邊際條件隨機占優(yōu)下的增強型指數(shù)投資組合模型

李倩 吳昊

摘要： 本文給出了一個基于邊際條件隨機占優(yōu)規(guī)則的增強型指數(shù)投資組合模型。該模型在均值方差分析框架的基礎(chǔ)上引入了邊際條件隨機占優(yōu)的兩層優(yōu)化，其中，層次一以約束條件的形式加入模型，使得投資組合在占優(yōu)于基準(zhǔn)指數(shù)的邊際條件隨機占優(yōu)效率集中;層次二是在多個投資組合中尋找占優(yōu)程度最高的投資組合，因此在本研究的模型中處理為目標(biāo)函數(shù)。占優(yōu)程度在本文中定義為邊際條件隨機占優(yōu)相對于基準(zhǔn)指數(shù)的統(tǒng)計量的均值。本文使用多目標(biāo)免疫算法對該模型進行求解，并應(yīng)用8個世界主要市場的指數(shù)及其成份股數(shù)據(jù)進行了測試。結(jié)果顯示本文提出的基于邊際條件隨機占優(yōu)規(guī)則的指數(shù)投資組合能夠顯著地增強其收益。

關(guān)鍵詞： 投資組合; 增強型指數(shù)投資; 邊際條件隨機占優(yōu); 均值方差; 多目標(biāo)優(yōu)化

文獻標(biāo)識碼： A ?文章編號： 1002-2848-2019（04）-0118-11

一、問題的提出

指數(shù)化投資理念產(chǎn)生于20世紀(jì)70年代，是以跟蹤或復(fù)制某一市場指數(shù)為目標(biāo)，通過分散投資于目標(biāo)指數(shù)的成分證券來最小化交易成本并取得市場平均收益率的一種投資模式。從誕生至今的40年間，出現(xiàn)了各種指數(shù)投資產(chǎn)品，包括指數(shù)基金、交易型開放式指數(shù)基金ETF、股指期貨、股指期權(quán)、指數(shù)聯(lián)動型債券和存款等。以指數(shù)基金和ETF為例，近10年來全球市場以每年40%的速度增長。據(jù)Wind資訊數(shù)據(jù)統(tǒng)計，截至2017年底，我國開放式指數(shù)基金產(chǎn)品數(shù)量超過600只，資產(chǎn)規(guī)模6118.15億元，產(chǎn)品數(shù)量占全市場的比例為8.36%。

近年來，隨著指數(shù)化投資的繁榮，指數(shù)化投資產(chǎn)品的競爭日益加劇，尤其對于指數(shù)基金來說，如何通過高收益吸引投資者，從而做大指數(shù)基金規(guī)模，成為指數(shù)型基金管理的重大課題。因此，試圖在跟蹤指數(shù)的同時獲得超額收益的增強型指數(shù)投資越來越受到市場的青睞和投資者的關(guān)注，逐漸成為了新的研究熱點。從風(fēng)險的角度來看，由于將指數(shù)的風(fēng)險分布作為參考，增強型指數(shù)投資是一種指數(shù)追蹤策略。然而，從回報的角度來看，增強型指數(shù)投資也是一種主動管理策略，因為它的目標(biāo)是為了獲得超過基準(zhǔn)的收益。因此，增強型指數(shù)投資有時被稱為“風(fēng)險控制下的主動投資組合管理”。

對增強型指數(shù)投資的研究通常在“均值方差”（Mean-Variance，MV）的優(yōu)化框架下，投資組合選擇的目標(biāo)通常包括兩部分：最大化超額收益和最小化追蹤誤差。由于求解此類問題屬于NP-hard問題，因此，已有研究主要集中在問題的求解方法上。雖然MV模型十分直觀地反映了投資組合管理中的兩個重要目標(biāo)，但是其缺陷也一直受到學(xué)術(shù)界的詬病。首先，MV模型對股票收益的度量需要前期消除長期趨勢的股票價格，這就會導(dǎo)致價格共同趨勢的信息丟失，并對樣本數(shù)據(jù)有很強的敏感性。其次，MV模型僅使用兩個統(tǒng)計量來描述投資組合的收益分布，這可能導(dǎo)致重要信息被忽略。為了解決第一個問題，Alexander等[1]提出了基于協(xié)整關(guān)系的增強型指數(shù)追蹤模型，以股票價格代替收益作為衡量指標(biāo)。Li等[2]將價格共同趨勢加入到了優(yōu)化模型中，并在增強型指數(shù)追蹤問題中考慮到了最優(yōu)化策略過程。然而，這些研究并不能解決第二個問題。

