方差分析教學(xué)初探

高文武，張 俠，2*

（1.安徽大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，安徽合肥230411；2.阜陽(yáng)師范學(xué)院信息工程學(xué)院，安徽阜陽(yáng)236037）

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，經(jīng)常會(huì)遇到相關(guān)關(guān)系、因果關(guān)系和函數(shù)關(guān)系[1]，當(dāng)兩個(gè)對(duì)象有相關(guān)關(guān)系時(shí)，需進(jìn)一步判斷造成這種相關(guān)關(guān)系的原因，并探索它們之間是否存在因果關(guān)系；在研究函數(shù)關(guān)系時(shí)，關(guān)鍵也是判斷兩個(gè)變量之間是否具有因果關(guān)系，判斷方法主要包括參數(shù)統(tǒng)計(jì)法（如t-檢驗(yàn)、方差分析等）和非參數(shù)統(tǒng)計(jì)法（如Kruskal-Wallis分析、Friedman分析等）[2]。在實(shí)際問題中因變量往往有多個(gè)水平，若利用t-檢驗(yàn)則需要做多次檢驗(yàn)，導(dǎo)致整個(gè)過(guò)程非常復(fù)雜，還會(huì)增加出現(xiàn)錯(cuò)誤的概率。而方差分析法正是解決這一問題的有效方法。

1 方差分析

方差分析又稱“變異數(shù)分析”，是英國(guó)著名的統(tǒng)計(jì)與遺傳學(xué)家菲希爾提出的一種用于判斷變量之間是否存在因果關(guān)系的統(tǒng)計(jì)方法[3]。它可以有效處理多個(gè)水平的因變量問題。從涉及的影響因素個(gè)數(shù)將方差分析分為單因素方差分析和多因素方差分析[4]，文章主要討論單因素情形。

假設(shè)自變量為X，因變量為Y。方差分析的主要目標(biāo)是檢驗(yàn)X在不同水平（Xi,i=1,2,…,M）上的變動(dòng)是否對(duì)Y有顯著影響。其準(zhǔn)則為Y的變動(dòng)主要是由X的變動(dòng)而造成的，這就需要計(jì)算Y的總變動(dòng)。而真實(shí)的Y是未知的，只能利用采樣手段獲得觀測(cè)數(shù)據(jù)，通過(guò)樣本來(lái)計(jì)算Y的變動(dòng)。樣本有以下假設(shè)：Y服從正態(tài)分布，樣本之間相互獨(dú)立且同分布，若假設(shè)不成立，則選擇非參數(shù)檢驗(yàn)[5]。方差分析整個(gè)過(guò)程主要由4個(gè)部分構(gòu)成[6]。

首先，計(jì)算Y的總變動(dòng)SST?？傋儎?dòng)是目標(biāo)變量Y的觀測(cè)值與平均值之間的波動(dòng)，它包含由于X在不同水平上的變動(dòng)所導(dǎo)致的波動(dòng)、隨機(jī)噪聲導(dǎo)致的波動(dòng)。令Yˉ為所有觀測(cè)值的平均值，即Yˉ=根據(jù)方差的定義，總變動(dòng)可表示為其次，計(jì)算組間均方和SSY。依據(jù)定義，計(jì)算Y在對(duì)應(yīng)于水平Xi的觀測(cè)值的平均值在此基礎(chǔ)上可得組間均方和SSY=再次，計(jì)算組內(nèi)均方和SSe。組內(nèi)均方和是由隨機(jī)噪聲導(dǎo)致的波動(dòng)，其計(jì)算公式為SSe=顯然SST=SSY+SSe恒成立。最后，檢驗(yàn)Y的總變動(dòng)SST是否主要由組間均方和SSY構(gòu)成。這是方差分析的關(guān)鍵一步，它不僅展示了方差分析與假設(shè)檢驗(yàn)之間的關(guān)系，同時(shí)也是假設(shè)檢驗(yàn)的一個(gè)具體應(yīng)用。這里需要比較SSY與SSe的大小關(guān)系，而SSY與SSe都是總量指標(biāo)，無(wú)法比較大小。因此，需要把他們標(biāo)準(zhǔn)化后，再比較組間均方和MSY、組內(nèi)均方和MSe之間的大小，其中MSY=SSY/dfY，MSe=SSe/dfe，這里，dfY=M-1，dfe=∑Ni-M，分別稱為組間平方和的自由度和組內(nèi)平方和的自由度。依據(jù)方差分析的基本思想，構(gòu)建統(tǒng)計(jì)量，即F=MSY/MSe。

進(jìn)一步，組間平方和、組內(nèi)平方和各自除以總體方差分別服從卡方分布，兩個(gè)卡方分布分別除以各自自由度再相比構(gòu)建F-統(tǒng)計(jì)量，可知統(tǒng)計(jì)量F服從自由度為(dfY,dfe)的F-分布，從而利用假設(shè)檢驗(yàn)判斷X對(duì)Y是否有顯著性影響。

