指數(shù)平滑結(jié)合條件Markov預(yù)測(cè)模型研究
——基于新疆貨運(yùn)量預(yù)測(cè)

（新疆財(cái)經(jīng)大學(xué)，烏魯木齊市，830012） 呂冬梅

1 前言

目前馬爾科夫模型主要運(yùn)用在語(yǔ)音識(shí)別、股票預(yù)測(cè)、環(huán)境質(zhì)量、文字信息、信息安全等方面[1-3]，這些具體實(shí)例應(yīng)用的方法主要是利用馬爾科夫理論具有平穩(wěn)性的特性，并利用經(jīng)驗(yàn)概率來(lái)創(chuàng)建初始概率分布和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，從而構(gòu)造馬爾科夫模型，進(jìn)而進(jìn)行具體問題的預(yù)測(cè)研究。陳嘉晉[4]等利用馬爾科夫鏈模型來(lái)預(yù)測(cè)股票價(jià)格未來(lái)短期變動(dòng)趨勢(shì)，得出馬爾科夫鏈模型在短期股價(jià)預(yù)測(cè)方面總體令人滿意。何眾穎等[5]建立三次指數(shù)平滑與灰色馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)模型相結(jié)合，建立船舶到港量的灰色馬爾科夫鏈優(yōu)化預(yù)測(cè)模型。劉歷波[6]等提出一種灰色-馬爾科夫預(yù)測(cè)模型，并結(jié)合河北省某地區(qū)的159 座橋梁數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，得出該方法具有更高的精度和穩(wěn)定性。本文提出一種條件馬爾科夫模型與三次指數(shù)平滑相結(jié)合的預(yù)測(cè)方法，通過三次指數(shù)平滑的預(yù)測(cè)結(jié)果來(lái)確定條件馬爾科夫模型中的條件一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，最后結(jié)合新疆貨運(yùn)量數(shù)據(jù)進(jìn)行應(yīng)用檢測(cè)。

2 理論介紹

指數(shù)平滑法（Exponential Smoothing，ES）是布朗（Robert G..Brown）所提出，布朗認(rèn)為時(shí)間序列的態(tài)勢(shì)具有穩(wěn)定性或規(guī)則性，所以時(shí)間序列可被合理地順勢(shì)推延；他認(rèn)為最近的過去態(tài)勢(shì)，在某種程度上會(huì)持續(xù)到未來(lái)，所以將較大的權(quán)數(shù)與近期數(shù)據(jù)做匹配。指數(shù)平滑法是生產(chǎn)預(yù)測(cè)中常用的一種方法，也用于中短期經(jīng)濟(jì)發(fā)展趨勢(shì)預(yù)測(cè)，在許多經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)方法中，指數(shù)平滑是用得較多的一種。簡(jiǎn)單的全期平均法是對(duì)時(shí)間數(shù)列的過去數(shù)據(jù)一個(gè)不漏地全部加以同等利用；移動(dòng)平均法則不考慮較遠(yuǎn)期的數(shù)據(jù)，并在加權(quán)移動(dòng)平均法中給予近期資料更大的權(quán)重；而指數(shù)平滑法則兼容了全期平均和移動(dòng)平均所長(zhǎng)，不舍棄過去的數(shù)據(jù)，但是僅給予逐漸減弱的影響程度，即隨著數(shù)據(jù)的遠(yuǎn)離，賦予逐漸收斂為零的權(quán)數(shù)。指數(shù)平滑法是在移動(dòng)平均法基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一種時(shí)間序列分析預(yù)測(cè)法，它是通過計(jì)算指數(shù)平滑值，配合一定的時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型對(duì)現(xiàn)象的未來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)。其原理是任一期的指數(shù)平滑值都是本期實(shí)際觀察值與前一期指數(shù)平滑值的加權(quán)平均。一般常用到的指數(shù)平滑法為一次指數(shù)平滑、二次指數(shù)平滑和三次指數(shù)平滑。

2.1 確定初值

不管什么指數(shù)平滑都會(huì)有個(gè)初值，假如數(shù)據(jù)大于20 項(xiàng)，那么初值就可以認(rèn)定為第一個(gè)數(shù)據(jù)，或者利用下列公式計(jì)算也行；假如數(shù)據(jù)小于20 項(xiàng)，則初始值為：

