一道高考題的解法探究

張 梅

(四川省成都市四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 610000)

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)提出高中數(shù)學(xué)階段的數(shù)學(xué)教育培養(yǎng)目標(biāo)是：會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界，從而提出了六大核心素養(yǎng).高考題是以課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，以選拔學(xué)生為目的而命制.解析幾何是用代數(shù)方法研究解決幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，滲透了一種重要的數(shù)學(xué)思想—數(shù)形結(jié)合思想，同時(shí)也是高考的熱點(diǎn)之一.本文結(jié)合2018年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅲ文科第22題進(jìn)行多重解法剖析.

一、試題呈現(xiàn)和分析

(1)求α的取值范圍;

(2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程.

立意分析本題以直線和圓這兩種基本幾何圖形為載體.融合了斜率、傾斜角、直線與圓的位置關(guān)系、圓的參數(shù)、點(diǎn)的軌跡等知識點(diǎn)，同時(shí)有三角、二次函數(shù)等知識的交匯命題.注重考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、構(gòu)造思想，分類討論思想.同時(shí)考察了學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問題，多角度解決問題的能力.

二、解法探索和分析

數(shù)學(xué)解題是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要部分.數(shù)學(xué)解題練習(xí)的最終目的是為了培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維通過對解法多角度的探索，積極引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的碰撞.

第一個(gè)小問的解法探究：

解法1圓的普通方程為x2+y2=1.

圓的普通方程為x2+y2=1②.

解法分析解法1的思路是利用圓心到直線的距離d與圓的半徑r之間的大小關(guān)系來計(jì)算直線與圓的位置關(guān)系，特別需要注意直線的斜率不存在的情況.

解法2的思路是聯(lián)立直線的參數(shù)方程和圓的方程，同時(shí)避免了討論直線斜率不存在的情況，靈活運(yùn)用圓系方程解題，可以使計(jì)算量大大的減少.

解法3的思路利用數(shù)形結(jié)合思想，用代數(shù)的語言描述幾何要素及其關(guān)系，構(gòu)造兩個(gè)直角三角形△OQM、△OQN，利用正弦求傾斜角，此法步驟簡單.

第二個(gè)小問解法探究

圓的普通方程為x2+y2=1②.

(3)采用耐磨損、抗靜電能力強(qiáng)的高分子塑料材料為基料加工的斜板，具有表面光滑疏水、抗靜電、耐磨損的特殊效果，細(xì)泥物料不易在斜板板面粘結(jié)和堆積。

又∵tA、tB滿足圓系方程②

∵有兩個(gè)交點(diǎn),∴Δ=4k2-4>0,∴k<-1或k>1.

解法4如圖2所示，設(shè)P(x,y),