引入立體模型提升立體幾何教學(xué)效果

林妙勇

【摘 要】本文論述利用立方體模型提升立方體幾何教學(xué)效果的策略，通過利用立體模型演示并滲透空間觀念、利用立體模型指導(dǎo)觀察幾何體并激活解題靈感、動手制作立體模型以深化思維等途徑，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 立體幾何 立體模型

【中圖分類號】G ?【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2019）02B-0108-02

立體幾何是學(xué)生從二維空間向三維空間的跨越與延伸，它對學(xué)生的空間想象能力、圖像論證能力及空間演繹能力提出了更高的要求。立體幾何教學(xué)是對空間圖形的性質(zhì)、位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系展開的教學(xué)，其知識點(diǎn)抽象而細(xì)碎，也因此成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上難越的高山。而立體模型有著空間位置關(guān)系明確、數(shù)學(xué)性質(zhì)表現(xiàn)突出等特點(diǎn)，使得初次接觸的學(xué)生常常出現(xiàn)想象不出、理解不了等問題。因此在立體幾何教學(xué)中引入立體模型，可以將抽象、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系直觀地展現(xiàn)出來，給學(xué)生以想象的墊板，降低學(xué)習(xí)難度，增強(qiáng)立體幾何的體驗感，以循序漸進(jìn)的方式培養(yǎng)學(xué)生的空間思維，從而更好地推進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)程。

一、利用立體模型演示，滲透空間觀念

根據(jù)以往的教學(xué)經(jīng)驗，如果僅僅憑借教師的口述讓學(xué)生想象立體幾何的位置關(guān)系，那么多數(shù)學(xué)生會出現(xiàn)偏差。因此許多教師將多媒體應(yīng)用于立體幾何教學(xué)中，使之相比于口述教學(xué)成效有所改觀。但多媒體依舊無法將立體幾何以平面圖形形式呈現(xiàn)，限制了教學(xué)效果的提升。立體模型則以其可觀、可觸的特點(diǎn)幫助學(xué)生減小想象偏差，獲得更直觀的體驗，深刻理解立體幾何知識。

例如，關(guān)于“空間幾何體的三視圖”的知識講解，如果只是通過多媒體為學(xué)生呈現(xiàn)多彩的幾何圖形畫面，那么學(xué)生可能會被初始多彩豐富的圖片激起興趣，但無法使學(xué)生體驗到由空間到平面的思維轉(zhuǎn)化，也較難使學(xué)生形成空間概念。因此筆者在教學(xué)這部分知識時選用立體模型代替多媒體教學(xué)，以增加學(xué)生的直觀體驗感，鍛煉其空間轉(zhuǎn)化的思維。筆者將常見的幾何體，如三棱錐、正方體、圓錐體等放置在講臺上，讓學(xué)生在觀察的基礎(chǔ)上，通過旋轉(zhuǎn)演示方式不斷觀察并繪制各個幾何體模型的正視圖、側(cè)視圖及俯視圖。除了規(guī)則的幾何體外，筆者還增加了難度，讓學(xué)生利用發(fā)放的積木堆積成各種不規(guī)則的立體模型，通過轉(zhuǎn)換視角的多維觀察，體驗立體到平面的思維轉(zhuǎn)化過程，把握繪制立體幾何三視圖的技巧。除此之外，筆者還將立體模型應(yīng)用于立體幾何性質(zhì)的分析中。例如，在講解平面的基本性質(zhì)時可借用正方體模型，通過在 8 個頂點(diǎn)中任取不在同一條直線上的 3 個點(diǎn)，以此演示平面的基本性質(zhì)三?；蛘咦寣W(xué)生任選一條棱，并找出棱外的一個頂點(diǎn)，觀察兩者的位置關(guān)系，以此來演示推論一。

立體模型除了能演示上面幾種立體幾何概念與性質(zhì)，也可以演示其他概念，它在教學(xué)演示及示范中具有很大的應(yīng)用價值。由此教師可拓展立體模型在此教學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用范圍，以此增強(qiáng)學(xué)生的直觀體驗，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念及想象力。