在本文中，我們提出將考慮整體資產(chǎn)收益分布的隨機占優(yōu)（Stochastic Dominance，SD）規(guī)則引入MV分析框架中，建立增強型指數(shù)投資組合模型。與MV模型不同，SD模型有以下優(yōu)勢：首先，SD不限制效用函數(shù)和投資收益分布的形式，而是從投資收益率的概率分布中衍生出的弱條件;其次，SD排序規(guī)則考慮了資產(chǎn)的整體收益分布，而不是僅僅考慮均值、方差和beta系數(shù);第三，SD不是建立在像市場模型那樣的線性收益產(chǎn)生過程的基礎(chǔ)上。由于SD利用了“價格、概率和偏好”[3]，因此被認為是投資組合選擇中的一個更合理的工具。但由于計算量大和計算困難等原因，SD模型一直未得到廣泛應(yīng)用。

為了克服SD的計算困難，本文采用邊際條件下隨機占優(yōu)（Marginal Conditional Stochastic Dominance，MCSD）作為SD規(guī)則的替代。MCSD是Shalit等[4]提出的一種基于二階隨機占優(yōu)（Second Stochastic Dominance，SSD）的資產(chǎn)優(yōu)化選擇方法。MCSD不需要對投資組合中所有資產(chǎn)的可能組合進行無限次的兩兩比較以獲得有效的投資組合，而只考慮投資組合中資產(chǎn)權(quán)重的邊際變化。也就是說，投資決策是在有限的、有條件的情況下做出的，因此不需要頻繁地改變核心投資組合。為了便于計算，Shalit等[4]提出，MCSD可用于將單個資產(chǎn)或投資組合與市場投資組合進行比較。在這個意義上，MCSD比SSD更適合于增強型指數(shù)追蹤，因為它可以測試設(shè)計的投資組合和市場指數(shù)之間的占優(yōu)關(guān)系。具體而言，本文在MV優(yōu)化框架內(nèi)，首次提出增加MCSD規(guī)則的優(yōu)化目標(biāo)和約束條件。通過借鑒Belghitar等[5]提出的“總股票收益（total stock performance，TSP）”的概念以及Chow[6]提出的MCSD的統(tǒng)計檢驗，本文提出“占優(yōu)程度”的評價方法，使得投資組合選擇問題變成了最大化占優(yōu)程度以及對超額收益和跟蹤誤差的考慮。另一方面，我們在模型中加入了MCSD的兩層約束。通過對投資組合的MCSD統(tǒng)計分析，找到占優(yōu)于基準(zhǔn)指數(shù)的MCSD效率集（即在該集合中的投資組合均邊際條件隨機占優(yōu)于基準(zhǔn)指數(shù)），同時在MCSD效率集中找到占優(yōu)該集合中所有其他投資組合的那個投資組合，以確定其為最優(yōu)投資組合。在模型構(gòu)建的基礎(chǔ)上，本文使用多目標(biāo)免疫算法進行模型的優(yōu)化求解，并設(shè)計了模型轉(zhuǎn)換方法，最后使用8組世界主要股票市場指數(shù)及其成份股的歷史數(shù)據(jù)對模型及算法進行測算，證明了本文所提出模型的有效性。

