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    我出高考數(shù)學(xué)題(二十五)

    2019-08-22 04:49:31陳國林胡迷革袁琳
    高中生·天天向上 2019年8期
    關(guān)鍵詞:設(shè)點題設(shè)準(zhǔn)線

    陳國林 胡迷革 袁琳

    1.已知cos( -α)-sin α= ,則cos(α- )的值為

    A.- ? ? ? ? ? ? ?B. ? ? ? ? ? ? ?C.- ? ? ? ? ? D.

    解 由cos( -α)-sin α= cos α + sin α-sin α=- sin α+ cos α=-sin(α- )= ,可得sin(α- )=- .所以cos(α- )=cos(α- - )=sin(α- )=- .選C.

    2.已知f(x)是定義在(- , )上的奇函數(shù),f ′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).若對任意的x∈(0, ),有f ′(x)sin xcos x+ f(x)>0,則當(dāng)0

    A.(- , ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B.(- ,- )∪( , )

    C.(- ,0)∪(0, ) ?D.(- ,- )∪( , )

    解 根據(jù)已知可令g(x)= f(x)tan x,則g′(x)= .由于對任意的x∈(0, ),有f ′(x)sin xcos x+ f(x)>0,所以當(dāng)x∈(0, )時,g′(x)>0,則函數(shù)g(x)在(0, )上單調(diào)遞增.又f(x)在(- , )上為奇函數(shù),所以g(-x)= f(-x)tan(-x)= f(x)tan x=g(x),則g(x)在(- , )上為偶函數(shù).由于0

    3.已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex+1+ax2,a∈R.

    (Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

    (Ⅱ)若函數(shù)f(x)有兩個零點x1,x2,且x1 f(-x2).

    (Ⅰ)解:函數(shù)f(x)的定義域為R, f ′(x)=xex+1+2ax=x(ex+1+2a).

    若a≥0,則ex+1+2a>0.于是有當(dāng)x∈(-∞,0)時, f ′(x)<0恒成立;當(dāng)x∈(0,+∞)時,f ′(x)>0恒成立.所以f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

    若a<0,令x(ex+1+2a)=0,可得xm=0,xn=-1+ln(-2a).

    若- xn.當(dāng)x∈(-∞,xn)∪(xm,+∞)時, f ′(x)>0恒成立;當(dāng)x∈(xn,xm)時,f ′(x)<0恒成立.所以f(x)在(-∞,xn)和(xm,+∞)上單調(diào)遞增,在(xn,xm)上單調(diào)遞減.

    若a=- ,則xm =xn.當(dāng)x∈R時, f ′(x)≥0恒成立,所以f(x)在R上是增函數(shù).

    若a<- ,則xm 0恒成立;當(dāng)x∈(xm,xn)時,f ′(x)<0恒成立.所以f(x)在(-∞,xm)和(xn,+∞)上單調(diào)遞增,在(xm,xn)上單調(diào)遞減.

    綜上可知,當(dāng)a≥0時,f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)-

    (Ⅱ)證明:當(dāng)a≤0時,由(Ⅰ)可知,若x≤0,則f(x)≤{f(0),f [-1+ln(-2a)]}max.由于f(0)=-e<0,當(dāng)a<- 時f(0)> f [-1+ln(-2a)],當(dāng)- 0.

    當(dāng)a>0時,f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,從而x1<00,所以F′(x)>0對任意的x∈(0,+∞)恒成立,從而F(x)在(0,+∞)上遞增,則F(x)>F(0)=0,即f(x)> f(-x).由于x1<0 f(-x2),即 f(x1)> f(-x2).

    (陳國林,中國優(yōu)選法統(tǒng)籌法與經(jīng)濟數(shù)學(xué)研究會會員,“課堂內(nèi)外杯”青少年科學(xué)素養(yǎng)大賽命題專家?guī)斐蓡T,中學(xué)數(shù)學(xué)建模競賽命題人,獲得國家級、省級獎勵10余項)

    4.直線AB經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點F,且與拋物線交于A,B兩點,若|BF|=2|AF|,則|AF|=______.

    解 設(shè)l為拋物線的準(zhǔn)線,其與x軸交于點K.作AA′⊥l,交l于點A′;作BB′⊥l,交l于點B′,如右圖所示.于是有|AA′|=|AF|, |BB′|=|FB|,AA′∥BB′∥FK.在△CBB′中,由 = = , |BC|=|AC|+|AA′|+|BB′|,可得|AC|=3|AF|.于是在△CFK中,由 = = ,可得|AF|=|AA′|= |FK|= .

    5.已知F(c,0)是雙曲線C: - =1(a>0,b>0)的右焦點,圓(x-c)2+y2=4b2與雙曲線C的一條漸近線相交于A,B兩點,若|AB|=2a,則雙曲線C的離心率為

    A. ? ? ? ? ?B. ? ? ? ?C. ? ? ? ? ?D.2

    解 設(shè)AB的中點為M,連接MF,則MF⊥AB.由已知可得|AM|=a,|MF|=b,|AF|=2b.由勾股定理得4b2=a2+b2,則 = ,所以e= = .選C.

