淺談如何培養(yǎng)初中生的數(shù)學(xué)思維能力

毛行永

“數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操?！彼^數(shù)學(xué)思維，就是根據(jù)一般的思維規(guī)律來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性及其內(nèi)在規(guī)律（例如空間形態(tài)、結(jié)構(gòu)關(guān)系、數(shù)量關(guān)系）的理性活動(dòng)。新課程標(biāo)準(zhǔn)指出數(shù)學(xué)課程的基本出發(fā)點(diǎn)，即義務(wù)教育階段是促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展的階段，它要考慮數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)，遵循數(shù)學(xué)的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性和內(nèi)在規(guī)律，逐步掌握并學(xué)會(huì)應(yīng)用。然而，長(zhǎng)期以來(lái)，學(xué)習(xí)方法的缺乏，目標(biāo)的判定不當(dāng)，以及在思維慣性問(wèn)題上遇到的困難嚴(yán)重制約了學(xué)生的有效思維并阻礙了學(xué)生在數(shù)學(xué)中思考。

為了解決這些問(wèn)題，我提出了以下看法。

一、調(diào)動(dòng)數(shù)學(xué)思維能力

1.合理設(shè)置學(xué)習(xí)目標(biāo)，激發(fā)學(xué)生積極性

要建立符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的學(xué)習(xí)目標(biāo)，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)條件，建立良好的師生關(guān)系，使學(xué)生放松積極地參與課堂教學(xué)。在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境時(shí)，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生的思維方向。提出的問(wèn)題應(yīng)該是簡(jiǎn)單且具有層次性和針對(duì)性的，善于啟發(fā)學(xué)生的思維，但又不超過(guò)學(xué)生的認(rèn)知水平。教師在教學(xué)中要主動(dòng)指出學(xué)習(xí)的中心目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問(wèn)題。例如我在教學(xué)“數(shù)軸”時(shí)，設(shè)計(jì)了如下程序：

例：數(shù)軸上表示整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為整點(diǎn)，某數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是1厘米，若在這個(gè)數(shù)軸上任意畫(huà)一條長(zhǎng)為2009厘米的線(xiàn)段AB，則線(xiàn)段AB蓋住的整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是多少？

分析：本題中計(jì)數(shù)方法是易錯(cuò)點(diǎn)。這道題應(yīng)從分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法中體會(huì)。

點(diǎn)撥：考慮線(xiàn)段AB的端點(diǎn)是否與整數(shù)點(diǎn)重合？

解：（1）若線(xiàn)段AB的端點(diǎn)與整數(shù)點(diǎn)重合，且數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是1厘米，則線(xiàn)段AB蓋住2010個(gè)整點(diǎn);（2）若線(xiàn)段AB的端點(diǎn)不與整數(shù)點(diǎn)重合，且數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是1厘米，則線(xiàn)段AB蓋住2009個(gè)整點(diǎn);綜上，應(yīng)是2009或2010.

通過(guò)這個(gè)問(wèn)題的定向解決，大多數(shù)學(xué)生能夠掌握數(shù)軸的特點(diǎn)，接受良好的思維訓(xùn)練。又如：a取什么值時(shí)，關(guān)于x的方程a（a-2）x=4（a-2），1.有唯一的解？2.無(wú)解？3.有無(wú)數(shù)多解？4.是正數(shù)解？

分析：考慮未知的系數(shù)a是否為0.

思想方法：從一元一次方程ax=b的解的情況出發(fā)考慮：

解：1.當(dāng)a不等于0且a不等于2時(shí)，方程有唯一的解，x=4/a

2.當(dāng)a=0時(shí)，原方程0x=-8，無(wú)解

3.當(dāng)a=2時(shí)，原方程0x=0，有無(wú)數(shù)多解

4.由1可知當(dāng)a不等于0且a不等于2時(shí)，方程有唯一的解，x=4/a，所以只要a與4同號(hào)，即當(dāng)a>0且a不等于2時(shí)，方程的解是正數(shù)。

含參數(shù)方程必須對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論。

除了定向思維訓(xùn)練外，我更注重加強(qiáng)學(xué)生逆向思維、橫向思維、垂直思維、多向思維訓(xùn)練。應(yīng)用教學(xué)大綱是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的有效途徑，培養(yǎng)學(xué)生從不同角度思考，根據(jù)實(shí)際情況提出可以解決的問(wèn)題。漸進(jìn)式學(xué)生綜合解決方案，從一種方法到多種解決方案，體現(xiàn)了思維訓(xùn)練的漸進(jìn)性。在老師的指導(dǎo)下，學(xué)生會(huì)逐漸學(xué)會(huì)思考，這種思維訓(xùn)練無(wú)疑可以幫助學(xué)生培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。

2.開(kāi)展豐富課堂活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生思維能力

開(kāi)展內(nèi)容豐富、開(kāi)放的課堂活動(dòng)，可以使學(xué)生發(fā)揮個(gè)性，積極專(zhuān)注地思考，帶動(dòng)課堂氛圍，從而有效地激發(fā)學(xué)生的思維潛能，長(zhǎng)此以往，學(xué)生在逐漸愛(ài)上這種開(kāi)放熱烈的課堂的同時(shí)，也會(huì)形成良好的思考習(xí)慣。老師在教學(xué)中應(yīng)逐步向?qū)W生傳授觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括等思維方法。例如，我在教授平面直角坐標(biāo)系時(shí)設(shè)計(jì)了一個(gè)這樣的活動(dòng)：

