線(xiàn)載荷作用下面內(nèi)運(yùn)動(dòng)正交各向異性板的亞諧波共振

胡宇達(dá)， 張曉宇， 郝 穎

(1. 燕山大學(xué) 建筑工程與力學(xué)學(xué)院，河北 秦皇島 066004； 2. 燕山大學(xué) 河北省重型裝備與大型結(jié)構(gòu)力學(xué)可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島 066004)

復(fù)合材料是由有機(jī)高分子、無(wú)機(jī)非金屬等幾類(lèi)不同材料通過(guò)復(fù)合工藝得到的新型材料。實(shí)際應(yīng)用中，層合材料常被做成薄壁結(jié)構(gòu)，在外激勵(lì)的作用下容易產(chǎn)生大變形，呈現(xiàn)幾何非線(xiàn)性。當(dāng)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)處于軸向運(yùn)動(dòng)等復(fù)雜運(yùn)動(dòng)條件下時(shí)，將會(huì)發(fā)生由振動(dòng)引起的共振、混沌等現(xiàn)象，從而存在很多復(fù)雜的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)特性。同時(shí)軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)廣泛存在于航空航天、機(jī)械、土木工程等工程領(lǐng)域中。所以對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)復(fù)合材料板振動(dòng)問(wèn)題的研究具有理論和實(shí)際意義。對(duì)于復(fù)合材料層合板的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，Crabtree等[1]應(yīng)用有限差分法對(duì)預(yù)應(yīng)力層合板的非線(xiàn)性振動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值分析。Houmat等[2]對(duì)偏斜層合板的非線(xiàn)性自由振動(dòng)進(jìn)行了分析。Udar等[3]研究了非均勻邊緣荷載作用下復(fù)合材料層合板的組合共振特性。Mergen等[4-5]研究了基于隨機(jī)系統(tǒng)特性地基上的層合復(fù)合材料板的自由振動(dòng)。胡宇達(dá)等[6-7]對(duì)于復(fù)合材料疊層板的組合共振和非線(xiàn)性組合共振及其分岔進(jìn)行了分析。周承倜等[8-9]基于復(fù)合材料疊層板的非線(xiàn)性動(dòng)力穩(wěn)定性理論，對(duì)初始缺陷和拉伸-彎曲耦合對(duì)于疊層板的振動(dòng)、屈曲和非線(xiàn)性動(dòng)力穩(wěn)定性的影響進(jìn)行了分析。魏德敏等[10]考慮大撓度和初始幾何缺陷的存在，得到了不同邊界條件和不同鋪設(shè)方法疊層板在荷載作用下的突變失穩(wěn)模型。在軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)振動(dòng)問(wèn)題的研究方面，Banichuk等[11]對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)彈性板的動(dòng)力穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。胡宇達(dá)等[12-13]研究了磁場(chǎng)環(huán)境中軸向運(yùn)動(dòng)導(dǎo)電薄板的動(dòng)力學(xué)理論建模問(wèn)題，并對(duì)外磁場(chǎng)作用下軸向運(yùn)動(dòng)導(dǎo)流薄板的非線(xiàn)性振動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了分析。Ghayesh等[14]對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)板受迫運(yùn)動(dòng)的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了數(shù)值研究。Zhang等[15]采用復(fù)模態(tài)分析方法分析了黏彈性地基支承軸向運(yùn)動(dòng)梁的橫向振動(dòng)。本文著力于研究面內(nèi)運(yùn)動(dòng)正交各向異性板在線(xiàn)載荷作用下的諧波共振分析，得到穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)下關(guān)于不同階模態(tài)的共振幅值響應(yīng)方程，通過(guò)數(shù)值算例，分析速度、線(xiàn)載荷、材料屬性等參量對(duì)系統(tǒng)共振特性的影響。

1 正交各向異性板振動(dòng)方程

正交各向異性板以速度V相對(duì)地面水平向右運(yùn)動(dòng)，如圖1所示，建立空間直角坐標(biāo)系，Oxy為板的中面，z軸為法向。板在表面x0處受到橫向線(xiàn)載荷Fz=f(x-x0)Fsinωt作用，其中，F(xiàn)為外加線(xiàn)載荷幅值，ω為外加載荷頻率，f(x-x0)為狄拉克函數(shù)，板長(zhǎng)度為a，寬度為b，板厚為h，F(xiàn)0x為軸向拉力。