    6.已知橢圓C的兩焦點分別為F1(-1,0),F(xiàn)2 (1,0),且經(jīng)過點(1, ).

    (Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

    (Ⅱ)設(shè)直線l:x=my+1與橢圓C相交于A,B兩點,點B在直線n:x=2上的射影為點D,當(dāng)m變化時,直線AD是否過定點?寫出判斷依據(jù).

    解 (Ⅰ)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 +y2=1.(解答過程省略)

    (Ⅱ)設(shè)點A的坐標(biāo)為(x1,y1),點B的坐標(biāo)為(x2,y2).由x2+2y2=2,x=my+1,可得(m2+2)y2+2my-1=0,Δ=4m2+4(m2+2)>0,則y1+y2 =- ,y1y2 =- .于是可得 + =2m,則y2= .又點D的坐標(biāo)為(2,y2),則直線AD的斜率k= = = ,于是可得直線AD的方程為y-y2= ·(x-2),即y = (x- ).所以,直線AD經(jīng)過定點( ,0).

    (胡迷革,中學(xué)高級教師,河北省特級教師,長年承擔(dān)高三理科重點班教學(xué)工作,多次參與邯鄲市模擬考試命題工作,多次被評為市命題工作先進個人)

    7.正三角形ABC的邊長為2 ,以A為圓心、3為半徑的圓分別交AB,AC于點E,F(xiàn),P是優(yōu)弧EF上的一點,且 =λ + ?μ ,則λμ的取值范圍是

    A.[- , ] ? ? ?B.[- , ]

    C.[- , ] ? ? ? D.[- , ]

    解 取邊BC的中點為D,以A為原點,AD所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則點A的坐標(biāo)為(0,0),點B的坐標(biāo)為(- ,-3),點C的坐標(biāo)為( ,-3).設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0,y0),則 =(x0,y0), =(- ,-3), =( ,-3).由 =λ + ?μ ,可得x0=- λ+ μ,y0=-3λ-3μ,則λ=- ,μ= ,所以λμ=- · = - =- =- .由y0∈[- ,3],可得y20∈[0,9],則λμ=- ∈[- , ].選C.

    8.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,過點F的直線l交拋物線于A,B兩點,交拋物線的準(zhǔn)線于點C.若A是BC的中點,則直線l的斜率k=______.

    解 過點A,B分別作準(zhǔn)線的垂線,交準(zhǔn)線于點D,E.由于A是BC的中點,所以 = = .設(shè)點A的坐標(biāo)為(x1,y1),點B的坐標(biāo)為(x2,y2),則-2y1=y2 .設(shè)直線l:x=my+ .由x=my+ ,y2=2px,可得y2-2mpy-p2=0,Δ=4m2p2+4p2>0,則y1+y2=2mp,y1y2=-p2.于是可得y1=-2mp,y21= ,則4m2p2= ,解得 =8,即k=±2 .

    9.已知函數(shù)f(x)=eln x-ax+1.

    (Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性.

    (Ⅱ)對任意的x∈[1,e],都有f(x)

    解 (Ⅰ)由已知有 f ′(x)= -a,x>0.當(dāng)a≤0時, f ′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.當(dāng)a>0時,在(0, )上 f ′(x)>0,在( ,+∞)上 f ′(x)<0,所以f(x)在(0, )上單調(diào)遞增,在( ,+∞)上單調(diào)遞減.

    綜上所述,當(dāng)a≤0時,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時,f(x)在(0, )上單調(diào)遞增,在( ,+∞)上單調(diào)遞減.

    (Ⅱ)由已知有對任意的x∈[1,e],fmax(x)

    當(dāng)a≤0時,由(Ⅰ)可知f(x)在[1,e]上單調(diào)遞增,則fmax(x)= f(e)=e-ae+1>0>a,與題設(shè)條件矛盾.

    當(dāng)a>0時,由(Ⅰ)可知f(x)在(0, )上單調(diào)遞增,在( ,+∞)上單調(diào)遞減.當(dāng) <1,即a >e時,f(x)在[1,e]上單調(diào)遞減,則fmax(x)= f(1)=1-a e,即01>a,與題設(shè)條件矛盾.當(dāng)1≤ ≤e,即1≤a≤e時,f(x)在[1, ]上單調(diào)遞增,在[ ,e]上單調(diào)遞減,則fmax(x)= f( )=1-eln a.由1-eln a0.令g(x)=eln x+x-1,x∈[1,e],則在[1,e]上,g ′(x)= +1>0,可得g(x)在[1,e]上單調(diào)遞增.又g(1)=0,所以g(x)>0的解集為(1,e],即a∈(1,e].

    綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是(1,+∞).

    (袁琳,中學(xué)高級教師,骨干教師,榮獲市級優(yōu)質(zhì)課一等獎,常年從事一線教學(xué)工作,探尋試題命題規(guī)律,挖掘思維拓展區(qū),提升考查創(chuàng)新點)

    (責(zé)任編校 馮琪)

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