三排管非均質(zhì)凍結(jié)壁彈塑性分析

(安徽理工大學(xué) 土木建筑學(xué)院，安徽 淮南 232001)

1 研究背景

凍結(jié)法鑿井是采用人工制冷的方法，在井筒周圍的含水巖土層中形成封閉的凍結(jié)壁，以此來抵抗水壓力，隔絕地下水與井筒的聯(lián)系，確保井筒掘砌安全的一種特殊工法[1-2]。隨著凍結(jié)深度的增加，凍結(jié)壁的外荷載也逐漸增加，目前我國凍結(jié)法施工穿過沖積層的最大厚度達(dá)750 m，這對凍結(jié)壁的強(qiáng)度和穩(wěn)定性都提出了更高的要求[3-4]，單排管形成的凍結(jié)壁已經(jīng)無法滿足實(shí)際的施工要求，因此必須要采用多排管凍結(jié)的施工方案。在多排管凍結(jié)研究領(lǐng)域，汪仁和和曹榮斌[5]運(yùn)用ANSYS有限元計算程序?qū)﹄p排管凍結(jié)壁的形成及其表征變化進(jìn)行了詳細(xì)的計算分析，得出了雙排管凍結(jié)下凍結(jié)時間縮短、凍結(jié)效率提高、凍結(jié)壁平均溫度下降等特性，并探討了雙排管凍結(jié)下凍結(jié)壁溫度的簡化計算方法。肖朝昀等[6]從凍結(jié)深度、厚度方向上分析多排管局部凍結(jié)排內(nèi)和排外的溫度發(fā)展特性，并分析計算出了積極凍結(jié)期排內(nèi)凍結(jié)壁交圈時間以及發(fā)展速度。胡向東等[7-11]對多排管凍結(jié)溫度場進(jìn)行了系統(tǒng)研究，并提出了直線雙排管凍結(jié)壁平均溫度的等效梯形、等效拋物弓模型以及三排管凍結(jié)的梯形-拋物弓等效溫度場模型，并驗(yàn)證了其精度。胡向東等[12]以及王彬等[13-14]將雙排管凍結(jié)形成的凍結(jié)壁等效成由材料性質(zhì)沿著徑向呈梯形分布的功能梯度材料(FGM)構(gòu)成的無限長厚壁圓筒，分別結(jié)合摩爾-庫倫屈服準(zhǔn)則以及Druker-Prager屈服準(zhǔn)則對該類凍結(jié)壁進(jìn)行彈塑性分析，并對凍結(jié)壁設(shè)計理論提出了具有參考價值的建議。

近些年在深厚沖擊層凍結(jié)法鑿井過程中，為了應(yīng)對較大流速的地下水對井壁掘砌施工帶來的危害，三排管凍結(jié)方案得到了越來越廣泛的運(yùn)用。三排管凍結(jié)壁的力學(xué)特性分析是決定該類凍結(jié)方案設(shè)計以及進(jìn)一步推廣的主要因素，傳統(tǒng)的三排管凍結(jié)壁計算理論將凍結(jié)壁視為均質(zhì)材料，該計算方法忽略了凍結(jié)壁在不同凍結(jié)區(qū)間的凍土的物理力學(xué)參數(shù)的差異性，因此得出的結(jié)果與凍結(jié)壁實(shí)際的受力情況存在一定的差異。

本文將基于三排管凍結(jié)的梯形-拋物弓等效溫度場模型，根據(jù)凍結(jié)壁的彈性模量和黏聚力與溫度之間的一次函數(shù)關(guān)系，并結(jié)合摩爾-庫倫準(zhǔn)則，對三排管非均質(zhì)凍結(jié)壁力學(xué)特性進(jìn)行彈塑性分析。