圖1 線(xiàn)載荷作用下面內(nèi)運(yùn)動(dòng)板

對(duì)于正交各向異性板，非線(xiàn)性幾何方程為：

(1)

物理方程：

(2)

式中：w為板的橫向位移；E1為縱向彈性模量(GPa)；E2為橫向彈性模量(GPa)；ν12為縱向泊松比；ν21為橫向泊松比；G12為面內(nèi)剪切彈性模量(GPa)。

考慮幾何非線(xiàn)性情況下，橫向運(yùn)動(dòng)板的動(dòng)能T、彎曲應(yīng)變勢(shì)能U1、中面內(nèi)力引起的中面應(yīng)變勢(shì)能U2、軸向拉力引起的應(yīng)變勢(shì)能U3和外力虛功δW有如下表達(dá)形式：

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

應(yīng)用哈密頓變分原理，可得如下線(xiàn)載荷作用下面內(nèi)運(yùn)動(dòng)正交各向異性板的橫向非線(xiàn)性振動(dòng)微分方程：

(8)

式中，V為板相對(duì)地面在Oxy平面內(nèi)沿x軸方向的面內(nèi)運(yùn)動(dòng)速度。Nx、Ny、Nxy為正交各向異性板的內(nèi)力且：

(9)

(10)

(11)

對(duì)于條形薄板的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，由式(8)可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化得到正交各向異性條形板的橫向振動(dòng)方程：

(12)

2 面內(nèi)運(yùn)動(dòng)條形板的亞諧波共振及穩(wěn)定性分析

2.1 振動(dòng)微分方程

研究對(duì)邊(x=0,a)簡(jiǎn)支面內(nèi)運(yùn)動(dòng)條形板，考慮三階模態(tài)，則位移函數(shù)取為

(13)

式中：p1(t)、p2(t)和p3(t)分別為對(duì)應(yīng)階模態(tài)的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)。

將式(13)代入式(12)中，考慮弱非線(xiàn)性時(shí)引入小參數(shù)ε，并應(yīng)用伽遼金法進(jìn)行積分，設(shè)結(jié)構(gòu)阻尼η3，可推得如下僅關(guān)于時(shí)間變量的無(wú)量綱化達(dá)芬型非線(xiàn)性振動(dòng)微分方程：

(14a)

η5sin(Ωτ)

(14b)

(14c)

2.2 多尺度法求解1/3亞諧波共振問(wèn)題

下面運(yùn)用多尺度法求解系統(tǒng)的1/3亞諧波共振問(wèn)題。將式(14)的近似解表示為

q1(τ;ε)=q11(T0,T1)+εq12(T0,T1)

(15a)

q2(τ;ε)=q21(T0,T1)+εq22(T0,T1)

(15b)

q3(τ;ε)=q31(T0,T1)+εq32(T0,T1)

(15c)

其中新時(shí)間尺度自變量T0=τ，T1=ετ。

將式(15)代入到式(14)中，展開(kāi)后令兩邊ε的同次冪相等，得到各階近似方程：

關(guān)于ε0的近似方程：

(16a)

(16b)

(16c)

關(guān)于ε1的近似方程：

(17a)

(17b)

(17c)

設(shè)方程(16)的通解形式為

(18a)

(18b)

(18c)

引入調(diào)諧參數(shù)σ，先求解頻率關(guān)系Ω=3y1+εσ下的一階亞諧共振問(wèn)題。將式(18)代入到式(17)中，為避免久期項(xiàng)，B1、B2、B3需滿(mǎn)足：

(19)

式中，B1、B2、B3可以表示為指數(shù)形式：

(20)

再將式(20)代入式(19)中，得到：

(21a)

(21b)

(21c)

(21d)

(21e)

(21f)

式中：γ1=σT1-3β1。

(22)

同理可以得到二階諧波共振(Ω=3y2+εσ)和三階諧波共振(Ω=3y3+εσ)下穩(wěn)態(tài)解幅值b2、b3的共振響應(yīng)方程分別為

(23)

(24)

2.3 穩(wěn)定性分析

下面對(duì)共振系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)下定常解的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，設(shè)，

b1=b0+bn，γ1=γ0+γn

(25)

式中：b0、γ0為穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)下的定常解，bn、γn為小的攝動(dòng)量。