二、邊際條件隨機占優(yōu)理論

邊際條件隨機占優(yōu)理論由Shalit等[4]于1994年提出，它給出了在資產(chǎn)選擇過程中，所有風(fēng)險規(guī)避的投資者用一個資產(chǎn)邊際替代組合中的另一個資產(chǎn)的概率條件。在投資組合選擇中，已有研究使用二階隨機占優(yōu)來進行模型的構(gòu)建。例如Roman等[7-8]提出了基于二階隨機占優(yōu)的最優(yōu)投資組合選擇模型。此外，Roman等[9]將他們的方法擴展到增強型指數(shù)投資組合的選擇中。但是，SSD只考慮了投資組合的概率分布，而MCSD不僅考慮了投資組合，也考慮了每一只資產(chǎn)的概率分布。也就是說，一旦投資者面臨新的投資選擇，他們只需要考慮是否將這個新的資產(chǎn)加入到投資組合中，或者考慮是否剔除已有投資組合中的某只資產(chǎn)，而不變動整個核心投資組合。關(guān)于該理論的具體描述可在已有相關(guān)研究[10-12]中找到。

對邊際條件隨機占優(yōu)的測量實際上相當(dāng)于對一項資產(chǎn)相對于另一項資產(chǎn)的完全概率分布的測量，若比較兩個市場的MCSD關(guān)系，則需要對所有概率分布進行兩兩比較，因此實施起來比較困難?；诖?，Shalit等[4]提出可以對單個資產(chǎn)與市場組合進行MCSD比較。其基本思想是，如果市場組合占優(yōu)于某項成份資產(chǎn)，則減少對該項資產(chǎn)的持有，同時增加其他資產(chǎn)的持有可以改進投資績效;相反，若某項成份資產(chǎn)戰(zhàn)勝市場組合，則增加該項資產(chǎn)的持有同時減少其他資產(chǎn)的持有同樣能夠達到改進投資績效的結(jié)果。為了便于統(tǒng)計計量，Chow[6]給出了MCSD的統(tǒng)計檢驗。

從上述規(guī)則可以看出，資產(chǎn)依據(jù)投資組合的分布條件性地進行了排序。基于此，可以很容易地將其擴展到增強型指數(shù)投資組合的構(gòu)建中。我們將基準(zhǔn)指數(shù)作為核心投資組合，那么候選投資組合可以看作是核心組合的一個邊際組成部分，從而可以檢驗投資組合是否比基準(zhǔn)指數(shù)表現(xiàn)更好（或表現(xiàn)更糟）。

三、問題描述與模型定義

Chow[6]統(tǒng)計量可以直觀地告訴我們對于一個風(fēng)險規(guī)避的投資者，某個投資組合的收益分布是否能夠占優(yōu)整個市場組合。如果將MCSD規(guī)則引入指數(shù)化投資組合，我們需要以下兩個步驟：（1）找到占優(yōu)于基準(zhǔn)指數(shù)的MCSD效率集，在該集合中的投資組合均占優(yōu)于基準(zhǔn)指數(shù);（2）在MCSD效率集中找到占優(yōu)該集合中所有其他投資組合的那個投資組合，則該投資組合為最優(yōu)的投資組合。但是，這在計算上卻存在很大的困難。首先，步驟（1）要求我們在所有可能的投資組合中將其與基準(zhǔn)指數(shù)進行兩兩比較;其次，步驟（2）要求在所有的MCSD有效的投資組合中進行兩兩比較。相較于SSD，MCSD的最大優(yōu)勢在于其簡化了SSD中要求的無限次的比較，因此我們需要發(fā)揮它的這個特點。

為了避免在其中需要無限次地進行投資組合績效的兩兩比較，本研究提出了“占優(yōu)程度”的評價方法。因此，步驟（2）轉(zhuǎn)化為在MCSD效率集中尋找擁有最高占優(yōu)程度的投資組合。

根據(jù)Chow[6]檢驗法，指數(shù)收益Rt會按照升序排列并分成十個分位數(shù)。這十個分位數(shù)則作為累計概率P，為每一個MCSD關(guān)系測試得到10個統(tǒng)計量。令τt=F-1R（P），則每一個分位數(shù)的指數(shù)收益為τt。在前述MCSD規(guī)則加入指數(shù)投資組合的兩個步驟中，步驟（1）對于最優(yōu)模型的選擇來說是一個強制性條件，因此在本研究的模型中處理為約束條件。根據(jù)Chow[6]對MCSD的統(tǒng)計檢驗方法，一個投資組合是占優(yōu)投資組合必須滿足下列約束：