2 方差分析的應(yīng)用

為進(jìn)一步加深對(duì)方差分析的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用，明晰其中的分析過(guò)程，下面通過(guò)兩個(gè)案例展示方差分析的具體應(yīng)用。

案例1 根據(jù)某高校經(jīng)濟(jì)學(xué)、財(cái)務(wù)管理、金融工程、國(guó)際商務(wù)和中韓財(cái)管等5個(gè)專業(yè)的學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)考試分?jǐn)?shù)，探討專業(yè)對(duì)于統(tǒng)計(jì)學(xué)成績(jī)有無(wú)顯著影響。

用相應(yīng)公式計(jì)算出其各專業(yè)統(tǒng)計(jì)學(xué)分?jǐn)?shù)均值和方差，如表1所示[7]。根據(jù)以上方差分析的基本步驟，分析過(guò)程如下。

表1 5個(gè)專業(yè)統(tǒng)計(jì)學(xué)分?jǐn)?shù)的描述統(tǒng)計(jì)

依據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)，原假設(shè)H0：專業(yè)對(duì)于統(tǒng)計(jì)學(xué)成績(jī)沒有顯著影響；備擇假設(shè)H1：專業(yè)對(duì)于統(tǒng)計(jì)學(xué)成績(jī)有顯著影響。由統(tǒng)計(jì)量F=6.34，又F0.05(4,15)=2.45，F(xiàn)＞F0.05(4,15)，故拒絕原假設(shè)H0，表明專業(yè)對(duì)于統(tǒng)計(jì)學(xué)成績(jī)有顯著性影響，這和實(shí)際是相符的，究其原因可能與統(tǒng)計(jì)學(xué)的學(xué)習(xí)需要扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有關(guān)。

方差分析不僅可以用于處理分類型變量，而且還可以處理數(shù)值型變量的問題，是一種有效的檢驗(yàn)變量之間是否存在因果關(guān)系的統(tǒng)計(jì)方法。下面通過(guò)一個(gè)例子展示方差分析法在回歸分析的應(yīng)用。

案例2 K.pearson收集了大量有關(guān)父親身高和兒子身高的數(shù)據(jù)（表2），試求兒子身高y關(guān)于父親身高x的回歸方程[8-9]。

表2 父親身高和兒子身高列表（單位：cm）

解在求解回歸方程之前，首先需要檢驗(yàn)父親的身高是否對(duì)兒子身高有顯著影響，這正是方差分析要解決的問題。然而，不同于上一個(gè)例子，這個(gè)例子的自變量是數(shù)值型變量。按照方差分析步驟，首先計(jì)算總變動(dòng)：其次，計(jì)算組間平方和、組內(nèi)平方和分別為SSY=進(jìn)而可得組間均方和、組內(nèi)均方和分別為MSY=SSY/dfY=1152766.92/9=128085.21，MSe=SSe/dfe=11331.40/20=566.57。最后，構(gòu)造F-檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F=MSY/MSe=128085.21/566.57=226.07。在置信水平α=0.05下，查表可得F0.05(9,20)=2.39。顯然F＞F0.05(9,20)，表明父親身高與兒子身高存在因果關(guān)系。

方差分析僅僅表明父親的身高對(duì)兒子的身高有較強(qiáng)的因果關(guān)系，但不能給出具體的數(shù)量關(guān)系式。為了進(jìn)一步量化這種因果關(guān)系，需要利用回歸分析計(jì)算相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。由于在每個(gè)觀測(cè)點(diǎn)處有多個(gè)觀測(cè)值，因此選取這些觀測(cè)值的平均值yi作為對(duì)應(yīng)觀測(cè)點(diǎn)處的回歸值，通過(guò)取平均值的手段還可以在一定程度上過(guò)濾數(shù)據(jù)中的噪聲。

假設(shè)這種函數(shù)關(guān)系是線性函數(shù)，即f(x)=ax+b,a,b∈R。由普通最小二乘估計(jì)式則有：

這里，xi，yi為樣本觀測(cè)值，xˉ為樣本觀測(cè)值的均值，yˉ為所有樣本觀測(cè)值的均值。最后，可得回歸方程為f(x)=35.98x+1.17。

3 結(jié)束語(yǔ)

文章探討了如何在教學(xué)過(guò)程中采用啟發(fā)式教學(xué)方法向?qū)W生講授方差分析，從而使學(xué)生理解、掌握和應(yīng)用方差分析。通過(guò)本次教學(xué)探討，學(xué)生明確了方差分析的概念、基本思想和計(jì)算步驟，為以后熟練應(yīng)用方差分析打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。文章最后通過(guò)案例2講解方差分析在回歸分析中的應(yīng)用，這將更有助于學(xué)生理解方差分析與回歸分析的關(guān)系，為以后學(xué)習(xí)回歸分析作了鋪墊。