將式(25)代入到式(21a)、(21b)中，對(duì)bn、γn進(jìn)行泰勒展開(kāi)，利用李雅普諾夫第一近似理論，得到一階共振下判定穩(wěn)定性的特征方程：

λ2+c1λ+c2=0

(26)

式中：

c1=-η3

同理，可以得到二階共振和三階共振下與式(26)相同的特征方程，但系數(shù)分別為：

二階共振：

c1=-η3

三階共振：

c1=-η3

再根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)，可得到三種共振情形下定常穩(wěn)定解滿(mǎn)足的條件為

c2>0

(27)

3 算例分析

下面針對(duì)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)條形板的亞諧共振問(wèn)題給出數(shù)值算例。參數(shù)取為：板長(zhǎng)a=0.3 m，軸向拉力F0x=300 kN；材料屬性見(jiàn)表1，其中[B(4)/5505]表示硼/環(huán)氧復(fù)合材料，[T300/5280]和[A5/3501]分別表示不同的石墨/環(huán)氧材料。以下算例中除討論材料參數(shù)影響外，其他算例都是硼/環(huán)氧復(fù)合材料。

表1 幾種復(fù)合材料參數(shù)

圖2～圖4分別給出滿(mǎn)足Ω=3y1+εσ、Ω=3y2+εσ、Ω=3y3+εσ頻率關(guān)系下的一階、二階和三階亞諧波共振振幅與頻率調(diào)諧參數(shù)εσ特性曲線(xiàn)圖(V=35 m/s，x0=0.075 m，h=2 mm)，并分析不同激勵(lì)力幅值對(duì)共振影響。由圖可見(jiàn)，圖形均為半封閉的雙值解曲線(xiàn)，且分為上支和下支，只有當(dāng)頻率調(diào)諧參數(shù)取一定值時(shí)才會(huì)激發(fā)共振，且隨著調(diào)諧參數(shù)的增大，共振振幅增大。為分析穩(wěn)定性，在圖2～圖4中的εσ=0.3處引一條輔助線(xiàn)與曲線(xiàn)分別交于A、B、C、D、E、F六點(diǎn)，以這六點(diǎn)為例，由式(27)對(duì)其進(jìn)行穩(wěn)定性判定，其值列于表2～表4中?？梢耘卸?，圖2上支中的A、B、C三點(diǎn)為穩(wěn)定解，下支中D、E、F為不穩(wěn)定解；圖3上支和下支既有穩(wěn)定解又有不穩(wěn)定解，其中A、B點(diǎn)為穩(wěn)定解，C、D、E、F為不穩(wěn)定解；圖4中A、B、C、D、E、F則都為不穩(wěn)定解。可見(jiàn)系統(tǒng)上支和下支曲線(xiàn)所對(duì)應(yīng)解的穩(wěn)定性具有復(fù)雜的變化規(guī)律。

表2 一階振幅-調(diào)諧參數(shù)穩(wěn)定性判定值

表3 二階振幅-調(diào)諧參數(shù)穩(wěn)定性判定值

表4 三階振幅-調(diào)諧參數(shù)穩(wěn)定性判定值

圖2 一階振幅-調(diào)諧參數(shù)曲線(xiàn)圖

圖5給出了比較不同模態(tài)所對(duì)應(yīng)前三階振幅的幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)圖，其中1、2、3分別表示一階、二階和三階振幅-調(diào)諧參數(shù)曲線(xiàn)。由圖可以看出，一階模態(tài)對(duì)應(yīng)的振幅較大，對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)影響明顯，而二階、三階模態(tài)對(duì)應(yīng)的幅值逐漸減小，對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)影響逐漸減弱。

圖3 二階振幅-調(diào)諧參數(shù)曲線(xiàn)圖

圖4 三階振幅-調(diào)諧參數(shù)曲線(xiàn)圖

圖5 振幅-調(diào)諧參數(shù)曲線(xiàn)比較圖

圖6～圖8分別給出了開(kāi)始激發(fā)一階、二階和三階共振時(shí)的參數(shù)臨界點(diǎn)變化曲線(xiàn)圖。如圖6所示，對(duì)一階系統(tǒng)，當(dāng)激勵(lì)力幅值F<4 000 N/m時(shí)，隨著頻率調(diào)諧參數(shù)的減小，激發(fā)共振所需的激勵(lì)力的幅值在增大，而當(dāng)激勵(lì)力幅值F>4 000 N/m時(shí)，則隨著頻率調(diào)諧參數(shù)的增大，激發(fā)共振所需的激勵(lì)力的幅值在增大。如圖7和圖8，二階和三階系統(tǒng)激發(fā)共振臨界點(diǎn)都隨著頻率調(diào)諧參數(shù)的增大呈現(xiàn)遞增的趨勢(shì)。

