動(dòng)力陀螺式導(dǎo)引頭動(dòng)力學(xué)建模與分析

亢有為，王 楓，陳東方，沈 莉

(1. 上海機(jī)電工程研究所，上海 201109； 2. 上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109)

0 引 言

導(dǎo)引頭技術(shù)是精確制導(dǎo)武器的核心技術(shù)，用來完成對目標(biāo)的自主搜索、識別和跟蹤，并輸出制導(dǎo)律所需要的控制信號。導(dǎo)引頭的主要功能有：①隔離或消除彈體姿態(tài)角擾動(dòng)，實(shí)現(xiàn)光軸空間指向的穩(wěn)定；②截獲并跟蹤目標(biāo)；③輸出實(shí)現(xiàn)導(dǎo)引規(guī)律所需的信息，如采用比例導(dǎo)引法時(shí)就需要導(dǎo)引頭輸出目標(biāo)視線角速度。

導(dǎo)引頭的性能指標(biāo)直接影響導(dǎo)彈的制導(dǎo)精度，而導(dǎo)引頭最關(guān)鍵的性能指標(biāo)之一就是其解耦能力和跟蹤能力。為了進(jìn)一步分析導(dǎo)引頭的性能，必須建立動(dòng)力學(xué)模型。目前國內(nèi)大部分文獻(xiàn)[1-6]都以陀螺的進(jìn)動(dòng)角作為狀態(tài)量進(jìn)行建模。這種方法雖然可以描述導(dǎo)引頭工作的各物理環(huán)節(jié)，但并不能體現(xiàn)導(dǎo)引頭動(dòng)力學(xué)的本質(zhì)。本文以動(dòng)力陀螺式導(dǎo)引頭為例，以失調(diào)角(光軸與視線軸之間的夾角)為狀態(tài)量對導(dǎo)引頭進(jìn)行建模[7]，從動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性的角度分析了影響導(dǎo)引頭解耦性能和跟蹤性能的因素，并通過數(shù)字仿真驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性，可為動(dòng)力陀螺式導(dǎo)引頭的設(shè)計(jì)和試驗(yàn)結(jié)果分析提供理論指導(dǎo)。

1 動(dòng)力陀螺式導(dǎo)引頭工作原理

導(dǎo)引頭從結(jié)構(gòu)上可分為位標(biāo)器和電子艙兩大部分，其中，位標(biāo)器位于導(dǎo)引頭前端，負(fù)責(zé)探測和跟蹤目標(biāo)，同時(shí)隔離彈體姿態(tài)運(yùn)動(dòng)以保持光軸的定軸性(通常簡稱為解耦能力)。位標(biāo)器的功能是保持空間穩(wěn)定，它是導(dǎo)引頭實(shí)現(xiàn)角跟蹤及其他功能的基礎(chǔ)。導(dǎo)引頭按照位標(biāo)器實(shí)現(xiàn)空間穩(wěn)定的方式不同，可以分為動(dòng)力陀螺式、速率陀螺式、積分陀螺式、捷聯(lián)式4種[8]，如圖1所示。

圖1 導(dǎo)引頭分類Fig. 1 Seeker classification

其中，動(dòng)力陀螺式又分為動(dòng)力隨動(dòng)陀螺式和陀螺隨動(dòng)框架式。本文主要分析動(dòng)力隨動(dòng)陀螺式導(dǎo)引頭，后文簡稱為動(dòng)力陀螺式導(dǎo)引頭。動(dòng)力陀螺式導(dǎo)引頭只能穩(wěn)定導(dǎo)引頭光軸，通常用于跟蹤點(diǎn)源式目標(biāo)，其位標(biāo)器結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 動(dòng)力陀螺式導(dǎo)引頭位標(biāo)器結(jié)構(gòu)Fig. 2 The structure of gyro-rotor (gyro-stabilized seeker)

