裂隙延展性統(tǒng)計分布離散性對巖體塊體化程度REV的影響

夏 露，謝 娟，于青春

(中國地質(zhì)大學(xué)(北京)水資源與環(huán)境學(xué)院，北京 100083)

表征單元體(representative elementary volume,REV)是裂隙巖體中重要的概念。對巖體來說，表征單元體的存在是應(yīng)用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)方法對其進行研究的前提。正如只有當某巖體存在滲透表征單元體時，其滲透張量才有定義，才能夠?qū)⒍嗫捉橘|(zhì)方法用于這一巖體。

由于巖體表征單元體概念的基礎(chǔ)性，長期以來引起了眾多學(xué)者關(guān)注。不同學(xué)者從不同角度對巖體REV進行了討論。Bear從孔隙度的角度對巖體REV進行了研究[1]；Long[2]、Wang 等[3]從滲透張量的角度討論了表征單元體的存在性和尺度問題；張貴科等[4]從結(jié)構(gòu)面幾何參數(shù)和力學(xué)參數(shù)的角度以巖體內(nèi)所有結(jié)構(gòu)面在某截面上的投影面積之和與巖體體積的比值作為衡量巖體REV 尺度的指標；安玉華等[5]從巖體體積節(jié)理數(shù)收斂的角度來確定巖體的REV的大??；Xia等[6]提出了從巖體塊體化程度的角度確定巖體REV。

塊體化程度[7]是評價巖體完整性的一種指標，已有一些學(xué)者采用這一指標對巖體進行質(zhì)量分級[8-10]。裂隙巖體的塊體化程度指巖體中由裂隙圈閉形成的孤立塊體的總體積在巖體中所占體積百分比，文獻[6]從巖體塊體化程度的角度對巖體REV存在性進行了較系統(tǒng)的分析。作者在文獻[6]中，根據(jù)國際巖石力學(xué)學(xué)會的裂隙分級，針對7個延展性級別、11個間距級別建立了77種巖體結(jié)構(gòu)模型。并對這77種巖體進行了塊體識別，分別討論了這77種巖體結(jié)構(gòu)的塊體化程度隨著模型范圍變化的波動情況。由于所建立的巖體結(jié)構(gòu)模型是隨機的，對每種結(jié)構(gòu)的每個研究范圍進行了多次隨機實現(xiàn)。結(jié)果表明，對于所有的77種巖體，76種巖體的表征單元體的尺寸在2～20倍間距之間。然而在以往的研究中，作者簡化裂隙模型，假設(shè)所有裂隙相互平行且大小相同。而實際巖體中裂隙數(shù)量眾多，大小各異。塊體是由裂隙相互交切圈閉而形成的，其幾何特征自然受裂隙的幾何特征的影響。裂隙大小與產(chǎn)狀相結(jié)合影響巖石塊體數(shù)量和規(guī)模，進而影響巖體的穩(wěn)定性。因此，基于以往研究基礎(chǔ)，本文討論裂隙大小對形成塊體的作用，使建立的巖體裂隙模型相對于以往研究的更一般化，更實際化。在文獻[6]模型的基礎(chǔ)上，首先，保持裂隙位置、產(chǎn)狀、密度等其他參數(shù)不變，改變裂隙大小統(tǒng)計分布的方差；第二步，構(gòu)建裂隙延展性統(tǒng)計分布的離散程度不同的三維裂隙網(wǎng)絡(luò)模型；第三步，識別巖體中所有塊體及其幾何參數(shù)，繪制塊體化程度與模型范圍的關(guān)系圖；最后，對各種裂隙巖體的塊體化程度進行統(tǒng)計分析和定量計算，進而確定基于塊體化程度統(tǒng)計的REV 存在性及其大小。

為了得到規(guī)律性的認識，本文選取最常見的裂隙延展性統(tǒng)計分布形式：正態(tài)分布。用其標準差來表達裂隙大小離散程度，利用課題組自主研發(fā)的軟件General Block 軟件[11]建立裂隙網(wǎng)絡(luò)模型及塊體識別計算，對得到的結(jié)果進行統(tǒng)計分析，從塊體化程度這個角度，總結(jié)歸納裂隙延展性統(tǒng)計分布的離散程度對巖體REV的影響。