例：若點(diǎn)p在第四象限，且點(diǎn)p到x軸、y軸的距離分別為4，3.則點(diǎn)p的坐標(biāo)為（? ?）。分析：（1）想象出第四象限為（+、-）。（2）距離都為正。（3）點(diǎn)p到x軸距離為4，即縱坐標(biāo)為-4，點(diǎn)p到y(tǒng)軸距離為3，即橫坐標(biāo)為+3.所以p（3、-4）。

這樣的教學(xué)活動(dòng)不僅讓學(xué)生認(rèn)識(shí)平面直角坐標(biāo)系中的計(jì)算方法，更深刻地理解了點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的關(guān)系。當(dāng)然，在課堂教學(xué)活動(dòng)中，沒(méi)有固定的培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的模式。應(yīng)該綜合分析學(xué)生的年齡特征、知識(shí)水平和學(xué)習(xí)內(nèi)容等現(xiàn)實(shí)情況再做選擇和調(diào)控，而不是按照設(shè)計(jì)的教學(xué)計(jì)劃進(jìn)行機(jī)械操作。教師應(yīng)始終關(guān)注學(xué)生的思維狀態(tài)，根據(jù)師生互動(dòng)中的反饋信息，自如地掌握學(xué)習(xí)過(guò)程，并調(diào)整學(xué)習(xí)方法。通過(guò)老師和學(xué)生的配合，學(xué)生既可以獲得知識(shí)，也可以獲得數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展。

3.設(shè)計(jì)靈活作業(yè)練習(xí)，鞏固學(xué)生數(shù)學(xué)思維

作業(yè)練習(xí)的目的是進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的思維能力，但學(xué)生通過(guò)有組織、分層、集約化的課堂學(xué)習(xí)感到疲倦，所以在設(shè)計(jì)作業(yè)時(shí)，我們是這樣做的：注意緩解學(xué)生思維的緊張。用合作練習(xí)代替學(xué)生冥想，實(shí)現(xiàn)多樣化的、靈活的、適用的、有趣的解決問(wèn)題環(huán)境。這不僅可以幫助學(xué)生鞏固知識(shí)，提高解決問(wèn)題的能力，而且可以訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的智力。作業(yè)設(shè)計(jì)應(yīng)具有針對(duì)性、層次性、綜合性和創(chuàng)造性，將教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生結(jié)合起來(lái)。在實(shí)踐中，對(duì)不同水平的學(xué)生要分層安排作業(yè)，實(shí)現(xiàn)“相同起點(diǎn)，不同終點(diǎn)，分層次達(dá)標(biāo)”的目標(biāo)。

二、啟發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，引導(dǎo)學(xué)生尋找規(guī)律

“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”，學(xué)與思是學(xué)習(xí)過(guò)程中缺一不可的法寶，要讓學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)、基本數(shù)學(xué)技能，也要讓學(xué)生總結(jié)必要的基本分析方法，使學(xué)生的思維活躍在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)學(xué)生正確的數(shù)學(xué)思維方式，教師應(yīng)該堅(jiān)持啟發(fā)式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

數(shù)學(xué)教育是對(duì)學(xué)生思考的啟發(fā)。在授課過(guò)程中，教師應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生遵守、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)和掌握規(guī)律。這是一種有效的學(xué)習(xí)方法，它克服了干擾，提高了學(xué)生的認(rèn)知能力，使思考水平的發(fā)展成為一個(gè)新的高度。概念和規(guī)則的形成過(guò)程是教育的重要環(huán)節(jié)，學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中不僅要知道做什么，還要知道為什么這么做。該形成過(guò)程既可以由教師指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行，也可以教師自己完成整個(gè)形成過(guò)程。

在數(shù)學(xué)的解決過(guò)程中，我們要多加注意。解決問(wèn)題的重點(diǎn)是學(xué)習(xí)發(fā)掘隱藏環(huán)境的能力和如何解決問(wèn)題的能力。分析可從條件到結(jié)論或從結(jié)論到條件。關(guān)于數(shù)學(xué)上的問(wèn)題，首先必須確定問(wèn)題的范圍，必須確定哪個(gè)概念、規(guī)則或者計(jì)算式參與其中。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)習(xí)運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)。這樣思維才會(huì)得到訓(xùn)練，思維能力才會(huì)得到提高。

培養(yǎng)學(xué)生的思維能力有多種方式，其中最根本的是調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，教師要善于啟發(fā)、引導(dǎo)、鼓勵(lì)學(xué)生，及時(shí)解決學(xué)生的疑問(wèn)，答疑解惑。學(xué)而不思、思而不學(xué)都不能達(dá)到學(xué)習(xí)目的，教師要讓學(xué)生把學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)樗伎?。?dāng)然，良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)不是一朝一夕形成的，但通過(guò)老師和學(xué)生的共同努力，在科學(xué)的教學(xué)方案下，持之以恒，一定會(huì)達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)。

編輯 郭小琴