動(dòng)力陀螺式導(dǎo)引頭采用三自由度陀螺作為跟蹤機(jī)構(gòu)，探測器和光學(xué)系統(tǒng)安裝在陀螺轉(zhuǎn)子上，光軸與轉(zhuǎn)子軸重合，且基座固連于彈體，進(jìn)動(dòng)線圈也固連于彈體。

目標(biāo)輻射或反射的信號經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)聚焦于探測器焦平面，探測器將目標(biāo)信號轉(zhuǎn)化為失調(diào)角電信號；電子艙對失調(diào)角信號進(jìn)行處理，生成成比例的誤差跟蹤電流并輸出給與彈體固連的進(jìn)動(dòng)線圈；通過陀螺磁場與進(jìn)動(dòng)線圈磁場的相互作用，陀螺的轉(zhuǎn)子軸向視線方向進(jìn)動(dòng)，從而減小光軸與視線軸之間的失調(diào)角，實(shí)現(xiàn)導(dǎo)引頭對目標(biāo)的閉環(huán)跟蹤。動(dòng)力陀螺式導(dǎo)引頭工作原理如圖3所示。

圖3 動(dòng)力陀螺式導(dǎo)引頭工作原理Fig. 3 The working principle of gyro-stabilized seeker

動(dòng)力陀螺式導(dǎo)引頭的一個(gè)重要特點(diǎn)是依靠位標(biāo)器陀螺轉(zhuǎn)子的定軸性來實(shí)現(xiàn)光軸的穩(wěn)定和解耦，同時(shí)利用陀螺的進(jìn)動(dòng)性來實(shí)現(xiàn)光軸轉(zhuǎn)動(dòng)跟蹤。動(dòng)力陀螺式導(dǎo)引頭存在以下缺點(diǎn)：首先，定軸性和進(jìn)動(dòng)性存在矛盾，動(dòng)力陀螺式導(dǎo)引頭的解耦能力主要依靠陀螺的定軸性來保證，但提高定軸性會(huì)影響進(jìn)動(dòng)性，因而這類導(dǎo)引頭的快速跟蹤能力有限；其次，由于內(nèi)框式導(dǎo)引頭的進(jìn)動(dòng)線圈固連于彈體，導(dǎo)引頭控制力矩會(huì)隨導(dǎo)引頭光軸與彈體軸之間失調(diào)角的增大而減小，這種電磁形式控制力矩獲取方式使得導(dǎo)引頭無法產(chǎn)生較大的控制力矩，從而導(dǎo)致動(dòng)力陀螺式導(dǎo)引頭在大離軸角下無法實(shí)現(xiàn)對大機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤。

2 導(dǎo)引頭動(dòng)力學(xué)建模

2.1 坐標(biāo)系定義

根據(jù)導(dǎo)引頭動(dòng)力學(xué)建模的需要，本文定義了以下5個(gè)坐標(biāo)系[9]。

1)Ogab——慣性坐標(biāo)系。原點(diǎn)位于導(dǎo)彈質(zhì)心，Og指向?qū)楋w行方向，Oa的正向豎直向上，Ob依據(jù)右手定則而得。

2)Ox1y1z1——彈體坐標(biāo)系。原點(diǎn)位于導(dǎo)引頭回轉(zhuǎn)中心；Ox1軸為彈體的縱向?qū)ΨQ軸，指向彈頭方向?yàn)檎?；Oy1軸位于彈體縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，與Ox1軸垂直，向上為正；Oz1軸與Ox1軸、Oy1軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。彈體坐標(biāo)系由慣性坐標(biāo)系依次通過偏航角ψ，俯仰角?和滾轉(zhuǎn)角γ獲得。

3)OXYZ——導(dǎo)引頭光軸坐標(biāo)系。原點(diǎn)位于導(dǎo)引頭回轉(zhuǎn)中心，OX軸為光學(xué)系統(tǒng)軸，OY軸為內(nèi)環(huán)軸，OZ軸通過右手定則得到。該坐標(biāo)系是彈體坐標(biāo)系繞Oy1軸轉(zhuǎn)φry和繞OZ軸轉(zhuǎn)φrz后形成的。