1 裂隙延展性統(tǒng)計分布

1.1 裂隙的三維形狀及大小

若要建立三維裂隙網(wǎng)絡(luò)模型，裂隙面在三維空間上的形狀和空間分布是一個無法回避的問題。實際巖體中的裂隙面會是非常復(fù)雜的形狀，即使是在很小的范圍內(nèi)所有的裂隙也極可能不是一個固定的形狀。在不同的研究中，裂隙曾被假設(shè)為圓形、橢圓形、任意多邊形等。一般來說，任意多邊形、橢圓形假設(shè)由于含有更多的參數(shù)，可以更符合實際地描述野外的實際裂隙，但一個模型含有的參數(shù)越多，對野外數(shù)據(jù)的要求則更高。像橢圓模型，在野外如何確定橢圓長短軸的方向和大小就是一個很大的困難。因此無論是理論還是實際工程應(yīng)用研究，目前絕大多數(shù)情況下都把裂隙看作是圓盤形，這樣描述裂隙的大小只需要一個參數(shù)，即它的直徑或半徑。因此，本文采用空間位置分布滿足均勻泊松過程的圓盤模型[12-13]，這種模型是目前最為流行的裂隙模型，是許多裂隙參數(shù)統(tǒng)計理論建立的基礎(chǔ)。這種情況下，裂隙面的延展性可以用圓盤的半徑進行描述。

1.2 裂隙延展性及其統(tǒng)計分布

裂隙的延展性是表征裂隙系統(tǒng)的一個重要幾何參數(shù)。文獻[14-17]中可見，裂隙直徑概率分布形式最常見的是服從正態(tài)分布(Normal分布)。如果隨機變量X的概率密度函數(shù)為：

(1)

則稱隨機變量X服從正態(tài)分布,記作X～N(μ,σ2),其中μ與σ是分布的參數(shù)，參數(shù)μ是隨機變量X的數(shù)學(xué)期望,參數(shù)σ是隨機變量X的標準差。若固定μ，改變值σ，由f(x)的最大值可知，σ越大，正態(tài)密度曲線越平坦；σ越小，正態(tài)密度曲線越陡峭。參數(shù)σ決定曲線的形狀(圖1)。本研究中，裂隙延展性統(tǒng)計分布的離散程度即由標準差(σ)來表征。

圖1 正態(tài)分布概率密度函數(shù)曲線Fig.1 Curves of the probability density function of normal distribution

2 裂隙巖體塊體化程度分析

2.1 裂隙網(wǎng)絡(luò)模型

文獻[6]中作者根據(jù)國際巖石力學(xué)會(1978)的巖體裂隙分級表，構(gòu)建77種不同長度(D)、不同間距(C)的裂隙網(wǎng)絡(luò)模型(表1)。由于計算量巨大，本文選取中間的模型即中等間距-中等延展性(MS1-MP1)模型(C=0.4 m，D=6.5 m)來進行詳細分析討論。模型的研究范圍為長、寬、高相同的立方體，選取從2倍裂隙間距一直取到20倍裂隙間距：0.8，1.6，2.4，3.2，4，4.8，5.6，6.4，7.2和8 m。

根據(jù)3σ原則[18]，隨機變量x幾乎落在區(qū)間[μ-3σ，μ+3σ]內(nèi)，概率為0.997 4(圖2)，而落在該區(qū)間以外的概率可以忽略不計。因裂隙直徑大于0，即μ-3σ>0，故本研究中對于每個模型范圍，裂隙延展性統(tǒng)計分布選取5個不同標準差(σ=0.1，0.25，0.5，0.75，1)條件下的正態(tài)分布。

表1 77種裂隙巖體的裂隙間距、延展性、三維密度表(D=延展性;C=間距)Table 1 Spacing,persistence and three-dimensional density(d3)of the fractures in the 77 fractured rock models(D=persistence;C=spacing)

