城軌沿線地面環(huán)境振動響應(yīng)的半解析有限元求解

崔高航， 歐陽浩然， 陶夏新， M Shamim Rahman

(1.東北林業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，哈爾濱 150040；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，哈爾濱 150040；3. North Carolina State University, Department of Civil, Construction and Environmental Engineering, Raleigh, NC 27695)

城軌交通已經(jīng)成為了城市居民不可替代的交通方式，它帶給了我們出行快捷方便的同時，也帶來了一些新問題。近年來，城軌交通沿線環(huán)境振動的影響越發(fā)引人關(guān)注。城軌交通引起的振動響應(yīng)向外傳播對周圍建筑物產(chǎn)生二次振動和噪聲，人們的生活和工作都受到了不同程度上的影響，所以有必要對城軌交通引起的環(huán)境振動進(jìn)行研究。

過去對于環(huán)境振動的問題經(jīng)常使用經(jīng)驗?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行預(yù)測研究，對試驗數(shù)據(jù)過于依賴，應(yīng)用面較窄。近年來國內(nèi)外研究人員開始采用解析方法和數(shù)值模擬的方法來研究環(huán)境振動問題，取得了一些成果。Kang等[1]研究了鐵道車輛振動引起的車身的動力學(xué)行為。Takemiya[2]則進(jìn)行了很多列車-軌道模型的簡化工作。Sheng等[3]將軌枕模擬為擁有連續(xù)質(zhì)量和剛度的剛體。Ju[4]和Chen[5]分別提出兩種預(yù)測環(huán)境振動的方法，一種是半經(jīng)驗評價方法，另一種是使用有限元模型進(jìn)行模擬的數(shù)值預(yù)測方法。王福彤等[6]通過現(xiàn)場觀測對城軌交通引發(fā)的地表豎向振動進(jìn)行了分析。朱志輝等[7]建立了高速列車的車-橋耦合系統(tǒng)的隨機(jī)振動模型。筆者發(fā)現(xiàn)已有的研究成果中，研究的方法可以大致分成兩種：解析法和有限元法。然而只使用解析法進(jìn)行求解會由于計算過程中簡化條件過多造成與實測數(shù)據(jù)相差較大的情況。但是只使用有限元法存在建立的模型過于復(fù)雜導(dǎo)致對計算機(jī)配置的要求很高而且對工程實例不具有通用性。本文在這些基礎(chǔ)上對文中的問題采用半解析有限元法進(jìn)行求解，最后利用北京市某城軌線路區(qū)間站之間的環(huán)境振動觀測數(shù)據(jù)對計算結(jié)果進(jìn)行驗證，驗證結(jié)果良好。本文的計算方法對于評估現(xiàn)有線路和規(guī)劃線路附近的環(huán)境振動具有一定的實用價值。

1 車輛-軌道-地基土動力相互作用模型

本文建立的解析模型由三個子模型組成分別是車輛模型，軌道模型和地基土模型。

1.1 車輛模型

如圖1所示，采用二系懸掛車輛模型[8]。車體和轉(zhuǎn)向架都考慮沉浮和點(diǎn)頭兩個自由度，輪對僅考慮沉浮一個自由度。

圖1 車輛模型計算簡圖

根據(jù)車輛動力學(xué)，第i節(jié)車輛的平衡方程為：

(1)

為了進(jìn)行頻域分析，對式(1)進(jìn)行Fourier變換：

(2)

(3)

在式(2)的基礎(chǔ)上，車輛的振動位移可以表示成：

(4)

(5)

式中：系數(shù)矩陣B=DT=[06×4|I4×4]。

將式(5)代入式(4)中得到第i節(jié)車輛的輪對位移向量為：

(6)

將式(6)進(jìn)一步簡化可寫為：

(7)

不同車輛的振動是相互獨(dú)立的，式(7)能夠被應(yīng)用于N節(jié)車輛的輪對位移，可以用一個向量方程組表示：

(8)

1.2 列車-軌道相互作用模型

根據(jù)資料調(diào)研和城軌列車實際運(yùn)行速度，輪軌間的振動變形近似于彈性變形，本文采用Hertz彈性接觸理論。根據(jù)上述假設(shè)的條件，存在如下關(guān)系式：

(9)

式(9)在頻域內(nèi)可表示為：

(10)

容易知道所有輪軌接觸點(diǎn)應(yīng)滿足等式(10)，因此可以用一個向量方程組表示：

(11)