2 溫度場模型

從三排管凍結(jié)壁中選取一段連續(xù)的區(qū)間作為研究對象，并將其簡化為長方形區(qū)間,如圖1所示。其中ζ為凍結(jié)管到凍結(jié)壁邊界的距離，h為管間距，L為排距，凍結(jié)壁內(nèi)緣一小部分被凍土體以及凍結(jié)壁包圍的未凍土體在凍結(jié)完成后會被一起一次性移除，從而為井壁的施工提供一個穩(wěn)定的空間環(huán)境，因此凍結(jié)壁的實(shí)際范圍為被凍土體的厚度減去凍結(jié)壁擬開挖控制厚度，如圖1所示。

圖1 三排管凍結(jié)壁局部示意圖Fig.1 Local sketch of triple-row-piped frozen soil wall

三排管凍結(jié)溫度場特征截面處的溫度分布如圖2所示。其中：T0=-3 ℃為凍土的結(jié)冰溫度；T1=-8 ℃為凍土開挖后內(nèi)壁的溫度；Tk為凍結(jié)管外壁溫度；Ta為距離凍結(jié)溫度場主面1/4管距處的溫度場的最低溫度；Tb為凍結(jié)管在該特征截面對應(yīng)位置處的溫度；RB為凍結(jié)壁內(nèi)壁至開挖部分中軸線的距離(簡稱內(nèi)半徑)；R1—R3分別為第1排—第3排凍結(jié)管至開挖部分中軸線的距離；RH為凍結(jié)壁外壁至開挖部分中軸線的距離(簡稱外半徑)。

圖2 三排管凍結(jié)溫度場特征截面溫度分布示意圖Fig.2 Schematic diagram of temperature distributionof characteristic section of temperature field oftriple-row piped freezing

已有的研究成果表明，三排管凍結(jié)溫度場具有明顯的周期性，并且距離主面1/4管距處的截面可以比較全面而準(zhǔn)確地反映整個凍結(jié)壁的溫度分布規(guī)律[7-11]，因此選取該截面為特征截面來對凍結(jié)壁進(jìn)行力學(xué)特性分析。

通過梯形-拋物弓的溫度場模型來代替距離主面1/4管距處截面的溫度場[10]，如圖3所示。通過圖中5個溫度特征點(diǎn)可以確定溫度場模型中2段一次函數(shù)曲線以及1段二次函數(shù)曲線的表達(dá)式。為了便于計算，將凍結(jié)壁分為區(qū)間Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ。

圖3 等效溫度場分布示意圖Fig.3 Diagram of equivalent temperaturefield distribution

3 力學(xué)模型

通過分析課題組多年來總結(jié)得到的不同礦區(qū)400 m深度處的凍土的力學(xué)參數(shù)試驗(yàn)結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，凍土的彈性模量E、黏聚力c與溫度之間存在近似的一次函數(shù)關(guān)系，如圖4所示。

圖4 凍土的彈性模量、黏聚力隨溫度變化曲線Fig.4 Curves of elastic modulus versus temperatureand cohesive force versus temperature

圖5 凍結(jié)壁受均布荷載示意圖Fig.5 Schematic diagram offrozen wall under uniformload

因此在計算中假設(shè)凍結(jié)壁的彈性模量以及黏聚力與溫度呈線性關(guān)系；而泊松比與內(nèi)摩擦角受溫度影響較小，故忽略兩者隨溫度的變化[15-16]。

凍結(jié)壁在均布荷載作用下的力學(xué)計算模型如圖5所示。

圖5中：p為外荷載；σp為彈塑性區(qū)分界處塑性區(qū)與彈性區(qū)間的相互作用力；R為凍結(jié)壁的任一點(diǎn)半徑；Rp為塑性區(qū)半徑。凍結(jié)壁內(nèi)任一點(diǎn)相對半徑r=R/RB，則半徑R1和R2對應(yīng)的相對半徑分別為r1=R1/RB，r2=R2/RB。塑性區(qū)相對半徑ρ=Rp/RB，外相對半徑rH=RH/RB。