由于所建立的巖體結(jié)構(gòu)模型是隨機的，本文首先對每種結(jié)構(gòu)的每個研究范圍先進行9次隨機實現(xiàn)，得到MS1-MP1裂隙巖體的塊體化程度和REV值大小。然后再對研究范圍為REV大小，即塊體化程度達到穩(wěn)定時，進行100次隨機實現(xiàn)，得到模型的塊體化程度。本文選取裂隙延展性統(tǒng)計分布為5個不同標準差條件下的正態(tài)分布，故文中共建立了1 005個裂隙模型，分別進行了塊體識別并計算其塊體化程度，歸納總結(jié)裂隙延展性統(tǒng)計分布的離散程度對巖體表征單元體的影響。

圖2 正態(tài)分布μ兩側(cè)σ、2σ、3σ之間的概率Fig.2 Probability of σ,2σ,3σ on both sides of the normal distribution μ

中等間距-中等延展性裂隙網(wǎng)絡(luò)模型具體參數(shù)如表2所示。圖3是MS1-MP1裂隙巖體模型(模型范圍：4 m×4 m×4 m)3種不同裂隙參數(shù)的三維裂隙網(wǎng)絡(luò)圖。圖3a是裂隙延展性統(tǒng)計分布為標準差(σ=0.1)條件下的正態(tài)分布；圖3b是裂隙延展性統(tǒng)計分布為標準差(σ=0.5)條件下的正態(tài)分布；圖3c是裂隙延展性統(tǒng)計分布為標準差(σ=1)條件下的正態(tài)分布。

表2 中等間距-中等延展性裂隙網(wǎng)絡(luò)模型參數(shù)表Table 2 Parameters for the discrete fracture network of the MS1-MP1 model

圖3 中等間距-中等延展性裂隙巖體模型(模型范圍：4 m×4 m×4 m)不同裂隙延展性統(tǒng)計分布離散程度的三維裂隙網(wǎng)絡(luò)圖Fig.3 3D fracture networks produced by different statistical distribution dispersions in the fracture size of the MS1-MP1 model(model dimensions:4 m×4 m×4 m)

對比設(shè)定的理想值與模擬值(表3)可發(fā)現(xiàn)，二者之間在裂隙半徑均值、標準差、數(shù)量等方面都十分接近，說明建立的模型比較合理。

表3 中等間距-中等延展性巖體模型裂隙半徑理想值與模擬值對比Table 3 Comparison between the theoretical and simulated of the fracture radius in the MS1-MP1 model

2.2 裂隙模型塊體化程度計算

作者自主開發(fā)的General Block軟件，它能夠在“有限延展裂隙、復(fù)雜開挖面形狀”條件下識別出所有塊體，并得到塊體的穩(wěn)定性和幾何參數(shù)，如塊體體積、塊體各頂點坐標等。用General Block 建立巖體模型，輸入裂隙幾何參數(shù)建立裂隙網(wǎng)絡(luò)模型，對裂隙巖體進行塊體識別及穩(wěn)定性計算可以得到相關(guān)結(jié)果。用General Block軟件建立中等間距-中等延展性裂隙巖體模型，并輸入各組裂隙的隨機參數(shù)(表3)，進行三維裂隙網(wǎng)絡(luò)模擬，并進一步進行塊體識別計算。計算結(jié)果可以得到相應(yīng)模擬的裂隙巖體中存在的所有塊體及其幾何參數(shù)。用塊體百分比[6]來確定各不同裂隙巖體的塊體化程度，進而來確定REV的大小。圖4是圖3中所示的3個模型的塊體發(fā)育情況，圖中的裂隙大小離散程度、間距及模型范圍與圖3相同。

圖4 不同裂隙延展性統(tǒng)計分布離散程度的中等間距-中等延展性裂隙巖體模型形成塊體情況(模型范圍：4 m×4 m×4 m)Fig.4 3D models of rock masses produced by different statistical distribution dispersions in the fracture size of the MS1-MP1 model(model dimensions:4 m×4 m×4 m)