2.2 確定指數(shù)平滑系數(shù)α

指數(shù)平滑系數(shù)的確定一般依賴于四條規(guī)則：

（1）當(dāng)時(shí)間序列呈現(xiàn)較穩(wěn)定的水平趨勢(shì)時(shí)，應(yīng)選較小的α，一般可在0.05～0.20之間取值；（2）當(dāng)時(shí)間序列有波動(dòng)，但長(zhǎng)期趨勢(shì)變化不大時(shí)，可選稍大的α值，常在0.1～0.4之間取值；（3）當(dāng)時(shí)間序列波動(dòng)很大，長(zhǎng)期趨勢(shì)變化幅度較大，呈現(xiàn)明顯且迅速的上升或下降趨勢(shì)時(shí)，宜選擇較大的α值，如可在0.6～0.8 間選值。以使預(yù)測(cè)模型靈敏度高些，能迅速跟上數(shù)據(jù)的變化；（4）當(dāng)時(shí)間序列數(shù)據(jù)是上升（或下降）的發(fā)展趨勢(shì)類型，α 應(yīng)取較大的值，在0.6～1 之間。

2.3 預(yù)測(cè)模型

（1）二次指數(shù)平滑：

給定平滑系數(shù)，二次指數(shù)平滑的計(jì)算公式為:

預(yù)測(cè)未來(lái)期的值的計(jì)算公式為:

其中：

（2）三次指數(shù)平滑：

給定平滑系數(shù)，三次指數(shù)平滑的計(jì)算公式為：

預(yù)測(cè)未來(lái)期的值的計(jì)算公式為：

其中：

4、條件馬爾科夫修正誤差率原理

采用一步預(yù)測(cè)，只需求得誤差率的狀態(tài)一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，將其作為權(quán)重用于修正指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)結(jié)果的誤差，會(huì)使得誤差減小，預(yù)測(cè)結(jié)果更加精確。

（1）一般狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率修正誤差過程

預(yù)測(cè)第t期，首先算出t期以前的一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移次數(shù)矩陣

其中，Pij：狀態(tài)i（Ei）轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j(Ej）的次數(shù)。由該矩陣得到一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：

若t-1時(shí)刻狀態(tài)為Ek，并且狀態(tài)區(qū)間值對(duì)應(yīng)值為Yk，則t時(shí)刻

（2）條件狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率修正誤差過程

第t-2 時(shí)刻狀態(tài)為Ea，t-1 時(shí)刻狀態(tài)為Eb，根據(jù)t時(shí)刻以前數(shù)據(jù)得到在t-2 時(shí)刻狀態(tài)為Ea的條件下，t - 1 時(shí) 刻 狀 態(tài) 為Eb，t 時(shí) 刻 由Eb轉(zhuǎn) 移 到E1、E2、……En的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣Ebn，該矩陣為1*n的矩陣，矩陣內(nèi)元素和為1，若矩陣和為0，則默認(rèn)t 時(shí)刻狀態(tài)仍為Eb，其中a，b=1、2、……、n。最終t時(shí)刻

3 新疆貨運(yùn)量預(yù)測(cè)應(yīng)用

以新疆1995 年～2015 年的貨運(yùn)量這一指標(biāo)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，用三次指數(shù)平滑結(jié)合條件馬爾科夫鏈模型進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證。

3.1 基礎(chǔ)模型（指數(shù)平滑模型）的確定

數(shù)據(jù)容量小于20，則令初始數(shù)據(jù)為:

確定三次指數(shù)平滑模型的平滑系數(shù)。首先做趨勢(shì)圖，如圖1所示：

圖1 時(shí)序圖

從圖1可以看出，該時(shí)間序列有較小波動(dòng)，但長(zhǎng)期具有較穩(wěn)定的上升趨勢(shì)，平滑系數(shù)應(yīng)采用0.1 到0.4之間。為保證嚴(yán)謹(jǐn)性，本文在計(jì)算時(shí)，將平滑系數(shù)分別取0.1、0.2、0.3、0.4、0.5五個(gè)值代入三次指數(shù)平滑這一基本預(yù)測(cè)模型中，求得預(yù)測(cè)誤差，結(jié)果如圖2 所示。從圖2 可以看出，當(dāng)平滑系數(shù)取0.1 時(shí)，預(yù)測(cè)結(jié)誤差是最小的，即效果最好。最終確定平滑系數(shù)為0.1。

