一類(lèi)電磁式薄膜振動(dòng)能量采集器動(dòng)力學(xué)建模與非線性分析

王志霞， 王 煒， 張琪昌

(1.天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300350；2.天津市非線性動(dòng)力學(xué)與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300350)

能量采集技術(shù)能夠?qū)⑷粘Ｉ钪袕V泛存在的機(jī)械能、光能和熱能加以收集轉(zhuǎn)化形成可供利用的電能并為微傳感器供電[1]。作為環(huán)境能量的主要形式之一，機(jī)械振動(dòng)不受溫度、尺度、地域等條件制約，具備成為可靠電源的基本要素。根據(jù)其工作原理的差異，目前的振動(dòng)能量采集器可分為電磁式、壓電式、電容式和磁致伸縮式[2-8]，其中電磁式振動(dòng)能量采集器(Electromagnetic Vibration Energy Harvester,EMH)具有低頻性好、輸出電流較大、無(wú)需驅(qū)動(dòng)電源等優(yōu)點(diǎn)，擁有廣泛的應(yīng)用前景[9-10]。

EMH由永磁體、感應(yīng)線圈繞組和彈性元件組成。在外界激勵(lì)作用下，永磁體與線圈之間產(chǎn)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致穿過(guò)線圈的磁通量發(fā)生變化，從而產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)[11]。在EMH的發(fā)展過(guò)程中，雖然不同學(xué)者秉承的設(shè)計(jì)理念、研究重心不盡相同，但其關(guān)心的目標(biāo)始終是增加帶寬、提高輸出功率[12]。其間涌現(xiàn)出的比較有代表性的工作包括：Williams等[13]利用薄膜振動(dòng)原理，設(shè)計(jì)了最初的EMH模型，在實(shí)現(xiàn)了裝置小型化的同時(shí)，還基于線性振子的思想對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化，強(qiáng)調(diào)了空氣阻尼對(duì)于薄膜振子輸出功率的影響，但并未對(duì)相關(guān)問(wèn)題做進(jìn)一步的深入分析，整體輸出功率只有0.3 μW。考慮到自然環(huán)境中激勵(lì)形勢(shì)比較復(fù)雜，Khan等[14]設(shè)計(jì)了適合于小幅正弦周期激勵(lì)和窄帶隨機(jī)激勵(lì)的薄膜振子模型，采用數(shù)值方法對(duì)其中的非線性現(xiàn)象進(jìn)行了分析。同時(shí)，Khan等[15-16]還首創(chuàng)了電磁式噪聲能量采集器，將基礎(chǔ)振動(dòng)轉(zhuǎn)化為聲壓變化引發(fā)薄膜振動(dòng)，進(jìn)而擴(kuò)展了EMH的應(yīng)用范圍。雖然薄膜類(lèi)型EMH的研究起步較早并且具備結(jié)構(gòu)小型化的發(fā)展空間，但由于振動(dòng)過(guò)程中易受空氣阻尼影響且輸出功率有限，因此目前應(yīng)用更為廣泛的是懸臂梁結(jié)構(gòu)的EMH。基于線性振子理論，Ei-Hami等[17]較早開(kāi)展了此類(lèi)模型的研究，完成了理論模型分析、有限元結(jié)構(gòu)優(yōu)化在內(nèi)的工作。Glynne-Jones等[18]通過(guò)增加永磁體數(shù)量的方式強(qiáng)化了線圈周?chē)拇艌?chǎng)強(qiáng)度，與常規(guī)的懸臂梁振子相比，不僅結(jié)構(gòu)更為小巧而且具備更優(yōu)的低頻性能(在52 Hz的激勵(lì)下，其輸出功率為46 μW)。但是懸臂梁線性EMH的工作頻帶有限，激勵(lì)頻率遠(yuǎn)離其固有頻率時(shí)，輸出電壓將驟然下降[19]。