根據(jù)彈性模量E、黏聚力c與溫度之間的一次函數(shù)關(guān)系，基于梯形-拋物弓的溫度場模型的三排管非均質(zhì)凍結(jié)壁的E(r)與c(r)的表達(dá)式為：

(1)

(2)

式中a1,a2,a3,b1,b2,b3,c2,l2,m1,m2,m3，n1,n2,n3為待定常數(shù)，由凍土力學(xué)參數(shù)與溫度的關(guān)系決定。

4 應(yīng)力求解

4.1 彈性狀態(tài)下應(yīng)力求解

假設(shè)凍結(jié)壁處于平面應(yīng)變狀態(tài)，將凍結(jié)壁等效為周圍受均布荷載的厚壁圓筒[17]。

設(shè)應(yīng)力與應(yīng)力函數(shù)φ之間的關(guān)系為

(3)

式中：σr為徑向應(yīng)力；σθ為環(huán)向應(yīng)力。

結(jié)合彈性力學(xué)中平衡方程、幾何方程以及物理方程[17]有

(4)

將式(1)中E(r)代入式(4)，進(jìn)一步化簡得

(5)

其中：

解變系數(shù)微分方程得應(yīng)力函數(shù)φ的通解為

(6)

式中i1，i2，i3為待定常數(shù)。

式(6)的邊界條件為：

代入邊界條件，得各分區(qū)(r∈[1,r1)，r∈[r1,r2)，r∈[r2,rH])的應(yīng)力表達(dá)式分別為：

(7)

(8)

(9)

其中：

B3=σr1a2lnr2-σr2a2lnr1，

在平面軸對稱應(yīng)變問題[15]中，有：

(10)

(11)

(12)

式中：ur為徑向位移；M,N為待定參量。

聯(lián)立式(10)—式(12)可得

(13)

(14)

(15)

式中上標(biāo)(1)—上標(biāo)(3)分別表示凍結(jié)壁所對應(yīng)的區(qū)域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ。

聯(lián)立式(14)和式(15)可求得σr1與σr2。

4.2 彈塑性狀態(tài)下應(yīng)力求解

當(dāng)凍結(jié)壁的外加荷載p超過凍結(jié)壁的彈性極限荷載時，凍結(jié)壁進(jìn)入彈塑性狀態(tài)，沿著凍結(jié)壁的徑向，由內(nèi)到外依次為塑性區(qū)與彈性區(qū)。

4.2.1 塑性區(qū)應(yīng)力場求解

假定凍結(jié)壁的塑性區(qū)體積不可壓縮，則將摩爾-庫倫準(zhǔn)則對應(yīng)的公式進(jìn)行化簡[18-21]，即

σθ=Aσr+Bc(r) 。

(16)

平衡方程為

(17)

將式(16)代入式(17)得

(18)

通過求解式(18)得凍結(jié)壁塑性區(qū)徑向應(yīng)力的通解為

(19)

式中C1,C2,C3為待定常數(shù)。

其中：

分別利用r=1,r=r1以及r=r2處的連續(xù)條件，計算得出凍結(jié)壁塑性區(qū)徑向應(yīng)力的特解為

(20)

其中，

依據(jù)摩爾-庫倫準(zhǔn)則可得凍結(jié)壁塑性區(qū)環(huán)向應(yīng)力解為

(21)

4.2.2 彈性區(qū)應(yīng)力場求解

(22)

其中：

區(qū)域Ⅱ和區(qū)域Ⅲ的彈性區(qū)應(yīng)力依據(jù)式(8)和式(9)進(jìn)行計算。

當(dāng)塑性區(qū)半徑ρ∈[r1,r2)時，區(qū)域r∈[1,ρ)上的凍結(jié)壁全部處于塑性狀態(tài)，依據(jù)式(20)計算其徑向應(yīng)力，并結(jié)合式(21)計算對應(yīng)的環(huán)向應(yīng)力；在區(qū)域r∈[ρ,r2)上彈性區(qū)應(yīng)力表達(dá)式為