圖6 一階激發(fā)共振臨界點(diǎn)變化曲線(xiàn)

圖7 二階激發(fā)共振臨界點(diǎn)變化曲線(xiàn)

圖9～圖11同樣給出一階、二階、三階亞諧波共振振幅與頻率調(diào)諧參數(shù)εσ特性曲線(xiàn)圖。其中(a)、(b)、(c)、分別表示速度、材料與激勵(lì)力位置對(duì)于亞諧波共振的影響。由圖可見(jiàn)，隨著頻率調(diào)諧參數(shù)的增加，共振激發(fā)后振幅均呈現(xiàn)整體遞增的趨勢(shì)；不同速度和材料參數(shù)值的改變對(duì)共振解的多值性及其初始共振激發(fā)點(diǎn)均有顯著影響；激勵(lì)力位置的改變對(duì)振幅的影響也很明顯，且當(dāng)x0=0.15 m時(shí)的二階共振現(xiàn)象不會(huì)被激發(fā)。

圖8 三階激發(fā)共振臨界點(diǎn)變化曲線(xiàn)

(a) 不同速度(F=5 kN/m，x0= 0.075 m，h=2 mm)

(b) 不同材料(V=35 m/s，h=2 mm，x0= 0.075 m，F(xiàn)=5 kN/m)

(c) 不同激勵(lì)力位置(V=35 m/s，h= 2 mm，F(xiàn)=5 kN/m)

圖9 不同參量下一階振幅-調(diào)諧參數(shù)特性曲線(xiàn)

Fig.9 First-order amplitude-detuning parameter curves of different parameters

(a) 不同速度(F=5 kN/m，x0= 0.075 m，h=2 mm)

(b) 不同材料(V=35 m/s，h=2 mm，x0= 0.075 m，F(xiàn)=5 kN/m)

(c) 不同激勵(lì)力位置(V=35 m/s，h= 2 mm，F(xiàn)=5 kN/m)

圖10 不同參量下二階振幅-調(diào)諧參數(shù)特性曲線(xiàn)

Fig.10 Second-order amplitude-detuning parameter curves of different parameters

圖12～圖14分別給出一階、二階、三階亞諧波共振振幅與激勵(lì)力幅值特性曲線(xiàn)圖，虛線(xiàn)區(qū)域之間表示系統(tǒng)激發(fā)共振區(qū)域。由圖可見(jiàn)，曲線(xiàn)為月牙形的光滑封閉曲線(xiàn)，隨著激勵(lì)力的幅值F的增加，亞諧波共振的振幅呈現(xiàn)遞減的趨勢(shì)；隨著調(diào)諧參數(shù)εσ的增大，共振幅值的取值范圍也變大變寬，其共振波的振幅也隨之增大。為分析解的穩(wěn)定性，在圖12中的F=4 500 N/m處引一條輔助線(xiàn)與曲線(xiàn)交于A、B、C、D、E、F六點(diǎn)，以這六點(diǎn)為例由式(27)對(duì)其進(jìn)行穩(wěn)定性判定，由列于表5的值可知，上支點(diǎn)A、C、E的解是穩(wěn)定的，下支點(diǎn)B、D、F的解是不穩(wěn)定的。同樣，在圖13和圖14中的F=3 000 N/m處分別引輔助線(xiàn)與曲線(xiàn)交于A、B、C、D、E、F六點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性判別，由表6和表7的數(shù)值可知，二階共振下A、B、C、D、E、F解都是穩(wěn)定的，三階共振下A、B、C三點(diǎn)為穩(wěn)定解，D、E、F三點(diǎn)為不穩(wěn)定解。