隨著相關(guān)工作的不斷深入，研究人員意識(shí)到了非線性手段能夠在擴(kuò)大帶寬、改善輸出效果方面發(fā)揮積極的作用，并廣泛開(kāi)展了非線性EMH的研究。Soliman等[20-21]利用限位器產(chǎn)生分段非線性效應(yīng)以增加懸臂梁振子帶寬，并且采用諧波平衡法研究了振子的振動(dòng)特性。Kluger等[22]討論了曲面非線性剛度對(duì)于振子帶寬的影響，指出該方式有助于增加結(jié)構(gòu)的工作壽命，改善振子在日常復(fù)雜激勵(lì)環(huán)境中的能量采集表現(xiàn)。Lee等[23]使用磁力彈簧結(jié)構(gòu)拓寬樣機(jī)帶寬，增加了線圈繞組的磁通量，提高了樣機(jī)的能量轉(zhuǎn)化效率，使結(jié)構(gòu)在0.2 g加速度下帶寬為9.5～11.5 Hz，輸出功率由0.68 mW(線性能量采集器)提高到2.27 mW。Barton等[24]較早提出了雙穩(wěn)態(tài)振子模型，振動(dòng)過(guò)程中懸臂梁末端磁鐵受右端定磁鐵磁力作用，出現(xiàn)了在兩個(gè)平衡點(diǎn)附近振動(dòng)的現(xiàn)象，并證明了該現(xiàn)象的存在能夠有效地?cái)U(kuò)大振子的帶寬，非常適合于日常的工作環(huán)境。

通過(guò)上述分析可以發(fā)現(xiàn)，雖然國(guó)內(nèi)外研究者廣泛討論了柔性薄膜與磁力彈簧對(duì)于振子帶寬的影響，但是在已有器件中，薄膜結(jié)構(gòu)EMH依舊以單穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)為主，多穩(wěn)態(tài)振動(dòng)形式的應(yīng)用及其相關(guān)理論背景、設(shè)計(jì)優(yōu)化思路仍有待進(jìn)一步完善。同時(shí)，考慮到薄膜振子的結(jié)構(gòu)優(yōu)勢(shì)(如：成本低廉、低頻性能好、兼容能力強(qiáng)等)，如何充分發(fā)揮這一優(yōu)勢(shì)、釋放其結(jié)構(gòu)潛能，就成為EMH研究中亟需解決的科學(xué)問(wèn)題。

有鑒于此，本文將柔性薄膜和磁力彈簧相結(jié)合，提出一種了能感應(yīng)低頻小幅振動(dòng)且具備較寬工作頻帶的雙穩(wěn)態(tài)電磁式振動(dòng)能量采集器(Bistable Electromagnetic Vibration Energy Harvester,BEMH)。首先,介紹了結(jié)構(gòu)裝置示意圖及其工作原理；其次，考慮不同的非線性要素建立了薄膜大變形模型，并將其引入樣機(jī)動(dòng)力學(xué)控制方程；再有，利用數(shù)值仿真及實(shí)驗(yàn)手段獲得了結(jié)構(gòu)的主要物理參數(shù)，并從數(shù)值及實(shí)驗(yàn)兩方面對(duì)BEMH振子的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行了深入的分析，驗(yàn)證了本模型相對(duì)于傳統(tǒng)單穩(wěn)態(tài)薄膜結(jié)構(gòu)在能量轉(zhuǎn)化效率、工作帶寬方面的優(yōu)勢(shì)。

1 結(jié)構(gòu)裝置及振動(dòng)控制方程

1.1 結(jié)構(gòu)裝置及工作原理

圖1為設(shè)計(jì)的雙穩(wěn)態(tài)電磁式振動(dòng)能量采集器的結(jié)構(gòu)示意圖。BEMH主要包括薄膜、中間質(zhì)量塊、鐵芯線圈繞組、腔體壁。?80×0.35 mm3乳膠薄膜通過(guò)環(huán)氧樹(shù)脂固結(jié)于夾片；中心質(zhì)量塊為NdFeB磁鐵(?18×2 mm3)吸附于乳膠薄膜兩側(cè)；?40×20×5 mm3鐵芯線圈繞組通過(guò)環(huán)氧樹(shù)脂固定于樣機(jī)的上下端蓋，其中線圈繞組由高導(dǎo)電的漆包線組成(N=100圈)；樣機(jī)腔體壁采用非導(dǎo)磁鋁材料，防止磁通量泄露導(dǎo)致輸出能量的降低。旋轉(zhuǎn)上下端蓋可調(diào)節(jié)磁力彈簧剛度，同時(shí)可改變通過(guò)線圈繞組的磁通量。上下端蓋具有可調(diào)扇形阻尼孔，后續(xù)可研究空氣阻尼對(duì)能量輸出的影響。

Ⅰ爆炸圖Ⅱ剖面圖Ⅲ實(shí)體圖

圖1 BEMH結(jié)構(gòu)示意圖

Fig.1 The structure of BEMH

樣機(jī)工作原理：外界振動(dòng)垂直作用于薄膜平面方向，引發(fā)薄膜振動(dòng)并帶動(dòng)永磁體在采集器腔體內(nèi)做上下往復(fù)運(yùn)動(dòng)，使得上下端蓋纏繞的導(dǎo)電線圈發(fā)生磁通量變化產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。若采用壓電薄膜替換本模型中的乳膠薄膜，則此能量采集器即變?yōu)榛旌鲜秸駝?dòng)能量采集器。