(23)

其中：

區(qū)域Ⅲ依據(jù)式(9)進(jìn)行應(yīng)力計算。

當(dāng)塑性區(qū)的半徑ρ∈[r2,rH]時，區(qū)域r∈[1,ρ)上的凍結(jié)壁處于塑性狀態(tài)，依據(jù)式(20)與式(21)計算其應(yīng)力；在區(qū)域r∈[ρ,rH]上凍結(jié)壁的應(yīng)力計算公式為

(24)

其中：

4.2.3 塑性區(qū)半徑的求解

在r=ρ處，徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力滿足摩爾-庫倫準(zhǔn)則以及應(yīng)力的連續(xù)條件，即

(25)

區(qū)域Ⅰ(ρ∈[1,r1))、區(qū)域Ⅱ(ρ∈[r1,r2))、區(qū)域Ⅲ(ρ∈[r2,rH])的ρ可分別由式(26)—式(28)求得，即：

(28)

其中，

H1=2cosφ(m1ρ+n1)·

5 工程算例

淮南某礦區(qū)進(jìn)風(fēng)井采用人工地層凍結(jié)法進(jìn)行施工，在深度為400 m處為砂質(zhì)黏土層，凍結(jié)壁的內(nèi)徑RB=5 m，對應(yīng)的井幫溫度為T1=-8 ℃，外徑RH=13.5 m，對應(yīng)的溫度T0=-3 ℃。特征截面處凍結(jié)管G1與G3對應(yīng)位置處的凍結(jié)壁溫度Tb=-28 ℃，最低溫度Ta=-32 ℃，凍結(jié)壁平均溫度為-23.2 ℃，泊松比μ=0.3，內(nèi)摩擦角為3°。通過數(shù)值計算可以得到溫度場的曲線方程為

(29)

將不同負(fù)溫條件下測得的該礦區(qū)的砂質(zhì)黏土的力學(xué)參數(shù)進(jìn)行線性擬合，可得凍土的彈性模量E和黏聚力c分別為：

E=-8.092T+6.4 ,

(30)

c=-0.215T-0.308 。

(31)

式中彈性模量E和黏聚力c的單位均為MPa。

將溫度場的曲線方程代入式(30)和式(31)中可得：

(33)

凍結(jié)壁外載p一般按照重液公式進(jìn)行計算，即

p=0.013h。

(34)

式中h為計算深度(m)。

由推導(dǎo)的三排管非均質(zhì)凍結(jié)壁的應(yīng)力計算公式，可得到非均質(zhì)凍結(jié)壁的彈性極限承載力(即外加荷載p=3.29 MPa時)與塑性極限承載力(即外加荷載p=10.32 MPa時)作用下的應(yīng)力分布。根據(jù)凍結(jié)壁平均溫度相等的原則計算出對應(yīng)均質(zhì)凍結(jié)壁的彈性模量與黏聚力，根據(jù)參考文獻(xiàn)[22]的推導(dǎo)結(jié)果，通過計算可得均質(zhì)凍結(jié)壁的彈性極限荷載p=4.26 MPa，而塑性極限荷載為p=10.34 MPa，可以發(fā)現(xiàn)非均質(zhì)凍結(jié)壁的彈性極限承載力比均質(zhì)凍結(jié)壁承載力小29.5%，并分別求得對應(yīng)的應(yīng)力分布。另外，也求出當(dāng)凍結(jié)壁承受外荷載分別為5.05,9.10,10.00 MPa時的三排管非均質(zhì)凍結(jié)壁與均質(zhì)凍結(jié)壁的應(yīng)力分布，如圖6所示。

圖6 三排管非均質(zhì)凍結(jié)壁與均質(zhì)凍結(jié)壁應(yīng)力分布Fig.6 Stress distributions of heterogeneous frozen soilwall and homogeneous frozen soil wall in triple-rowpiped freezing