圖15～圖17分別給出了不同頻率調(diào)諧參數(shù)下一階、二階、三階振幅隨激勵(lì)力作用位置變化曲線(xiàn)圖(取V=35 m/s，h=2 mm，F(xiàn)=5 kN/m)。由圖可以看出，在板的邊緣附近振動(dòng)不會(huì)被激發(fā)，所有曲線(xiàn)關(guān)于載荷位置x0=0.15 m對(duì)稱(chēng)；圖像由多個(gè)封閉的雙值曲線(xiàn)組成，圖中虛線(xiàn)之間表示共振區(qū)域窗口，在虛線(xiàn)間的空白區(qū)域系統(tǒng)的亞諧波共振不會(huì)被激發(fā)，隨著激勵(lì)力位置的變化，共振區(qū)域與非共振區(qū)域交替變化，并且呈現(xiàn)不同的共振區(qū)域窗口。同時(shí)可見(jiàn)，頻率調(diào)諧參數(shù)對(duì)曲線(xiàn)形狀有顯著影響，一階和二階下的圖15(a)和圖16(a)中曲線(xiàn)呈月牙形，存在6個(gè)和4個(gè)共振區(qū)域；圖15(b)，(c)和圖16(b)，(c)中圖形呈凹形,分為3個(gè)和2個(gè)共振區(qū)域，且都是隨著激勵(lì)力位置的變化，振幅先減小后增大；圖17(a)中圖形由兩個(gè)月牙形和一個(gè)卵形組成，而圖17(b)，(c)中曲線(xiàn)呈波浪形，表明載荷位置對(duì)共振幅值解的影響較大。

(a) 不同速度(F=5 kN/m，x0= 0.075 m，h=2 mm)

(b) 不同材料(V=35 m/s，h=2 mm，x0= 0.075 m，F(xiàn)=5 kN/m)

(c) 不同激勵(lì)力位置(V=35 m/s，h= 2 mm，F(xiàn)=5 kN/m)

圖11 不同參量下三階振幅-調(diào)諧參數(shù)特性曲線(xiàn)

Fig.11 Third-order amplitude-detuning parameter curves of different parameters

圖12 一階振幅-激勵(lì)力幅值曲線(xiàn)圖

Fig.12 First-order amplitude-excitation force amplitude parameter curves

圖13 二階振幅-激勵(lì)力幅值曲線(xiàn)圖

Fig.13 Second-order amplitude-excitation force amplitude parameter curves

圖14 三階振幅-激勵(lì)力幅值曲線(xiàn)圖

Fig.14 Third-order amplitude-excitation force amplitude parameter curves

表5 一階振幅-激勵(lì)力幅值穩(wěn)定性判定值

表6 二階振幅-激勵(lì)力幅值穩(wěn)定性判定值

表7 三階振幅-激勵(lì)力幅值穩(wěn)定性判定值

(a) εσ=0.2

(b) εσ=0.3

(c) εσ=0.5

圖15 一階振幅-激勵(lì)力位置特性曲線(xiàn)

Fig.15 First-order amplitude-excitation force position curves

(a) εσ=0.2

(b) εσ=0.3

(c) εσ=0.5

圖16 二階振幅-激勵(lì)力位置特性曲線(xiàn)

Fig.16 Second-order amplitude-excitation force position curves

(a) εσ=0.2

(b) εσ=0.3

(c) εσ=0.5

圖17 三階振幅-激勵(lì)力位置特性曲線(xiàn)

Fig.17 Third-order amplitude-excitation force position curves

4 結(jié) 論

本文以線(xiàn)載荷作用下面內(nèi)運(yùn)動(dòng)正交各向異性為研究對(duì)象，得到非線(xiàn)性亞諧波共振下系統(tǒng)的共振響應(yīng)解及穩(wěn)定性判定式。數(shù)值算例結(jié)果表明：

(1) 當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生亞諧波共振時(shí)，隨著頻率調(diào)諧參數(shù)的增加，共振激發(fā)后振幅均呈現(xiàn)整體遞增的趨勢(shì)；不同速度和材料參數(shù)值的改變對(duì)其初始共振激發(fā)點(diǎn)有顯著影響。

(2) 隨著線(xiàn)載荷的幅值F的增加，亞諧波共振的振幅呈現(xiàn)遞減的趨勢(shì)；線(xiàn)載荷作用位置對(duì)共振幅值影響明顯，并呈現(xiàn)曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)和間隙激發(fā)共振現(xiàn)象。