4)導(dǎo)引頭陀螺坐標(biāo)系。陀螺坐標(biāo)系是由導(dǎo)引頭光軸坐標(biāo)系繞OX軸轉(zhuǎn)γX后形成的。

5)Oxyz——目標(biāo)視線坐標(biāo)系。原點(diǎn)位于導(dǎo)引頭回轉(zhuǎn)中心，Ox軸為目標(biāo)視線軸，Oy軸在彈體縱平面內(nèi)與Ox垂直，Oz軸通過右手定則確定。該坐標(biāo)系是彈體坐標(biāo)系繞Oy1軸轉(zhuǎn)φsy和繞Oz軸轉(zhuǎn)φsz后得到。

上述各坐標(biāo)系間的關(guān)系如圖4所示。

圖4 坐標(biāo)系間的關(guān)系Fig. 4 The relationship between coordinate systems

2.2 導(dǎo)引頭動(dòng)力學(xué)模型建立

假定導(dǎo)引頭已進(jìn)入跟蹤狀態(tài)，如圖5所示，從彈頭方向看去，目標(biāo)信號在探測器上成像或形成脈沖。經(jīng)解算，目標(biāo)在光軸坐標(biāo)系下偏航和俯仰方向上的失調(diào)角分別為α和β。為使導(dǎo)引頭光軸指向目標(biāo)視線，需要在OY軸正向上施加控制力矩MY來減小偏航方向上的失調(diào)角α；在OZ軸正向上施加控制力矩MZ來減小俯仰方向上的失調(diào)角β?？刂七^程為：將由電子艙功率放大后的電流信號發(fā)送到力矩器，產(chǎn)生一個(gè)進(jìn)動(dòng)力矩，施加在陀螺框架軸上，使陀螺發(fā)生進(jìn)動(dòng)，從而驅(qū)動(dòng)導(dǎo)引頭光學(xué)系統(tǒng)不斷跟蹤目標(biāo)。

圖5 陀螺運(yùn)動(dòng)分析簡圖Fig. 5 The schematic diagram of gyro motion analysis

進(jìn)入力矩器的電流與導(dǎo)引頭失調(diào)角成正比，記為

I=k0·A

(1)

式中：I為進(jìn)入力矩器的兩個(gè)方向上的電流信號；A為兩個(gè)方向上的失調(diào)角信號，A=α,β；k0為對應(yīng)的比例系數(shù)，在光軸坐標(biāo)系中得出

(2)

式中：k1為導(dǎo)引頭失調(diào)角力矩器轉(zhuǎn)換系數(shù)；k為失調(diào)角與力矩的轉(zhuǎn)換系數(shù)。ωp為光軸系下視線角速度矢量，彈體系中的視線角速度矢量與ωp轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(3)

視線系中的視線角速度矢量與ωp轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(4)

由于導(dǎo)引頭中的失調(diào)角α和β都較小，經(jīng)過小角度假設(shè)，式(4)等價(jià)為

(5)

聯(lián)立式(3)～(5)，簡化可得

(6)

(7)

(8)

用Ω表示轉(zhuǎn)子相對于彈體的自轉(zhuǎn)角速度，求出轉(zhuǎn)子的絕對角速度在陀螺坐標(biāo)系上的投影為

(9)

由剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)歐拉動(dòng)力學(xué)方程得到在光軸坐標(biāo)系下的導(dǎo)引頭動(dòng)力學(xué)方程為

(10)

其中

(11)

式中：MX、MY、MZ為相對于光軸系各軸的外力矩；HX,HY,HZ為導(dǎo)引頭轉(zhuǎn)子相對于光軸系各軸的動(dòng)量矩,并令HY=HZ=H；JX,JY，JZ為導(dǎo)引頭轉(zhuǎn)子相對于光軸系各軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，并令JY=JZ=Jr。