由圖6 (a)可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)凍結(jié)壁處于彈性極限狀態(tài)時，徑向應(yīng)力隨著相對半徑r的增大不斷增大;由于均質(zhì)凍結(jié)壁的彈性極限承載力大于非均質(zhì)凍結(jié)壁的彈性極限承載力，所以該狀態(tài)下，均質(zhì)凍結(jié)壁的徑向應(yīng)力與環(huán)向應(yīng)力均大于三排管非均質(zhì)凍結(jié)壁的計算結(jié)果;均質(zhì)凍結(jié)壁的環(huán)向應(yīng)力隨著相對半徑r的增大而減小;非均質(zhì)凍結(jié)壁環(huán)向應(yīng)力在區(qū)域Ⅰ隨著相對半徑r增大而增大，在區(qū)域Ⅱ、區(qū)域Ⅲ則隨著相對半徑r的增大而減小。

如圖6(b)所示，當(dāng)處于塑性極限狀態(tài)時，凍結(jié)壁的徑向應(yīng)力隨r的增大而增大;當(dāng)凍結(jié)壁相對半徑r<1.8時，均質(zhì)凍結(jié)壁的徑向應(yīng)力大于三排管凍結(jié)壁的徑向應(yīng)力，當(dāng)r>1.8時均質(zhì)凍結(jié)壁的徑向應(yīng)力小于三排管凍結(jié)壁的徑向應(yīng)力，但是數(shù)值相差不大；均質(zhì)凍結(jié)壁的環(huán)向應(yīng)力隨r的增大而線性增大；三排管凍結(jié)壁的環(huán)向應(yīng)力在區(qū)域Ⅰ、區(qū)域Ⅱ隨r增大而增大，在區(qū)域Ⅲ隨r的增大而減??；三排管非均質(zhì)凍結(jié)壁中部的環(huán)向應(yīng)力大于均質(zhì)凍結(jié)壁的環(huán)向應(yīng)力，而靠近內(nèi)緣與外緣部分的環(huán)向應(yīng)力則小于均質(zhì)凍結(jié)壁的環(huán)向應(yīng)力。

當(dāng)凍結(jié)壁承受的外荷載分別為5.05,9.10,10.00 MPa時，三排管非均質(zhì)凍結(jié)壁與均質(zhì)凍結(jié)壁的應(yīng)力分布分別如圖6(c)—圖6(e)所示。對應(yīng)的非均質(zhì)凍結(jié)壁的塑性區(qū)相對半徑分別為1.2,1.8,2.5，均質(zhì)凍結(jié)壁的塑性區(qū)相對半徑則分別為1.12,1.85,2.23。凍結(jié)壁的徑向應(yīng)力隨著r的增大而增大，且三排管非均質(zhì)凍結(jié)壁與均質(zhì)凍結(jié)壁之間計算結(jié)果基本相同；均質(zhì)凍結(jié)壁的環(huán)向應(yīng)力最大值出現(xiàn)在彈塑性分界線上，三排管凍結(jié)壁的環(huán)向應(yīng)力的最大值則需分情況討論：當(dāng)塑性區(qū)相對半徑ρ≤1.4 時，環(huán)向應(yīng)力的最大值出現(xiàn)在r=1.4處(如圖6(c))；當(dāng)塑性區(qū)相對半徑1.4<ρ<2.1時，環(huán)向應(yīng)力的最大值出現(xiàn)在彈塑性分界線處(如圖6(d))；當(dāng)塑性區(qū)相對半徑ρ≥2.1時，環(huán)向應(yīng)力的最大值出現(xiàn)在r=2.1處(如圖6(e))。