其中，2.81是查表得到的在5%的顯著性水平下，自由度為∞，系數(shù)為10的SMM漸進臨界值，可在Stoline等[13]的研究中獲得。

式（3）等同于這樣的規(guī)則：“如果存在正顯著的Zτt，同時沒有Zτt小于2.81，那么這個投資組合占優(yōu)于基準(zhǔn)指數(shù)”[6]。步驟（2）考慮了“占優(yōu)程度”。根據(jù)隨機占優(yōu)理論，占優(yōu)意味著如果選擇這個投資組合，那么投資者的效應(yīng)將有所提高。因此，占優(yōu)需要在投資組合中間進行兩兩比較。而由于沒有普遍接受的基準(zhǔn)，占優(yōu)程度無從度量。但在MCSD中，我們可以度量這一指標(biāo)，因為我們將投資組合以其基準(zhǔn)指數(shù)的收益條件性地進行了排序。

式（4）是考慮了MCSD規(guī)則的目標(biāo)函數(shù)。顯然，當(dāng)τt為第十分位數(shù)的數(shù)值時，τt將等于ER。由于考慮了收益的整體分布，MCSD規(guī)則為優(yōu)化模型提供了更多的信息。

（二）模型定義

除了上述目標(biāo)函數(shù)（4），基于MCSD的增強型指數(shù)投資模型中所包含的其他目標(biāo)函數(shù)和約束條件還有：

其中，式（5）和（6）是收益風(fēng)險優(yōu)化下的目標(biāo)函數(shù)。式（5）是投資組合的風(fēng)險，在指數(shù)化投資中稱為跟蹤誤差。這里我們使用了非對稱的度量，即只最小化下方偏差，使其更適合增強型指數(shù)投資組合的要求。1/T表示每一個時間段對風(fēng)險函數(shù)的影響是一致的。式（6）是收益函數(shù)，測量了投資組合的收益超過基準(zhǔn)指數(shù)收益的程度。

式（7）到式（12）是模型的約束條件。其中，式（7）表示市場不允許賣空。在某些市場中，單只股票在投資組合中的權(quán)重有所限制。因此，我們使用ε和δ代表股票在投資組合中的投資下限和上限。式（9）表明我們的模型是一個自融資戰(zhàn)略，即在整個投資周期沒有現(xiàn)金的流入和流出。這里q0i代表初始投資組合中股票i（i=1，…，N）的數(shù)量。式（10）是交易成本約束。我們的模型假設(shè)交易成本的融資來自于獨立于投資組合的賬戶。交易成本定義為η∑Ni=1pTi|qi-q0i|。式（11）和（12）是基于MCSD規(guī)則加入的兩個約束條件。

四、算法設(shè)計

本文使用多目標(biāo)免疫算法來求解上述優(yōu)化模型。由于引入MCSD規(guī)則，使得模型在計算難度上有所增加，因此我們采取以下方法對模型進行轉(zhuǎn)換。

（一）模型轉(zhuǎn)換

在我們的模型中，MCSD規(guī)則包括一個目標(biāo)函數(shù)和兩個約束。其中，約束（11）和（12）與MCSD統(tǒng)計量（即Zτt值）的排序有關(guān)。而在現(xiàn)有相關(guān)研究[2，14]中提出的初始化過程和可行性排序技術(shù)都難以處理它們。因此，我們把這兩個約束條件轉(zhuǎn)化成如下兩個目標(biāo)函數(shù)：

轉(zhuǎn)化后的模型并不是原始方程的等價方程，但是，我們認為這樣的轉(zhuǎn)化有如下幾個優(yōu)勢：

（1）該模型更容易計算。這種轉(zhuǎn)換使我們的模型與我們之前文章提出的模型具有相同數(shù)量的約束條件，這意味著可以使用此前研究中提出的一系列方法來處理約束條件，從而為該模型開發(fā)出一個合理的優(yōu)化算法。

（2）對“占優(yōu)程度”的定義是一個補充。正如論文第二部分描述的，我們將“占優(yōu)程度”定義為Zτt的平均值。在統(tǒng)計理論中，平均值是中心趨勢的度量。通過最大化Zτt的最大值與最小值，分散趨勢也得到了控制。因此，我們的模型是在MCSD統(tǒng)計量Zτt的極值和均值中尋找擁有最大值的投資組合。