(12)

(13)

聯(lián)立方程(6)～(13)，不考慮旋轉(zhuǎn)磁場對進(jìn)動(dòng)的影響，忽略內(nèi)環(huán)及外環(huán)框產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，RY(t)、RZ(t)為高階小量，令

(14)

3 動(dòng)力陀螺式導(dǎo)引頭動(dòng)力學(xué)分析

動(dòng)力陀螺式導(dǎo)引頭的動(dòng)力學(xué)性能決定了導(dǎo)引頭的跟蹤性能。導(dǎo)引頭動(dòng)力學(xué)模型是4階的，其中兩個(gè)模態(tài)屬于導(dǎo)引頭的高階模態(tài)，即章動(dòng)。正是由于導(dǎo)引頭高階模態(tài)的存在，當(dāng)其開環(huán)增益增大時(shí)導(dǎo)引頭會(huì)趨向于不穩(wěn)定，從而限制了導(dǎo)引頭的跟蹤能力。導(dǎo)引頭高階頻率的衰減是導(dǎo)引頭動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)必須考慮的因素，在保證導(dǎo)引頭性能穩(wěn)定的前提下，可通過增大導(dǎo)引頭開環(huán)增益來提高導(dǎo)引頭的跟蹤性能。

3.1 解耦性分析

為了研究導(dǎo)引頭的穩(wěn)定性，可先假定目標(biāo)視線角速度為零，目標(biāo)視線的角速度分量ωsx、ωx1很小可以忽略，忽略干擾力矩MdY、MdZ和高階小量RY(t)、RZ(t)的影響，且由于Jr、C和k、H相比較小，可暫時(shí)忽略其影響。對式(14)進(jìn)行拉氏變換可得

(15)

式中：

分析可知，隨著陀螺動(dòng)量矩H及k的增大，導(dǎo)引頭穩(wěn)定性能越來越好。由于在實(shí)際導(dǎo)引頭中C值較小，彈體擾動(dòng)主要是通過干摩擦力矩影響失調(diào)角。由于自動(dòng)駕駛儀信號取自失調(diào)角信號，所以希望彈體擾動(dòng)所引起的失調(diào)角為0。在實(shí)際應(yīng)用中，可以獲得導(dǎo)引頭未進(jìn)動(dòng)時(shí)的干摩擦力矩或通過一定的辨識方法獲得導(dǎo)引頭進(jìn)動(dòng)過程中的干摩擦力矩。利用上述干摩擦力矩對彈體擾動(dòng)引起的失調(diào)角進(jìn)行補(bǔ)償，可以減小彈體擾動(dòng)對導(dǎo)引頭解耦性能的影響。

3.2 跟蹤性分析

導(dǎo)引頭跟蹤性能主要考慮導(dǎo)引頭的品質(zhì)因數(shù)、最大跟蹤角速度、響應(yīng)時(shí)間常數(shù)、跟蹤精度。

導(dǎo)引頭品質(zhì)因數(shù)定義為

Q=ω/a

(16)

式中：ω為視線角速度，單位為(°)/s；a為跟蹤狀態(tài)下導(dǎo)引頭光軸指向相對于目標(biāo)視線的滯后角度,單位為(°)，通常稱為失調(diào)角。

為了研究導(dǎo)引頭的跟蹤能力，先不考慮彈體的擾動(dòng)，目標(biāo)視線的角速度分量ωsx、ωx1很小可忽略，同時(shí)忽略干擾力矩MdY、MdZ及高階小項(xiàng)RY(t)、RZ(t)的影響?？紤]目標(biāo)視線機(jī)動(dòng)的頻率不大，對式(14)進(jìn)行拉氏變換可得

(17)

忽略干摩擦力矩對失調(diào)角的影響，并且失調(diào)角角速度的頻率不大于轉(zhuǎn)折頻率k1/H時(shí)，控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)得到

(18)

將式(18)代入式(16)可得

(19)