凍結(jié)壁的承載力與塑性區(qū)相對半徑的關(guān)系如圖7所示。由圖7可見，三排管非均質(zhì)凍結(jié)壁與均質(zhì)凍結(jié)壁的承載力都隨著塑性區(qū)相對半徑的增大而增大，并且增大的速度逐漸變慢；對應(yīng)相同的塑性區(qū)相對半徑，在區(qū)域Ⅰ(1

圖7 凍結(jié)壁承受外荷載與塑性區(qū)相對半徑之間的關(guān)系Fig.7 Relationship between external load of frozenwall and relative radius of plastic zone

為了保證凍結(jié)壁的整體穩(wěn)定性以及降低其內(nèi)部凍結(jié)管的斷管率，凍結(jié)壁的塑性區(qū)應(yīng)當(dāng)被控制在一個較小的范圍內(nèi)。由于均質(zhì)凍結(jié)壁的設(shè)計方法并沒有考慮凍結(jié)壁在不同區(qū)間物理力學(xué)參數(shù)的差異性，因此在塑性區(qū)控制范圍內(nèi)的承載力計算結(jié)果偏大，基于該理論的凍結(jié)壁設(shè)計方法存在一定的風(fēng)險性。為了解決該問題，通常會在設(shè)計中引入安全系數(shù)，而安全系數(shù)的選取存在較大的不確定性，安全系數(shù)過大會造成建井成本較高，而安全系數(shù)過小又無法保證凍結(jié)壁的安全性,因此對凍結(jié)壁的受力情況進(jìn)行進(jìn)一步精確的計算是解決凍結(jié)壁設(shè)計難題的重要手段。本文基于三排管凍結(jié)溫度場的梯形-拋物弓的溫度場模型，并根據(jù)凍結(jié)壁的彈性模量、黏聚力與溫度之間的一次函數(shù)關(guān)系對凍結(jié)壁的受力機(jī)理進(jìn)行了比較準(zhǔn)確的分析，其計算結(jié)果對三排管凍結(jié)壁的設(shè)計具有重要參考意義。

6 結(jié) 論

基于三排管凍結(jié)溫度場的拋物弓-等腰梯形的溫度場模型，推導(dǎo)出了更加符合實(shí)際工況的三排管非均質(zhì)凍結(jié)壁的應(yīng)力計算公式，結(jié)合淮南某礦區(qū)凍土的力學(xué)參數(shù)，對該礦區(qū)進(jìn)風(fēng)井凍結(jié)壁的受力機(jī)理進(jìn)行了計算分析可得：

(1)三排管非均質(zhì)凍結(jié)壁的徑向應(yīng)力隨著相對半徑r的增大而增加，其環(huán)向應(yīng)力在區(qū)間Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ呈現(xiàn)不同的變化規(guī)律。當(dāng)塑性區(qū)相對半徑ρ≤1.4 時，環(huán)向應(yīng)力的最大值出現(xiàn)在r=1.4處；當(dāng)塑性區(qū)相對半徑1.4<ρ<2.1時，環(huán)向應(yīng)力的最大值出現(xiàn)在彈塑性分界線處；當(dāng)塑性區(qū)對半徑ρ≥2.1時，環(huán)向應(yīng)力的最大值出現(xiàn)在r=2.1處。

(2)依據(jù)均質(zhì)凍結(jié)壁計算方法，該凍結(jié)壁的彈性極限承載力計算結(jié)果為4.26 MPa，而考慮凍結(jié)壁的非均勻性后，該凍結(jié)壁的彈性極限承載力計算結(jié)果為3.29 MPa。由此可見，均質(zhì)凍結(jié)壁計算理論關(guān)于彈性極限承載力的計算值偏大，基于該計算結(jié)果的凍結(jié)壁設(shè)計方法存在一定的風(fēng)險性，而本文提出的三排管非均質(zhì)凍結(jié)壁的計算理論更加符合凍結(jié)壁實(shí)際的受力情況，其計算結(jié)果將為深厚沖積層多排管凍結(jié)壁的設(shè)計提供一定的理論參考。