（3）簡化了算法的復(fù)雜程度。通過上述轉(zhuǎn)換，我們的模型不再需要對Z統(tǒng)計量進行顯著性檢驗，因此在一定程度上簡化了算法的復(fù)雜程度。（二）抗體和適應(yīng)度函數(shù)

為了進一步顯示本文模型的優(yōu)越性，我們將模型的測試結(jié)果與已有研究進行了對比。這些已有研究均采用了與本研究相同的數(shù)據(jù)集，包括Canakgoz等[17]與Li等[14，2]的研究。其中，Canakgoz等[17]使用回歸模型對結(jié)果進行了改變。為了使結(jié)果具有可比性，我們參考Canakgoz等[17]的做法，在樣本外區(qū)間將投資組合的收益與其基準(zhǔn)指數(shù)的收益進行了回歸。而其他兩個研究直接使用了與本文相同定義的跟蹤誤差和超額收益進行模型績效的評判，因此我們將本文模型的樣本外績效與其進行了直接的對比。如表2所示，最小二乘回歸參數(shù)α代表了投資組合的投資收益戰(zhàn)勝基準(zhǔn)指數(shù)的程度，α越大代表投資組合的績效相對其基準(zhǔn)指數(shù)越好。同時，如果投資組合完美復(fù)制了基準(zhǔn)指數(shù)，那么α=0同時回歸系數(shù)β=1。從表2可以看出，我們模型的α值均大于Canakgoz等[17]的結(jié)果，而模型的β值部分優(yōu)于Canakgoz等[17]的結(jié)果。因此，我們可以認為，基于MCSD的投資組合的收益增強效果更好。

表3給出了我們的模型與其他兩篇文獻研究的結(jié)果比較。從中可見，在20個結(jié)果中，

我們的模型有14個結(jié)果優(yōu)于Li等[14]的超額收益ER，有11個結(jié)果優(yōu)于Li等[2]的超額收益ER。對三組超額收益與跟蹤誤差之比ER/TE分別進行兩兩T檢驗，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，我們模型的超額收益與跟蹤誤差之比ER/TE與Li等[14]的超額收益與跟蹤誤差之比ER/TE之間沒有顯著差異（P值=0.215），但與Li等[2]的結(jié)果有顯著差異（P值=0.006），我們的超額收益與跟蹤誤差之比ER/TE顯著小于Li等[2]的結(jié)果。這說明我們的模型雖然增大了投資組合的超額收益，但是也相應(yīng)增大了投資組合的跟蹤誤差。

為了更直觀地展示本文的結(jié)果，我們給出了λ=0.0025時的模型效果（見圖2）。由于篇幅所限，我們只展示了DAX100、FTSE100、S&P 500和Russell 2000四個數(shù)據(jù)集的結(jié)果。圖2給出了在樣本外區(qū)間內(nèi)我們的模型及其相應(yīng)的基準(zhǔn)指數(shù)的走勢。由于初始投資組合的價值設(shè)定與基準(zhǔn)指數(shù)的價值相差較大，因此我們調(diào)整了投資組合的價值以使其與基準(zhǔn)指數(shù)具有可比性。從中可以看出，基于MCSD的投資組合與基準(zhǔn)指數(shù)具有相似的變化趨勢，但基于MCSD的投資組合在樣本外區(qū)間持續(xù)地戰(zhàn)勝了基準(zhǔn)指數(shù)的績效。