1.2 薄膜彈性組件模型

此處分析具有中間質(zhì)量塊薄膜振子大變形狀態(tài)下的強(qiáng)非線性回復(fù)力。圖2為薄膜彈性元件的簡(jiǎn)化模型，取元件靜平位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，考慮半徑為r處的撓度ω(r,t),由虛功原理可得系統(tǒng)振動(dòng)控制方程：

(1)

圖2 薄膜彈性組件模型

ωr=R=0

(2)

(3)

(4)

式中：R為薄膜半徑;E為薄膜彈性模量;ω″為薄膜撓度對(duì)徑向位置的二階導(dǎo)數(shù)。若僅研究薄膜靜態(tài)位移，則式(3)和式(4)分別變?yōu)椋?/p>

(5)

(6)

考慮薄膜靜撓度：

ω(r)=ω0(r)+εω1(r)+ε2ω2(r)

(7)

聯(lián)立式(2),(5)～(7),得薄膜回復(fù)力表達(dá)式為：

Fr(ω,r)=

(8)

1.3 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

取系統(tǒng)靜平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸鉛直向下為正方向，由牛頓定律得：

Mg+Fm=Fr

(9)

當(dāng)薄膜偏離靜平位置x時(shí)，由達(dá)朗貝爾原理得：

(10)

聯(lián)立式(9)和(10),得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程：

(11)

利用無(wú)量綱變換：

(12)

式(11)簡(jiǎn)化為如下的二階常微分方程：

(13)

其中：

1.3.1 系統(tǒng)靜態(tài)穩(wěn)定性分析

(14)

由勢(shì)能函數(shù)圖3所示(其中，xi0為系統(tǒng)的靜平衡位置坐標(biāo)，i=1，2，3)：

① 1-μ>0，a=b=0，結(jié)構(gòu)為線性系統(tǒng)，只存在中心點(diǎn)(0,0)。

圖4 振子靜態(tài)分岔圖

2 系統(tǒng)物理參數(shù)

為深入研究系統(tǒng)的非線性運(yùn)動(dòng)特性，完善系統(tǒng)振動(dòng)控制方程，本節(jié)將闡述磁力、薄膜回復(fù)力、系統(tǒng)等效質(zhì)量和結(jié)構(gòu)阻尼等物理參數(shù)的獲取過(guò)程。

2.1 磁力仿真

錯(cuò)綜復(fù)雜的磁場(chǎng)導(dǎo)致兩磁體之間缺乏精確的磁力解析式，常規(guī)意義下基于磁偶極子磁密度理論的磁力解析式僅適用于磁體能簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)的情況[16]，而進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)及數(shù)值分析都表明：采用該解析式計(jì)算BEMH的磁力，所得結(jié)果誤差較大，進(jìn)而影響結(jié)構(gòu)勢(shì)能函數(shù)與平衡點(diǎn)位置的分析。為提高準(zhǔn)確性，本文采用Ansoft Maxwell進(jìn)行磁力仿真，此軟件是電磁場(chǎng)分析軟件，廣泛用于工業(yè)電磁元件，如傳感器，調(diào)節(jié)器，電動(dòng)機(jī)，變壓器，以及其他控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，能夠真實(shí)有效地模擬電磁場(chǎng)，并采用三維瞬態(tài)場(chǎng)進(jìn)行仿真。

根據(jù)薄膜振子的振動(dòng)范圍，采用立方非線性磁力表達(dá)式為基礎(chǔ)進(jìn)行仿真：

Fm=α1z+α3z3

(15)

式中：α1=0.104 978 6 N/mm，α3=5.654×10-3N/mm3。

圖5 振子磁力曲線

2.2 物理實(shí)驗(yàn)

(I) 薄膜回復(fù)力分析

將帶有薄膜的支撐環(huán)垂直固定于實(shí)驗(yàn)臺(tái)(此時(shí)y=0,x=z), 為避免重力引起薄膜下垂，測(cè)試過(guò)程中移除NdFeB磁鐵，利用測(cè)力計(jì)(型號(hào)：HP-50)施加、撤除薄膜中心力，同時(shí)讀取測(cè)力計(jì)相應(yīng)位移和力，翻轉(zhuǎn)支撐環(huán)，重復(fù)上述測(cè)試。由圖6可知，此薄膜僅存在彈性變形。因曲線始終穿過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且具有對(duì)稱(chēng)性，所以擬合曲線不存在常數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)，三次多項(xiàng)式很好地?cái)M合了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：