二、利用立體模型指導(dǎo)觀察，激活解題靈感

高中立體幾何的題目基本都是圍繞立體幾何的特性來編制的，尤其是幾類基本的立體幾何模型，更是核心解題策略的鑰匙。高中立體幾何運(yùn)用最多的立方體模型為正方體模型和三棱錐模型，學(xué)生若能靈活運(yùn)用這兩種模型，那么就可化解許多難題。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生多觀察這兩種立體模型的特點(diǎn)，多總結(jié)歸納，以激活解題靈感。

一般來說，以三棱錐模型設(shè)立的題目主要表現(xiàn)在兩個方面，一是直接以三棱錐為內(nèi)容編制的問題。二是以三棱錐為解題切入點(diǎn)的其他類型棱錐的題目。比如，用兩個三棱錐構(gòu)造成四棱錐解決與四棱錐相關(guān)的問題。三棱錐可通過增加其數(shù)量構(gòu)造成 n 棱錐，因此三棱錐可以作為解決其他棱錐問題的基礎(chǔ)。在此基礎(chǔ)上可通過引導(dǎo)學(xué)生觀察、總結(jié)有關(guān)三棱錐的結(jié)論，以提高解題效率。比如，在已知三棱錐的側(cè)棱與底面的夾角相等時，可推斷三棱錐頂點(diǎn)在底面的投影位于底面的外心。

而對于正方體模型，不僅可以借用其來理解點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，還可以在題目中套用正方體模型，從而達(dá)到快速解答的目的。例如，2006 年的北京高考題目：

平面 α 的斜線 AB 交平面 α 于點(diǎn) B，過定點(diǎn) A 的動直線 l 與 AB 垂直，且與平面 α 相交于 C 點(diǎn)，問動點(diǎn) C 的軌跡是什么？

此時引入正方體模型，我們可以構(gòu)造一個邊長為 1 的正方體，并建立空間直角坐標(biāo)系，令 A 為點(diǎn) A（0，0，1），則 B 為點(diǎn) B（1，1，0）。設(shè)平面 α 為平面 xOy，點(diǎn) C 為平面 xOy 上任意一點(diǎn) C（x，y，0），那么根據(jù)題意，得向量 AB=（1，1，-1），向量 AC=（x，y，-1），且向量 AB×向量 AC=0，得出 x+y+1=0，從而推出 C 的軌跡為平面 α 內(nèi)的一條直線。

正方體模型被稱為萬能模型，而三棱錐是棱錐類型題目的解題基礎(chǔ)。因此教師在開展立體幾何教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生多觀察、多總結(jié)，合理運(yùn)用正方體、三棱錐模型特性，從而掌握快速找到解題靈感的秘訣。

三、利用立體模型空間演繹，辨析位置關(guān)系

由平面二維空間向立體的三維空間轉(zhuǎn)換時，學(xué)生常常想當(dāng)然地將平面幾何中的結(jié)論直接引申到空間幾何中，從而導(dǎo)致錯誤的判斷。這時借助立體模型，如正方體模型對學(xué)生混淆的命題加以空間演繹，就可以準(zhǔn)確而明朗展開辨析。

為了讓學(xué)生清晰地認(rèn)識空間幾何中線和面之間的相互位置關(guān)系，筆者特意準(zhǔn)備了一些筷子和小紙板，以構(gòu)造實物模型，引導(dǎo)學(xué)生觀察思考。比如在某一課堂上，筆者提問：“同學(xué)們，按照以前學(xué)過的平面幾何知識，當(dāng)兩條直線分別垂直另一條直線時，這兩條直線是什么位置關(guān)系呢？”“平行關(guān)系?！蓖瑢W(xué)們異口同聲地回答說。筆者繼續(xù)問道：“假設(shè)是在三維空間里，那么這個結(jié)論還成立嗎？”“成立。”學(xué)生不假思索地回答道。隨即，筆者把筷子放在講桌上，先將三根筷子圍成一個三角形，再將另一根筷子垂直放在三角形的其中一個頂點(diǎn)上。提問：“現(xiàn)在立著的這根筷子垂直于三角形的兩條邊，但是你們能說這兩條邊相互平行嗎？”學(xué)生都沉默不語?！皩τ谶@個三角形的三個頂點(diǎn)來說，任何一條垂直線都能得出剛才的結(jié)論。同樣，我能把筷子組成的三角形換成這個紙板，在三維空間里，這條線是垂直于紙板這個平面的，可以得到的結(jié)論就是這條線垂直于紙板平面內(nèi)的任意一條直線。”學(xué)生此時才露出了若有所思的表情。筆者接著說道：“在平面幾何中，只存在二維平面關(guān)系，兩條線能夠組成二維平面。而在立體幾何當(dāng)中，存在三維空間關(guān)系，需要一條線以及一個平面才能得到比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈恢藐P(guān)系。所以同學(xué)們，現(xiàn)在你們明白了嗎？”“明白啦?！睂W(xué)生此時異口同聲地回答。

