數(shù)學(xué)物理中一維泊松方程基本解的兩種求法

周文杰，潘 婷，章禮華，馬業(yè)萬(wàn)

（安慶師范大學(xué)物理與電氣工程學(xué)院,安徽安慶246133）

泊松方程是一個(gè)在理論物理和機(jī)械工程等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛的二階橢圓型偏微分方程，含該方程的定解問(wèn)題通常均可采用格林函數(shù)法進(jìn)行求解。在物理上，求解泊松方程的邊值問(wèn)題本質(zhì)上可以歸結(jié)為求相對(duì)應(yīng)的格林函數(shù)，然后通過(guò)將求得的格林函數(shù)代入相應(yīng)的泊松方程解的積分公式，就可以得到該定解問(wèn)題的解。利用格林函數(shù)法求解時(shí)，需要用到與之相對(duì)應(yīng)的基本解。數(shù)學(xué)物理上通常將不同維度下無(wú)界空間的格林函數(shù)稱為該維度上泊松方程的基本解。在國(guó)內(nèi)外眾多數(shù)學(xué)物理方法教材和參考文獻(xiàn)中，如姚端正教授和德國(guó)顧樵教授在他們各自編寫(xiě)的數(shù)學(xué)物理方法教材中均著重討論了三維和二維無(wú)界空間格林函數(shù)，并給出了十分詳細(xì)的求解方法及解的結(jié)果[1-2]，張宏浩教授針對(duì)三維無(wú)界空間格林函數(shù)也給出了詳細(xì)的傅里葉積分法求解過(guò)程[3]，但針對(duì)一維無(wú)界空間格林函數(shù)都鮮有討論，顯式的表達(dá)式也較為少見(jiàn)。為此，本文將在分析討論三維和二維泊松方程基本解的基礎(chǔ)上，分別采用類推法和積分解法，給出一維無(wú)界空間格林函數(shù)的表達(dá)式。

1 類推法求一維泊松方程的基本解

1.1 三維泊松方程的基本解

三維泊松方程的基本解，即三維無(wú)界空間格林函數(shù)G( )M,M0是下述含有三維δ函數(shù)的非齊次方程

為了求解三維無(wú)界空間上泊松方程（1），考慮到空間對(duì)稱性，通過(guò)選取球坐標(biāo)系（選擇源點(diǎn)M0為坐標(biāo)原點(diǎn)），利用傅里葉變換法[2]，可求得上述無(wú)界空間泊松方程（1）的基本解為

其中r為場(chǎng)點(diǎn)M到源點(diǎn)M0的距離，即r= ||MM0。

1.2 二維泊松方程的基本解

二維泊松方程的基本解，即二維無(wú)界平面所對(duì)應(yīng)的格林函數(shù)滿足下述含有二維δ函數(shù)的非齊次方程

的解，其中二維δ函數(shù)可以表示為δ(M-M0)= δ(x-x0,y-y0)，M=M(x,y)，M0=M(x0,y0)，-∞ ＜ x,y ＜ +∞。

選取源點(diǎn)M0為坐標(biāo)原點(diǎn)，在極坐標(biāo)系下對(duì)（3）式求解[1]，可得二維無(wú)界平面上的格林函數(shù)為

其中r為二維平面上場(chǎng)點(diǎn)M到源點(diǎn)M0的距離，也即二維泊松方程的基本解為，它與垂直于XOY平面的具有單位線密度的無(wú)限長(zhǎng)線電荷在r處所形成的電勢(shì)函數(shù)相對(duì)應(yīng)，其中ε為介電常數(shù)，這也正是二維泊松方程基本解的電勢(shì)物理意義。

1.3 類推法求一維泊松方程的基本解

基于上述結(jié)果，下面從格林函數(shù)為勢(shì)函數(shù)的物理意義出發(fā)，通過(guò)類推給出一維泊松方程的基本解。無(wú)界空間格林函數(shù)在三維情形下表示放置于坐標(biāo)原點(diǎn)的單位點(diǎn)電荷在三維空間任意r= ||MM0=處所形成的電勢(shì)，在二維情形下表示線密度ρ=1的垂直于XOY平面的無(wú)限長(zhǎng)線電荷在處所形成的電勢(shì)。單位點(diǎn)電荷可以看作是線密度ρ=1的無(wú)限長(zhǎng)線電荷在原點(diǎn)處的投影，而線密度ρ=1的無(wú)限長(zhǎng)線電荷可以視為面密度σ=1的無(wú)限大面電荷的投影。結(jié)合電磁學(xué)的知識(shí)[4]，面密度σ=1的垂直于x軸的無(wú)限大面電荷在一維空間任意r處產(chǎn)生的電勢(shì)函數(shù)為φ=-r/2ε，其中ε為介電常數(shù)再結(jié)合三維和二維泊松方程基本解的表達(dá)形式和物理意義，可以類推給出一維泊松方程

的基本解，即一維無(wú)界空間格林函數(shù)，可以用面密度σ=1的垂直于x軸的無(wú)限大面電荷在一維空間任意r處形成的電勢(shì)函數(shù)來(lái)表示，也即（5）式的基本解可以表示為

其中r表示x軸上點(diǎn)到平面的距離。將上述分析討論的結(jié)果總結(jié)如表1所示。

表1 三維、二維和一維情形下電勢(shì)函數(shù)和格林函數(shù)

2 積分法求一維泊松方程的基本解

一維泊松方程的基本解即一維格林函數(shù)滿足的泊松方程為

由δ函數(shù)的性質(zhì)[5-6]可得

其中x0在物理上表示源點(diǎn)，考慮到G在物理上表示勢(shì)函數(shù)，取x0處為零電勢(shì)參考點(diǎn)，則C2( )x0=0。又由對(duì)稱性可得根據(jù)階躍函數(shù)的性質(zhì)，有解得C1( )x0=則可得到格林函數(shù)為即

其中，r為x軸上的點(diǎn)到過(guò)源點(diǎn)x0且垂直于x軸的平面的距離。

3 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，本文分析了三維和二維泊松方程基本解的電勢(shì)物理意義，并運(yùn)用類推的方法得出了一維泊松方程基本解，即一維無(wú)界空間格林函數(shù)的顯式數(shù)學(xué)表達(dá)式。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)直接積分法求解一維泊松方程基本解，與類推法得出的結(jié)果完全一致。該方法對(duì)于泊松方程基本解的學(xué)習(xí)和應(yīng)用于定解問(wèn)題的求解具有重要的參考價(jià)值，也有利于加深學(xué)生對(duì)格林函數(shù)的整體理解。