Fr=β1z+β3z3

(16)

式中：β1=0.027 5 N/mm，β3=9.345×10-3N/mm3。

(II) 結(jié)構(gòu)阻尼和線性固有頻率分析

為識(shí)別系統(tǒng)結(jié)構(gòu)阻尼和線性固有頻率，將BEMH垂直固定于實(shí)驗(yàn)臺(tái)(消除重力引起薄膜的初始位移，此時(shí)y=0,x=z)，對(duì)系統(tǒng)施加初始位移，并采用激光位移傳感器(型號(hào)：KEYENCE IL-065)測(cè)量其衰減振動(dòng)。基于振動(dòng)基本原理[25]可獲得欠阻尼線性系統(tǒng)的響應(yīng)：

z(t)=Ae-ξωn0tcos(ωdt-φ)

(17)

(a) 回復(fù)力實(shí)驗(yàn)圖

(b) 回復(fù)力曲線圖

最終可得系統(tǒng)的基本物理參數(shù),見(jiàn)表1。

表1 BEMH物理參數(shù)

3 EMH與BEMH模型對(duì)比

3.1 勢(shì)能曲線

去掉樣機(jī)上下端蓋處的氧化鐵芯(保留線圈繞組)，BEMH將變?yōu)閭鹘y(tǒng)的單穩(wěn)態(tài)振動(dòng)能量采集器(EMH)。由圖7可知相對(duì)于EMH,BEMH存在較淺的能量阱，可以跨越勢(shì)壘產(chǎn)生大幅阱間運(yùn)動(dòng)。因此，BEMH更適用于外界復(fù)雜激勵(lì)環(huán)境。

圖7 振子勢(shì)能曲線圖

3.2 數(shù)值模擬

根據(jù)振動(dòng)控制方程式分析EMH與BEMH處于不同外界加速度條件下，基礎(chǔ)激勵(lì)頻率在0.01～25 Hz范圍內(nèi)的位移響應(yīng)(系統(tǒng)參數(shù)取值如表1所示)。圖8給出了兩種初始條件且不同外界加速激勵(lì)時(shí)，BEMH和EMH的幅頻響應(yīng)圖。

(1) 外界加速度為0.16 m/s2時(shí)，由圖8(a)得EMH的共振頻率為8.50 Hz，單穩(wěn)態(tài)的性質(zhì)決定其幅頻曲線只存在穩(wěn)定且相對(duì)較高的峰值(C點(diǎn))，且峰值位置與初始條件無(wú)關(guān)。因?yàn)锽EMH沒(méi)有足夠的能量逃離勢(shì)阱，只能在兩個(gè)平衡點(diǎn)附近做周期運(yùn)動(dòng)(即A，B兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)的曲線)，所以BEMH的幅頻圖存在兩個(gè)相對(duì)較小峰值(A,B點(diǎn))。雖然EMH的共振幅值優(yōu)于BEMH，但其有效工作頻帶低于BEMH。

(2) 外界加速度為4.9 m/s2時(shí)，由圖8(b)可得BEMH產(chǎn)生阱間運(yùn)動(dòng)的頻帶為5～10 Hz，與此同時(shí)EMH的工作頻帶為5.2～10.3 Hz，由此可見(jiàn)非線性磁力的存在使得BEMH的帶寬向低頻區(qū)域移動(dòng)。雖然BEMH和EMH的有效頻帶寬度接近，但BEMH幅值增長(zhǎng)速率明顯優(yōu)于EMH。

(3) 外界加速度提高到7.84 m/s2,從圖8(c)可以看出，兩個(gè)能量采集器的工作頻帶和運(yùn)動(dòng)幅值繼續(xù)增加，但BEMH的有效工作頻帶拓展的更寬(4.8～12.9 Hz)。

(4) 外界加速度達(dá)到11.76 m/s2時(shí), BEMH的頻帶以固有頻率為基點(diǎn)向左右兩個(gè)方向擴(kuò)展，左方區(qū)域從3.57 Hz開(kāi)始做大幅阱間運(yùn)動(dòng)，右方區(qū)域至19.64 Hz結(jié)束大幅阱間運(yùn)動(dòng)。BEMH的幅值平穩(wěn)增長(zhǎng)最后趨近于定值，這是由于幅值增加導(dǎo)致結(jié)構(gòu)整體回復(fù)力增大，限制NdFeB磁鐵在兩個(gè)平衡點(diǎn)之間做阱間運(yùn)動(dòng)，即：隨外界加速度的增加，BEMH運(yùn)動(dòng)幅值將不會(huì)進(jìn)一步增大。