1.3 軌道支撐結(jié)構(gòu)相互作用模型

圖2為軌道支撐結(jié)構(gòu)模型。在建立此模型期間進(jìn)行了以下假設(shè)：

(1) 鋼軌被認(rèn)為是無限長的歐拉伯努利梁，且截面尺寸保持不變；

(2) 鋼軌與軌枕、軌枕與道砟、道砟與地基土之間的連接用彈簧-阻尼器模擬；

(3) 認(rèn)為軌枕和道砟是離散支承的質(zhì)量塊；

(4) 因為地基的位移很小，不影響振源傳遞給地基的力，所以假定地基的位移為0。

圖2 軌道支撐結(jié)構(gòu)模型

如圖3所示，鋼軌由軌枕離散支撐，鋼軌受到的單個輪對的荷載等于2n+1個軌枕的支撐荷載。當(dāng)單個輪對荷載P(t)以速度V移動時，軌道振動的偏微分方程根據(jù)假定可以得到：

(12)

圖3 受力簡圖

經(jīng)推導(dǎo)[9-10]，鋼軌的豎向總位移為：

(13)

先后取單個軌枕，單個道砟作為受力分析模型，并根據(jù)受力平衡得到軌枕和道砟的平衡方程結(jié)合彈簧阻尼器參數(shù)，最終可以得到地基反力。

1.4 振源模型輸出力的求解

為了得到地基反力，需要先計算輪軌相互作用力。由式(11)可知，等式左邊的矩陣由輪軌相互作用力向量組成；等式的右邊分別是列車所有輪對的位移向量、鋼軌位移向量和軌道不平順位移向量。輪對位移和輪軌相互作用力之間的關(guān)系由公式(8)給出，同時采用實測數(shù)據(jù)為軌道不平順的輸入。因此要求出輪軌相互作用力，就只要獲得鋼軌位移向量與輪軌相互作用力向量之間的關(guān)系，代入等式(11)即可求得。

(14)

式中：ωk為單一波長軌道不平順對應(yīng)的激振圓頻率；i′和l′分別表示車輛的節(jié)數(shù)和每節(jié)車輛的輪對編號；xpil-xpi′l′表示列車輪對之間的距離。

式(14)對每個輪軌接觸點(diǎn)都是滿足的，因此以矢量方程組的形式表示為：

(15)

(16)

將式(8)、(15)代入到式(11)獲得頻域內(nèi)所有輪對的輪軌相互作用力向量：

(17)

其中Q矩陣表示如下：

2 算例分析

根據(jù)上節(jié)所建立的模型編制了Fortran計算程序，再利用有限元軟件ABAQUS建立了地面振動傳播路徑模型。本節(jié)將通過環(huán)境振動觀測數(shù)據(jù)分析與對比模型的計算結(jié)果。

2.1 計算參數(shù)的選取

選取的列車編組為4節(jié)編組，單節(jié)長度為19 m，車速為72 km/h，車輛模型的基本參數(shù)如表1所示。軌道系統(tǒng)中每個部件的參數(shù)如下：

表1 車輛模型基本參數(shù)

鋼軌：單位長度質(zhì)量為mr=60.64 kg;截面剛度EI=6.62×106N·m2;結(jié)構(gòu)阻尼比ξr=0.01。

軌枕：質(zhì)量ms=252 kg;間距d=0.605 m。

道砟：質(zhì)量mb=1 360 kg。

鋼軌和軌枕之間的彈簧-阻尼系數(shù)：krs=4.0×107N/m，crs=1.24×105N·s/m。

軌枕和道砟之間的彈簧-阻尼系數(shù)：ksb=7.8×107N/m，csb=6.5×104N·s/m。

道砟和地基土表面之間的彈簧-阻尼系數(shù)：kbg=2.4×108N/m，cbg=5.88×104N·s/m。

軌道不平順：如圖4所示，輸入中國某鐵道豎向軌道不平順觀測記錄[11]。

圖4 軌道不平順時程圖

2.2 傳播路徑模型

在建模的過程中，由于道床塊的上部承受著由軌枕傳遞的輪軌力，對于鋼軌而言軌枕是離散的支撐，所以道床塊對地基的力可以簡化為離散分布的點(diǎn)振源陣列。同時在建模過程中考慮問題的簡化和對稱性，取沿線軌道一側(cè)的一半的地基土進(jìn)行分析。

