對模態(tài)命題邏輯的簡單介紹

謝 倩

(中央財經(jīng)大學文化與傳媒學院，北京 100001)

一、引言

模態(tài)邏輯作為一門重要的學科包括了道義邏輯和時態(tài)邏輯(或時間邏輯)可以處理許多用命題邏輯無法解決的難題。且在我們生活、學習和工作中都發(fā)揮著或大或小的作用，尤其是在人工智能與計算機領域中。

二、命題邏輯

命題邏輯①是研究以命題為最小單位的命題形式。我們普遍認為，命題邏輯是模態(tài)命題邏輯的基礎，所以探究模態(tài)命題邏輯之前，我們首先要了解命題邏輯的形式系統(tǒng)。

(一)命題邏輯的形式系統(tǒng)p

1.初始符號

命題變元：p1,p2,…

普通符號：(，)

2.形成規(guī)則

對所有命題變元p是原子命題，那么p是公式；

假設α，β是公式，那么α→β也是公式。

3.公理

從直觀上來說，命題邏輯的形式系統(tǒng)為后來模態(tài)命題邏輯的形式系統(tǒng)的建立奠定了基礎。

三、模態(tài)命題邏輯

模態(tài)命題邏輯中的“模態(tài)”通常是指事物或認識的必然性和可能性等這一類的性質②。所以引入了“必然”和“可能”這兩個概念，在一般情況下，通常把“必然性”和“可能性”稱為模態(tài)詞，符號表示為“□”和“◇”。除了單個的模態(tài)詞，還有可能出現(xiàn)“□◇□□”或“□□”這類多個模態(tài)詞在一起，而這種由單個模態(tài)詞疊加在一起的情況又稱為疊置模態(tài)詞③。

(一)模態(tài)算子

● 明天會下雨。p

● 必然明天會下雨?！鮬

● 可能明天會下雨?！髉

(二)模態(tài)命題邏輯的形式系統(tǒng)PM

1.初始符號

命題變元：p1，p2，…

普通符號：(，)

模態(tài)詞：□

2.形成規(guī)則

對所有命題變元p是原子命題，那么p是公式；

假設α，β是公式，那么α→β也是公式；

假設α是公式，那么□α也是公式。

3.引入符號

模態(tài)命題邏輯在命題邏輯的基礎上增加了符號的引入，可以解決一些命題邏輯無法解決的事情。

(三)模態(tài)命題系統(tǒng)K、D、T、B與S4、S5

1.正規(guī)系統(tǒng)K

K系統(tǒng)是模態(tài)命題邏輯中最小的形式系統(tǒng)，K被視為命題邏輯的擴張系統(tǒng)。所以我們在討論K系統(tǒng)時，同樣要以前面提到的命題邏輯的系統(tǒng)為基礎來認識了解。

K系統(tǒng)通過擴張形成的最終系統(tǒng)為K=P+K+N。P是命題邏輯的形式系統(tǒng)，包括初始符號，公理和一些導出規(guī)則。Κ是K系統(tǒng)中新增加的一條公理：□(p→q)→(□p→□q)。因為相對于命題邏輯引入了模態(tài)詞，所以K系統(tǒng)還加入了必然化規(guī)則：如果有α，那么可以有□α。除此以外，我還選取了幾個較為重要的定理和推理規(guī)則。

2.正規(guī)系統(tǒng)D和T

● 明天有比賽。P

● 可能明天有比賽?！鮬

● 一定明天有比賽。◇p

從上面三個舉例的語句意思通過常識進行分析，“可能明天有比賽”意味著明天比賽或者不比賽的概率各占一半；“一定明天有比賽”無條件明天百分百要比賽。借用概率來分析，必然可能與普通命題的強弱如下：□p>p>◇p。而這個種強弱關系也恰好對應了正規(guī)系統(tǒng)D和T的兩個新增公理。

兩個系統(tǒng)都以K為基礎系統(tǒng)，在K的基礎上又分別加入了公理D：□p→◇p和公理T：□p→p。由強弱關系可以知道，□p是最強的。所以在有了必然為前提之后，可以推出◇p或者p。

值得一提的是，道義邏輯使用D系統(tǒng)進行正式的研究與解釋。

3.正規(guī)系統(tǒng)S4和S5

雖然在前面的T系統(tǒng)已經(jīng)是擴張的“最大”系統(tǒng)，但是就T系統(tǒng)而言仍然無法解決疊置模態(tài)詞這一問題。而系統(tǒng)S4和S5建立可以解決關于疊置模態(tài)詞這個難題。

