻率響應(yīng)確定微波品質(zhì)因子的準(zhǔn)確性及在約瑟夫森結(jié)中的適用性,圖3給出了表1中三個(gè)樣品結(jié)模擬得到的結(jié)果與(7)式結(jié)果的比較.考慮到同樣工藝制備的結(jié)可能被運(yùn)用到不同的器件,遇到不同的電路環(huán)境,圖4為結(jié)2在不同環(huán)境帶來不同損耗情況下的模擬結(jié)果比較.同樣,(7)式與模擬結(jié)果定量符合.從圖3和圖4的結(jié)果可知,只要實(shí)驗(yàn)確定了約瑟夫森結(jié)的共振峰對應(yīng)的idc、結(jié)臨界電流、結(jié)電容參數(shù),結(jié)的微波品質(zhì)便可定量確定(圖3和圖4中直線斜率大小對應(yīng)微波品質(zhì)因子).由于模擬選取了常見的約瑟夫森結(jié)參數(shù),而且在模擬的品質(zhì)因子變化范圍內(nèi)的約瑟夫森結(jié)中已有實(shí)驗(yàn)觀測到了量子相干態(tài)[18],我們認(rèn)為由非線性頻率響應(yīng)來確定微波品質(zhì)因子的方法完全適用于約瑟夫森結(jié)系統(tǒng),且可用來評估制備的約瑟夫森結(jié)在相關(guān)器件應(yīng)用中的微波性能.

圖2 結(jié) (IC=8 μA,Q=515.7)在不同的微波驅(qū)動(dòng)下,(5)式(曲線)和模擬(誤差棒)得到的響應(yīng)振幅b隨歸一直流偏置 idc 的函數(shù)變化關(guān)系,響應(yīng)曲線按其最大振幅從小到大順序?qū)?yīng)的外加微波強(qiáng)度分別為irf=1.63×10?4,2.44×10?4,3.67×10?4 和 5 .50×10?4,點(diǎn)劃線顯示了最大振幅對應(yīng)的 idc 隨外加微波強(qiáng)度的變化Fig.2.Microwave response curves obtained by Eq.(5)(curves) and numerical simulation (error bars),for junction(IC=8 μA,Q=515.7) with applied microwave irf=1.63×10?4,2.44×10?4,3.67×10?4and5.50×10?4 for the curves with the maximum amplitude from small to large respectively.Dot-dash line shows the dependence of idc where corresponding to the maximum oscillation amplitude on the power of the applied microwave.

圖3 表1 中三個(gè)樣品結(jié)的隨 irf的變化關(guān)系圖,線 是 (7) 式的結(jié)果,誤 差棒是 v? 的 數(shù) 值模擬結(jié) 果,圖中直線斜率從小到大分別對應(yīng)Q值163.0(結(jié)1),508.6(結(jié)2),1549.1(結(jié) 3)Fig.3. as a function of irf for different parameters of sample Josephson junctions in Table 1.Lines are results of Eq.(7).Error bars are numerical simulation results of v?.The lines of slops from small to large corresponding to Q values: 163.0 (junction 1),508.6 (junction 2),1549.1 (junction 3).

圖4 結(jié) 2 在不同的電路環(huán)境下,導(dǎo)致不同的品質(zhì)因子 Q(51.6,257.8,515.7,1533.0,對 應(yīng) 直 線 斜 率 從 小 到 大) 時(shí),v?隨 irf 的變化關(guān)系,直線是(7)式的結(jié)果,誤差棒是 v? 的數(shù)值模擬結(jié)果Fig.4.v? as a function of irf for different quality factors.Lines are Eq.(7)’s results.Error bars are numerical simulation results of v?.The lines of slops from small to large corresponding toQvalues: 51.6,257.8,515.7,1533.0accounting for junction 2 with different environment influences.

4 討 論

對于過阻尼的約瑟夫森結(jié),其線性等離子振動(dòng)頻率(ωp)也受微波損耗影響很大.但是大多數(shù)約瑟夫森微波器件,尤其是量子比特器件,要求比較高的微波品質(zhì) (Q?1).欠阻尼約瑟夫森結(jié)的等離子振動(dòng)頻率幾乎不隨微波品質(zhì)變化.對于欠阻尼約瑟夫森結(jié),將其驅(qū)動(dòng)到較強(qiáng)的非線性區(qū)域,可由非線性頻率響應(yīng)來確定微波品質(zhì).雖然約瑟夫森結(jié)的線性微波響應(yīng)也與微波損耗相關(guān)[19],但是與線性響應(yīng)相比,非線性響應(yīng)信號更強(qiáng),不容易受額外的噪聲干擾,可以在相對較高的溫區(qū)準(zhǔn)確測量.圖3和圖4的結(jié)果顯示,結(jié)的微波非線性響應(yīng)(圖中直線斜率)隨微波品質(zhì)變化很大,已有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果也已經(jīng)顯示微波品質(zhì)因子嚴(yán)重影響非線性振動(dòng)[20].Mao等[21]用數(shù)值模擬比對由較強(qiáng)微波驅(qū)動(dòng)的、測量溫度在4.2 K的共振激發(fā)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的約瑟夫森結(jié)高頻等效阻抗.因?yàn)榧s瑟夫森結(jié)的共振頻率、臨界電流、結(jié)電容等參數(shù)都是實(shí)驗(yàn)可測量的,我們提出的非線性頻率響應(yīng)模型方法不需要數(shù)值模擬便可直接實(shí)驗(yàn)確定微波品質(zhì)因子.而且由(7)式可知微波品質(zhì)因子的定量準(zhǔn)確性也是主要由結(jié)參數(shù)—臨界電流、結(jié)電容參數(shù)的準(zhǔn)確性保證的[13,22].考慮到共振激發(fā)的實(shí)驗(yàn)測量可以適用于單個(gè)電流偏置的約瑟夫森結(jié)中[19,21],不需要額外的電路設(shè)計(jì),數(shù)值模擬也證實(shí)了非線性響應(yīng)模型在約瑟夫森結(jié)中的定量準(zhǔn)確性,因此利用非線性頻率響應(yīng)來測量微波損耗的方法是方便可靠的.