場地為北京某地鐵兩站之間的一個區(qū)段，勘察獲得的鉆孔資料列于表2。場地模型沿列車運(yùn)行方向取長150 m，垂直軌道方向的寬度取70 m，豎向深度取40 m，網(wǎng)格劃分如圖5顯示，每個單元均為0.5 m×0.5 m×0.5 m。邊界條件采用無限元邊界[12-13]，該邊界能夠?qū)⒄駝硬ㄋp到無限遠(yuǎn)處，避免了波動在有限元邊界處的損耗，同時線路中心線所處的YZ平面的邊界采用對稱邊界條件。

表2 場地鉆孔資料

(a) 模型總圖

(b) 模型局部放大圖

2.3 計算結(jié)果分析

施加的荷載時程由編制的Fortran計算程序所求得，如圖6所示。在距軌道軸線10 m、20 m、40 m、50 m、60 m處，計算這5個點(diǎn)的豎向加速度時程，如圖7所示。并于表3中比較了模型計算與實測數(shù)據(jù)的地表加速度峰值的偏差。

從表3結(jié)果可知：

(1) 對于地面的振動，地面的豎向加速度隨著傳播距離的增加而減小。同時在距軌道中心線50 m處的豎向加速度計算值峰值為0.001 98 m/s2，而在距軌道軸線60 m處為0.002 81 m/s2，漲幅有29.53%，對于實測值漲幅則有22.62%，說明在距離軌道中心線較遠(yuǎn)的地方出現(xiàn)了加速度反彈增大的現(xiàn)象。

圖6 輸入荷載時程圖

(2) 計算得到的加速度時程與觀測記錄峰值大小接近，響應(yīng)的持時相當(dāng)。為了更具體地比較加速度的峰值，表3列出了計算值與實測值的峰值，并定義計算值與實測值之差除以實測值的絕對值為偏差率，可以得到偏差率的范圍為6.50%～16.10%，平均值為9.44%。以上結(jié)果表明，本文的計算方法是可信的。

(a) 10 m處的地表豎向加速度時程

(b) 20 m處的地表豎向加速度時程

(c) 40 m處的地表豎向加速度時程

(d) 50 m處的地表豎向加速度時程

(e) 60 m處的地表豎向加速度時程

圖7 地面5處加速度響應(yīng)的實測值與計算值的比較

Fig.7 The comparison of results with the observations at five ground points

表3 地表加速度計算值峰值與觀測值峰值的比較

Tab.3 Peak ground accelerations of the results with those recorded

響應(yīng)類別計算值觀測值偏差率/%10 m加速度/(m·s-2)0.035 610.038 547.6020 m加速度/(m·s-2)0.019 520.021 489.1240 m加速度/(m·s-2)0.005 750.006 156.5050 m加速度/(m·s-2)0.001 980.002 3616.1060 m加速度/(m·s-2)-0.002 81-0.003 057.87

圖8顯示了列車運(yùn)行速度為72 km/h時對距軌道軸線10 m、20 m、40 m、50 m、60 m處的5個加速度頻譜曲線。由圖7可以看出，波在土中的傳播受到土中的材料阻尼和輻射阻尼的影響，隨著距離的增加，加速度頻譜中的高頻成份變得越來越少。同時經(jīng)過快速傅里葉變換后，實測值與計算值的頻譜相比，二者的優(yōu)勢頻率十分接近，也再一次證明了模型的有效性。

(a) 距軌道10 m處的結(jié)果比較

(b) 距軌道20 m處的結(jié)果比較

(c) 距軌道40 m處的結(jié)果比較

(d) 距軌道50 m處的結(jié)果比較

(e) 距軌道60 m處的結(jié)果比較

圖8 地表5點(diǎn)加速度頻譜與觀測結(jié)果的比較

Fig.8 Comparison of acceleration spectrum of five ground points with observation results

3 結(jié) 論

本文提出了一種基于半解析有限元模型的城軌列車運(yùn)行時引起的環(huán)境振動的計算方法。方法有兩個步驟：地基反力的求解和地面振動的求解。最后算例的結(jié)果表明：

(1) 地面環(huán)境振動響應(yīng)隨傳播距離的增加而減小，在傳播到一定距離時出現(xiàn)了加速度反彈增大現(xiàn)象。

(2) 隨著傳播距離的增大，加速度頻譜中的高頻所占比重越來越小。

(3) 本文發(fā)展的這套計算車輛-軌道-地基土系統(tǒng)振動反應(yīng)的方法是有效的。