一類廣義部分Kloosterman 和的上界估計

胡雙年,刁天博，尹秋雨,牛玉俊， 吳宏鍔

(1.南陽理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,河南 南陽 473004;2.鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,河南 鄭州 450001;3.四川大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610064)

經(jīng)典Kloosterman 和是指下述形式的指數(shù)和:

Kloosterman和的研究在數(shù)論中有著重要的意義。近年來,人們通過對Kloosterman和更加精細(xì)的估計,在許多領(lǐng)域取得了重要成果。 如Duke,Friedlander和Iwaniec在文獻(xiàn)[9]中得到了著名結(jié)果:設(shè)f(x)=ax2+2bx+c∈Z[x],且D=ac-b2>0。則對任意給定h≠0，有

所謂部分Kloosterman和,是指如下形式的和式:

其中a,b為整數(shù),m為正整數(shù),gcd(a,m)=1,M,N是正整數(shù),N≤m。x限制在與m互素的整數(shù)上取值,x*為不超過m的正整數(shù),且xx*≡1 (modm)。若該和式是空和(即求和區(qū)間內(nèi)沒有元素),則我們規(guī)定該和等于0。對于部分Kloosterman和, 數(shù)學(xué)家們也做了許多研究[12-14]。同時,除了對經(jīng)典部分Kloosterman和進(jìn)行研究以外,數(shù)學(xué)家們還對其進(jìn)行了推廣,定義了一些新的和式。如部分雙線性 Kloosterman和:

其中M1,M2,N1,N2,m為正整數(shù),a為整數(shù)。

2014年Bourgain和Garaev[16]通過研究同余方程的解的個數(shù),給出了一類部分Kloosterman和的上界估計。本文利用文獻(xiàn)[17]中得到的一類同余方程解數(shù)的上界,給出一類新的部分多重線性Kloosterman和的估計,這推廣了文獻(xiàn)[16]中的部分結(jié)果。

定理1設(shè)n,k1,k2為正整數(shù),n≥2,N為不超過m的正整數(shù),Ki(i=1,…,n)為大正整數(shù),并且對任意1≤j≤n-1,有2Kj

1 預(yù)備知識

本節(jié)主要給出幾個證明定理1時所需要的引理。

引理1[17]設(shè)n,k為正整數(shù),且n≤2。對任意i=1,…,n,Ki為大正整數(shù),并且對任意 1≤j≤n-1,有2Kj

引理2[16]設(shè)k為任意正整數(shù)。N為不超過m的正整數(shù),I=[1,N]。設(shè)J2k(N)表示同余方程

滿足xi∈I∩P的解的個數(shù),其中1≤i≤n。則有

特別地,在H?lder不等式中取p=q=2,即得著名的Cauchy-Schuwarz不等式:

引理4對于任意復(fù)數(shù)z, 均存在一個依賴于z的常數(shù)ζz,使得|z|=ζzz,且|ζz|=1。

證明由復(fù)數(shù)的指數(shù)表示知，對任意復(fù)數(shù)z, 均有z=|z|eiθ。令ζz=e-iθ即得|z|=ζzz,且顯然有|ζz|=1。

引理5對任意a∈Z, 有

證明注意到em(a)=1當(dāng)且僅當(dāng)m|a。因此利用等比數(shù)列求和公式,直接計算即得結(jié)論。

2 定理1的證明

在這一節(jié)中,我們證明定理1。記定理1中不等式左邊絕對值中的和式為S1,即

我們分兩種情形討論。

情形1k2=1。此時由三角不等式,有

情形2k2>1。此時由引理3(H?lder不等式)得

因此無論哪種情形,均有

(1)

由引理4知,存在一個依賴于q的復(fù)數(shù)|ζq|=1,使得

將上式代入式(1),有

|S1|k2≤

(2)

令集合

S:={x:x=p(1)p(2)…p(n),p(j)∈Ij∩P},

其中Ij為引理1中定義的整數(shù)區(qū)間。對于任意整數(shù)λ, 0≤λ≤m-1,令Jk(λ)表示同余方程

滿足xi∈S的解的集合。

對式(2)兩邊再次使用H?lder不等式(或者三角不等式)得

(3)

由Cauchy-Schwarz不等式可得

|S1|2k1k2≤

(4)

注意到

其中ζqi為依賴于qi的復(fù)數(shù),且|ζqi|=1。因此

(5)

其中最后一個等式我們利用了引理5。將式(2), (5)代入(4)，即有

|S1|2k1k2≤

由引理1和引理2，可得

|S1|2k1k2≤

(6)

注意k1,k2為正整數(shù),故2k1+2k2-2≤2k1k2。從而在式(6)兩邊開2k1k2次方即得定理1。