從動(dòng)力學(xué)角度分析式(14)的穩(wěn)定性，由式(14)得出控制系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為

Δ(s)=[s(Jrs+C)]2+(k+Hs)2=

(20)

根據(jù)勞斯判據(jù)得到穩(wěn)定性條件為

(21)

假設(shè)4次方程的根分為模值較大與模值較小的兩組，依據(jù)近似求根法將式(20)分別近似為：

1) 對于模值很大的根，原式(20)可近似為

(22)

求解得到

(23)

2)對于模值很小的根，原式(20)的近似為

H2s2+2kHs+k2=0

(24)

求解得到

(25)

4 測試與仿真分析

基于導(dǎo)引頭動(dòng)力學(xué)模型開展數(shù)字仿真，通過對比數(shù)字仿真結(jié)果和半實(shí)物結(jié)果驗(yàn)證所建立模型的正確性，并分析導(dǎo)引頭的解耦性能和跟蹤性能。將導(dǎo)引頭實(shí)際參數(shù)代入導(dǎo)引頭動(dòng)力學(xué)模型式(14)，并考慮導(dǎo)引頭控制系統(tǒng)中采樣保持、力矩器的限幅和功率放大器的一階慣性延遲。模型中采用陀螺轉(zhuǎn)子動(dòng)量矩H=26.46 N·cm·s，導(dǎo)引頭轉(zhuǎn)子繞赤道軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jr=0.049 N·cm·s2，摩擦力矩Mgm=0.098 N·cm，比速度摩擦力矩系數(shù)C=1.1×10-2N·cm/(rad·s-1)，在Simulink下進(jìn)行仿真計(jì)算。

在俯仰方向視線角速度為10 (°)/s，偏航方向視線角速度為0 (°)/s時(shí)，輸入和輸出結(jié)果如圖6所示。其中：UU為視線角速度輸入信號；Uy為偏航方向輸出信號；Uz為俯仰方向輸出信號。仿真結(jié)果顯示輸出信號存在一定量的超調(diào)，但達(dá)到穩(wěn)態(tài)后與輸入信號吻合較好，且偏航和俯仰兩個(gè)方向的耦合度較低。

圖6 視線角速度輸入輸出和失調(diào)角變化Fig.6 The input-output of LOS angular velocity and the variation of misalignment angle

在偏航方向視線角速度為0 (°)/s，俯仰方向?yàn)? (°)/s時(shí)，進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真與半實(shí)物仿真，結(jié)果如圖7所示。兩組曲線基本相同，數(shù)學(xué)仿真輸出延遲時(shí)間約0.1 s，超調(diào)2 V，而且輸出幅值都有波動(dòng)，波動(dòng)幅值為0.25 V。數(shù)學(xué)仿真結(jié)果與半實(shí)物仿真結(jié)果存在差別的原因是：實(shí)際電路中的零偏誤差、高斯噪聲、陀螺內(nèi)外環(huán)軸與框架間的干摩擦以及比速度摩擦力矩系數(shù)不精確等。

圖7 半實(shí)物與數(shù)學(xué)仿真結(jié)果對比Fig. 7 The comparison of hardware-in-loop simulation and mathematical simulation

5 結(jié)束語

本文介紹了動(dòng)力陀螺式導(dǎo)引頭的工作原理，重點(diǎn)分析了動(dòng)力陀螺式導(dǎo)引頭的動(dòng)力學(xué)模型，通過分析得出影響導(dǎo)引頭解耦性能和跟蹤性能的重要參數(shù)。分析表明，導(dǎo)引頭轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和導(dǎo)引頭阻尼系數(shù)對導(dǎo)引頭穩(wěn)定性有決定性的影響。通過對比數(shù)字仿真和半實(shí)物仿真結(jié)果，驗(yàn)證了所建動(dòng)力學(xué)模型和解析結(jié)果分析的準(zhǔn)確性，并分析了數(shù)字仿真和半實(shí)物仿真存在偏差的原因。