圖2 不同指數(shù)平滑系數(shù)預(yù)測(cè)誤差對(duì)比圖

將二次指數(shù)平滑模型、三次指數(shù)平滑模型用于新疆貨運(yùn)量數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果見表1。

從表1 中可以看出，三次指數(shù)平滑模型的總體預(yù)測(cè)效果優(yōu)于二次指數(shù)平滑模型。三次指數(shù)平滑模型的預(yù)測(cè)結(jié)果顯示，最大預(yù)測(cè)誤差為26.91%，最小預(yù)測(cè)誤差為-3.35%。二次指數(shù)平滑模型的最大預(yù)測(cè)誤差為30.16%，最小預(yù)測(cè)誤差為-3.40%。

二次指數(shù)平滑模型和三次指數(shù)平滑模型預(yù)測(cè)的誤差結(jié)果如圖3所示：

圖3 二次三次誤差對(duì)比圖

表1 二次、三次指數(shù)平滑結(jié)果（一步預(yù)測(cè)）

表2 預(yù)測(cè)結(jié)果及誤差表

如圖3 所示，三次指數(shù)平滑模型的誤差曲線波動(dòng)更小，最終選擇三次指數(shù)平滑模型為一步預(yù)測(cè)基礎(chǔ)模型。

3.2 馬爾科夫修正誤差過程

由三次指數(shù)平滑模型（平滑系數(shù)為0.1）對(duì)1995年-2015年的貨運(yùn)量總量的一步預(yù)測(cè)誤差區(qū)間為（-27%，20%），馬爾科夫鏈模型最常設(shè)的狀態(tài)個(gè)數(shù)為三到四個(gè)，鑒于誤差區(qū)間較大，文中設(shè)置為四個(gè)狀態(tài)。所以狀態(tài)區(qū)間劃分為：E1（-27%，-15.25%）；E2（-15.25%，-3.5%）；E3（-3.5%，8.25%）；E4（8.25%，20%）。

根據(jù)狀態(tài)區(qū)間建立一步條件狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。

3.3 預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比

基于2005～2015 年的數(shù)據(jù)，對(duì)條件馬爾科夫——三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型、馬爾科夫——三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型以及三次指數(shù)平滑模型三個(gè)模型的預(yù)測(cè)效果的檢驗(yàn)。預(yù)測(cè)結(jié)果及預(yù)測(cè)誤差見表2。

由表2 可以看出，三次指數(shù)平滑模型的預(yù)測(cè)結(jié)果的誤差最大值為-21.61%，最小值為3.35%，平均誤差率為10.04%，誤差率在10%以上的比例為72%，一般馬爾科夫修正誤差后的預(yù)測(cè)結(jié)果的誤差最大值為32.64%，最小值為-1.83%，平均誤差率為0.45%，誤差率在10%以上的比例為40%，條件馬爾科夫修正后的預(yù)測(cè)結(jié)果的誤差最大值為35.70%，最小值為-0.46%，平均誤差率為0.39%，誤差率在10%以上的概率為9%。綜上可得，條件馬爾科夫——三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)效果最好。

誤差對(duì)比圖如下所示：

圖4 預(yù)測(cè)結(jié)果誤差對(duì)比圖

從圖4 中可以看出，條件馬爾科夫——三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型在2005 年～2012 年的預(yù)測(cè)結(jié)果效果優(yōu)于其他兩種模型，2013～2015 年三次指數(shù)平滑結(jié)果優(yōu)于其他兩種，總體來(lái)說，條件一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率修正過的三次指數(shù)平滑效果更優(yōu)。

4 結(jié)論

運(yùn)用馬爾科夫鏈與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、指數(shù)平滑、灰色模型等預(yù)測(cè)方法結(jié)合，采用的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣通常采用傳統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，本文首先使用傳統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣來(lái)修正三次指數(shù)平滑方法的誤差，最終發(fā)現(xiàn)某些樣本下，修正后結(jié)果差于修正前，隨后采用本文新提出的條件狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣來(lái)修正誤差，最終比較三次指數(shù)平滑方法，傳統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣修正三次指數(shù)平滑方法和條件狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣修正三次指數(shù)平滑方法三者的預(yù)測(cè)結(jié)果，最終發(fā)現(xiàn)本文提出的新方法效果最好。并且如果樣本容量更多，條件狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率會(huì)更好的展現(xiàn)出它的優(yōu)勢(shì)。