六、結(jié)論

本文基于邊際條件隨機占優(yōu)法則（MCSD）提出了增強型指數(shù)投資組合的模型及其優(yōu)化算法。該模型建立在均值方差優(yōu)化的框架內(nèi)，但是結(jié)合了以MCSD為基礎(chǔ)的約束條件和目標(biāo)函數(shù)。其中，約束條件定義為MCSD效率，目標(biāo)函數(shù)定義為MCSD統(tǒng)計量的均值優(yōu)于基準(zhǔn)指數(shù)的程度，即占優(yōu)程度。因此，該模型一方面具備了MV模型的優(yōu)點，如計算的便利性和直觀性，另一方面，新加入的MCSD規(guī)則能夠在優(yōu)化過程中解決重要信息的遺漏問題。本文使用了一個多目標(biāo)免疫進化算法對模型進行了求解，并使用了8個來自世界主要市場的指數(shù)及其成分股的歷史數(shù)據(jù)對模型和算法進行了實證測算。結(jié)果表明，本文提出的模型和算法在邏輯上具有合理性，同時，MCSD規(guī)則的加入顯著地提高了投資組合的投資績效。與已有相關(guān)研究的結(jié)果相比，本文提出的模型在結(jié)果上也有一定的優(yōu)越性。本文對隨機占優(yōu)規(guī)則加入投資組合的構(gòu)建進行了一個初步的嘗試，如何系統(tǒng)地將各種隨機占優(yōu)規(guī)則加入到投資組合模型的構(gòu)建中，同時考慮多階段的投資過程，將是今后的一個研究方向。

參考文獻：

[1] Alexander C， Dimitriu A. Indexing and statistical arbitrage [J]. Journal of Portfolio Management， 2005， 31（2）： 50-63.

[2] Li Qian， Bao Liang. Enhanced index tracking with multiple time-scale analysis [J]. Economic Modelling， 2014， 39： 282-292.

[3] Lo A W. Three Ps of total risk management [J]. Financial Analysts Journal， 1999， 55（1）： 13-26.

[4] Shalit H S， YitzhakiS. Marginal conditional stochastic dominance [J]. Management Science， 1994， 40（5）： 670-684.

[5] Belghitar Y， Clark E， Kassimatis K. The prudential effect of strategic institutional ownership on stock performance [J]. International Review of Financial Analysis， 2011， 20（4）： 191-199.

[6] Chow K V. Marginal conditional stochastic dominance， statistical inference， and measuring portfolio performance [J]. Journal of Financial Research， 2001， 24（2）： 289-307.

[7] Roman D， Darby-Dowman K， Mitra G. Portfolio construction based on stochastic dominance and target return distributions [J]. Mathematical Programming， Series B， 2006， 8（2/3）： 541-569.

[8] Fabian C I， Mitra G， Roman D， et al. An enhanced model for portfolio choice with SSD criteria： a constructive approach [J]. Quantitative Finance， 2011， 11（10）： 1525-1534.

[9] Roman D， Mitra G， Zverovich V. Enhanced indexation based on second-order stochastic dominance [J]. European Journal of Operational Research. 2013， 228（1）： 273-281.

[10] 李倩， 張婧， 孫林巖， 等. 基于中國A股上市公司規(guī)模的投資方式的MCSD有效性檢驗 [J]. 系統(tǒng)工程， 2008（8）： 56-64.

[11] 李倩， 孫林巖， 張婧， 等. 中國A股市場價值成長效應(yīng)的邊際條件隨機占優(yōu)分析 [J]. 管理學(xué)報， 2010（3）： 423-427.

[12] 李倩. 上市公司的盈利信息能指導(dǎo)股票投資決策嗎？——一個邊際條件隨機占優(yōu)分析 [J]. 當(dāng)代經(jīng)濟科學(xué)， 2013（3）： 115-123.

[13] Stoline M R， Ury H K. Tables of the studentized maximum modulus distribution and an application to multiple comparisons among means [J]. Technometrics， 1979， 21（1）： 87-93.

[14] Li Qian， Sun Linyan， Bao Liang. Enhanced index tracking based on multi-objective immune algorithm [J]. Expert Systems with Applications， 2011， 38（5）： 6101-6106.

[15] Gong Maoguo， Jiao Licheng， Du Haifeng， et al. Multiobjective immune algorithm with nondominated neighbor-based selection [J]. Evolutionary Computation， 2008， 16（2）： 225-255.

[16] Beasley J E， Meade N， Chang T J. An evolutionary heuristic for the index tracking problem [J]. European Journal of Operational Research， 2003， 148（3）： 621-643.

[17] Canakgoz N A， Beasley J E. Mixed-integer programming approaches for index tracking and enhanced indexation [J]. European Journal of Operational Research， 2009， 196： 384-399.

責(zé)任編輯、校對： 鄭雅妮