4 實(shí) 驗(yàn)

4.1 實(shí)驗(yàn)裝置

圖9顯示了實(shí)驗(yàn)設(shè)備和能量采集器樣機(jī)。實(shí)驗(yàn)儀器主要由信號(hào)發(fā)生器(型號(hào):Tektronix AFG3102C)、信號(hào)功率放大器(型號(hào)：ZD-G-800)、激振器(型號(hào)：Brüel & Kjr LDSV850)、數(shù)字存儲(chǔ)示波器(型號(hào)：Tektronix DPO2012B)、加速度傳感器(型號(hào)：Brüel & Kjr 8344)等組成。

信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生的正弦信號(hào)經(jīng)過(guò)功率放大器及激振器作用于樣機(jī)，迫使樣機(jī)薄膜振子振動(dòng)，并利用加速度傳感器監(jiān)測(cè)樣機(jī)加速度信號(hào)，同時(shí)通過(guò)示波器采集樣機(jī)的輸出電壓。實(shí)驗(yàn)過(guò)程中通過(guò)移除樣機(jī)上下鐵芯得到EMH，從而進(jìn)行輸出性對(duì)比。

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

當(dāng)基礎(chǔ)激勵(lì)加速度為11.76 m/s2,且處于主共振時(shí)，EMH和BEMH的峰峰值電壓及輸出功率與負(fù)載電阻之間的關(guān)系曲線，如圖10所示。在負(fù)載電阻初始增加階段，兩個(gè)能量采集器的輸出電壓迅速增大，然后隨著負(fù)載電阻的繼續(xù)增加，輸出電壓增長(zhǎng)趨勢(shì)緩慢，直至出現(xiàn)飽和狀態(tài)，這是由于負(fù)載電阻已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)線圈內(nèi)阻。與此同時(shí)，隨著負(fù)載電阻的增加，輸出功率迅速增大到功率極值(A，B點(diǎn))，對(duì)應(yīng)電阻值7.8 kΩ，20 kΩ，然后迅速減小。

(a) A=0.16 m/s2

(b) A=4.9 m/s2

(c) A=7.84 m/s2

(d) A=11.76 m/s2

圖8 BMEH和MEH的幅頻響應(yīng)圖

Fig.8 Amplitude-frequency response of the BMEH and the MEH

圖9 實(shí)驗(yàn)裝置及流程

(a) EMH

(b) BEMH

圖11分別顯示了不同基礎(chǔ)激勵(lì)加速度及外接最優(yōu)電阻條件下，BEMH和EMH在0.01～25 Hz范圍內(nèi)的輸出功率。隨著激勵(lì)幅值增加，EMH和BEMH的工作頻帶逐漸拓寬，薄膜低剛度的特點(diǎn)使得能量采集器靈敏度較高；BEMH結(jié)構(gòu)中包含的磁鐵彈簧使其出現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)形態(tài)，有效工作帶寬同時(shí)向線性固有頻率兩側(cè)拓寬。在相同外界激勵(lì)下，BEMH的阱間運(yùn)動(dòng)使得其輸出功率較高，接近EMH的16倍(外界激勵(lì)為11.76 m/s2，激勵(lì)頻率為15 Hz)。隨著外界加速度值進(jìn)一步增加，EMH和BEMH的輸出功率逐漸提高，BMEH的雙穩(wěn)態(tài)特性限制其最終在兩個(gè)平衡點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)，使得BEMH的輸出功率逐漸趨于穩(wěn)定值。

(a) EMH

(b) BEMH

5 結(jié) 論

本文提出了一種能感應(yīng)低頻小幅環(huán)境振動(dòng)且具備較寬工作頻帶的雙穩(wěn)態(tài)電磁式薄膜振動(dòng)能量采集器，并對(duì)其進(jìn)行了理論分析、數(shù)值模擬以及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。結(jié)果表明：

(1) 建模過(guò)程中考慮薄膜大變形回復(fù)力表達(dá)式是非常必要的，為后續(xù)從理論上指導(dǎo)樣機(jī)改良提供了可供參考的依據(jù)。

(2) 雙穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)相較于單穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)幅值較大，相對(duì)速度增加，能量采集效率顯著提高，工作頻帶有效擴(kuò)展。

(3) 磁力彈簧的介入使得薄膜式振動(dòng)能量采集器整體剛度較小，靈敏度提高，更適用于日常生活中的低頻振動(dòng)環(huán)境。