運(yùn)用實物模型開展空間演繹，打破了學(xué)生空間想象力差的局限，讓學(xué)生在實物模型的直觀、清晰的演繹中辨認(rèn)二維平面與三維立體中點(diǎn)線面位置關(guān)系的差異性，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維和空間思維。

四、動手制作立體模型，深化思維能力

立體幾何知識普遍有一定的抽象性，學(xué)生通過空間想象去描述立體幾何中蘊(yùn)含的空間關(guān)系時，常常會出現(xiàn)遺漏或偏差甚至是錯誤。因此在學(xué)習(xí)立體幾何時引導(dǎo)學(xué)生去動手操作，制作立體模型，在動手動腦中將抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系以直觀形象的方式呈現(xiàn)在眼前，降低學(xué)習(xí)難度，提高解題效率。

在教學(xué)中筆者常聽到學(xué)生抱怨說：“我想象不出來，為什么是這樣的呢？”在抱怨中，學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的熱情會逐漸消失。因此筆者嘗試站在學(xué)生的角度幫助學(xué)生克服這個問題，筆者回想起當(dāng)初自己在學(xué)習(xí)立體幾何時，空間想象力也是十分匱乏，于是就每天花一些時間制作在題目中遇到的立體模型，通過演繹題目中所描述的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系來理解題目。于是，課上當(dāng)學(xué)生在為題目“有長方體 ABCD-A1B1C1D1，其中 AB=5，BC=3，AA1=4，請計算 AC 與 BD1 所成角的大小”而苦惱時，筆者為學(xué)生分發(fā)細(xì)鉛絲和工具，說：“大家運(yùn)用手中的材料將題目中的長方體模型制作出來，并標(biāo)明題目中的數(shù)量關(guān)系?！睂W(xué)生通過動手制作模型、標(biāo)明題目條件，學(xué)生很快地清楚發(fā)現(xiàn) AC 與 BD1 為異面角。如何求這個異面角的大小呢？學(xué)生陷入了思考。筆者提示說：“有沒有什么辦法將所求角變成同面角呢？”學(xué)生在擺弄模型中發(fā)現(xiàn)，若將兩個長方體對接在一起，就可以將前一個長方體的 BD1 與后一個長方體的 AC 構(gòu)成同面角，而且這兩個長方體的 AC 相互平行，構(gòu)造出來的同面角與所求角大小相同。此時就可以通過三角形的三邊長求得夾角的大小。

課堂上制作的模型給學(xué)生找到了攀登立體幾何大山的拐杖。課后學(xué)生常常通過自主制作模型去明確、觀察題目中所描述的條件，并以此尋找解題的突破點(diǎn)。在制作模型中潛移默化地深化了學(xué)生的空間思維，慢慢地，學(xué)生對各種立體幾何的空間關(guān)系了然于胸，逐步達(dá)到丟了“拐杖”也能走的境界。

高中數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力、邏輯推演能力的重要階段，因此要積極將立體模型這一教學(xué)工具引入到立體幾何教學(xué)中。從空間概念教學(xué)到解題技巧滲透再到自主動手感知中，充分發(fā)揮立體模型形象、直觀的特點(diǎn)，推進(jìn)教學(xué)進(jìn)度，提高教學(xué)效率，夯實學(xué)生三維空間知識學(xué)習(xí)成果。

【參考文獻(xiàn)】

[1]張培培.淺談高中立體幾何的入門學(xué)習(xí)[J].學(xué)周刊（C版），2014（12）

[2]邵鵬菲.立體幾何課堂教學(xué)中模型應(yīng)用的思考和探索[J].實踐與反思，2014（09）

（責(zé)編 盧建龍）