S4系統(tǒng)是在K和T的基礎上增加了公式4：□p→□□□p。S_5系統(tǒng)樣是在K和T的基礎上增加了公式E：◇p→□◇p。所以S4與S5都是K、T的擴張。

4.正規(guī)系統(tǒng)B

B系統(tǒng)是在T的基礎上又加入了新公理B：p→□◇p，即B=KTB。從擴張系統(tǒng)來看，B系統(tǒng)和S4都是T系統(tǒng)的擴張系統(tǒng)，所以這兩個系統(tǒng)是平行關系，不存在相互之間的擴張關系。

我們只重點討論了上面六種正規(guī)系統(tǒng)④。但是模態(tài)系統(tǒng)中卻有很多作用不同的系統(tǒng)。就探討的這六個正規(guī)系統(tǒng)，通過圖形來了解這它們之間的關系：

四、可能世界語義

在命題邏輯中，我們研究的主要是語形和語義。語形主要是指形式化系統(tǒng)之類的，如前面所說到的命題邏輯系統(tǒng)或者將一句話通過符號形式化表達。而語義主要是通過賦值研究命題的真假。模態(tài)命題邏輯也是如此，但是因為模態(tài)命題邏輯引入了模態(tài)詞，相對于命題邏輯新增了很多不同的表達，所以萊布尼茨提出了“可能世界⑤”這一概念希望能解決這些新出現(xiàn)的問題。

(一)模型的構建

在萊布尼茨可能世界里，可以有這樣幾種解釋：

命題α任何的可能世界中是必然的，當且僅當，命題α在所有的可能世界里都為真。用符號形式化之后可以表達成：

V(□α，w)=1?任w′∈W，V(α，w′)=1。

進一步可以表達成：V(□α，w)=1?任w′，若Rww′，則V(α，w′)=1。

萊布尼茨通過引入一個關系R，將可能世界w與另一個可能世界w′產(chǎn)生一種聯(lián)系，而這個關系就是可通達關系。在整個可能世界W中，有許多小的w′,w″,…wn，我們也可以將它看成是集合的關系，即集合W。這樣，在對一個模態(tài)形式解釋的前提就必須有三個基本前提：第一，可能世界W。第二，可通達關系R和第三，賦值V。其中是框架，也是基礎構造.在加入賦值V后就構成了一個完整的解釋，稱它為模型。

假設w∈W，w′∈W，w″∈W，……，wn∈W過圖形來進行描述：

由上圖可知，在可能世界W中的w中，令□(□α的賦值為真)，即V(□α)=1，R關系是w可通達w′，那么在w′中，α的賦值也為真，即V(α)=1。

我們在上面只討論了關于必然算子□在可能世界中的模型。在可能世界中，令可能算子◇α賦值為真，即V(◇α)=1，R關系同樣是w可通達w′，但是在w′中只存在一個α賦值為真，即V(α)=1。通過簡圖來描述：

五、小結

總而言之，模態(tài)命題邏輯的發(fā)展離不開命題邏輯，而模態(tài)命題邏輯可以解決問題的范圍遠遠大于命題邏輯。模態(tài)命題邏輯雖然有很多形式系統(tǒng)，但正規(guī)系統(tǒng)只有六個，而正規(guī)系統(tǒng)K是所有其它正規(guī)系統(tǒng)中包容性最大的，因此K系統(tǒng)才和命題邏輯作為基礎讓其它的系統(tǒng)得到擴張。本文在前人現(xiàn)有基礎上加入自己的理解對模態(tài)命題邏輯進行描述與討論。

[ 注 釋 ]

①命題邏輯：單個或多個原子命題通過一元連接詞或二元連接詞組合而成.

②“這類性質”：除了可能性和必然性還有其它的性質(疊紙模態(tài)詞)，如不可能性，偶然性必然的可能性等.

③疊置模態(tài)詞：一般在S4、S5系統(tǒng)中出現(xiàn).

④正規(guī)系統(tǒng)：對K系統(tǒng)進行擴張的系統(tǒng).

⑤可能世界：萊布尼茨為更好對模態(tài)邏輯進行語義分析而創(chuàng)造.