3 裂隙大小離散性與REV的關(guān)系

3.1 裂隙大小離散性與巖體塊體化程度的關(guān)系

利用General Block軟件對中等間距-中等延展性模型中每個不同模型研究范圍下的塊體化程度進行計算統(tǒng)計分析。文獻[6]中作者已得出中等間距-中等延展性裂隙巖體模型在研究范圍達到10倍裂隙間距，巖體的塊體化程度趨于穩(wěn)定，即中等間距-中等延展性巖體模型的REV大小為4 m×4 m×4 m。由于所建立的巖體結(jié)構(gòu)模型是隨機的，為了得到裂隙大小離散性與巖體塊體化程度的關(guān)系，減少隨機性的影響，作者對此巖體模型研究范圍4 m×4 m×4 m，裂隙延展性統(tǒng)計分布為5個不同標準差(σ=0.1，0.25，0.5，0.75，1)的正態(tài)分布條件下的裂隙網(wǎng)絡(luò)模型，分別進行100次隨機實現(xiàn)，繪制裂隙巖體的塊體化程度隨裂隙延展性統(tǒng)計分布離散程度的波動情況(圖5)。圖中縱軸(B)代表巖體塊體化程度，即巖體中由裂隙圈閉形成的孤立塊體的總體積在巖體中所占體積百分比；橫軸(σ)表示裂隙大小的離散程度，即標準差(σ)，圖中的曲線表示的是100次隨機實現(xiàn)的平均值。由圖5可見，巖體的塊體化程度隨著裂隙延展性統(tǒng)計分布的離散程度增大而略有增加，其塊體化程度從85.31%增加到90.96%。即隨著裂隙延展性統(tǒng)計分布的離散程度變化，中等間距-中等延展性裂隙巖體模型的塊體化程度稍有變化，其模型巖體處于相對破碎狀態(tài)。這說明裂隙直徑平均值一定的情況下，如統(tǒng)計分布的離散程度變化，巖體模型的塊體化程度會略有上升，這方面有待于進一步詳細研究。

圖5 中等間距-中等延展性裂隙巖體(模型范圍：4 m×4 m× 4 m)B值與裂隙延展性統(tǒng)計分布離散程度(σ)的關(guān)系Fig.5 Relationships between B and statistical distribution dispersion in the fracture size(σ)of the MS1-MP1 model(model dimensions:4 m×4 m×4 m)

3.2 裂隙大小離散性與巖體REV值的關(guān)系

結(jié)合以上General Block軟件的計算結(jié)果和相關(guān)的塊體理論，繪制不同裂隙大小離散性條件下，巖體結(jié)構(gòu)的塊體化程度隨著模型范圍變化的波動圖(圖6)。圖中縱軸是巖體塊體化程度，橫軸表示一個無量綱長度，研究范圍長度L與裂隙間距C的比值。圖中的5條曲線分別表示5個不同離散程度的裂隙延展性統(tǒng)計分布下，裂隙巖體塊體化程度隨模型范圍的變化情況。如果把巖體模型的塊體程度波動趨于穩(wěn)定時的研究范圍的長度定義為表征單元體的大小，那么可以初步認為，中等間距-中等延展性裂隙巖體的表征單元體的大小在10倍間距時，裂隙巖體的塊體化程度達到穩(wěn)定，中間的模型即中等間距-中等延展性模型(C=0.4 m，D=6.5 m)，當裂隙直徑平均值一定的情況下，其統(tǒng)計分布的離散程度變化，不影響其REV值的大小，中等間距-中等延展性模型的REV大小為4 m×4 m×4 m。

圖6 中等間距-中等延展性裂隙巖體模型B值與模型范圍的關(guān)系(C=0.4 m，D=6.5 m)Fig.6 Relationships between B and the model domain size of the MS1-MP1 model(C=0.4 m,D=6.5 m)

4 結(jié)論

(1)裂隙大小不變的條件下，中等間距-中等延展性裂隙巖體的塊體化程度為85.31%。

(2)裂隙直徑服從正態(tài)分布的情況下，如果其平均值一定，巖體的塊體化程度隨著統(tǒng)計分布離散程度的增加略有上升。

(3)中等間距-中等延展性裂隙巖體的REV值與裂隙延展性統(tǒng)計分布的離散程度相關(guān)性不大，其巖體的REV值為10倍間距，即4 m×4 m×4 m。

(4)以上結(jié)論是關(guān)于裂隙大小離散性與REV的關(guān)系的基本認識，假設(shè)裂隙大小滿足正態(tài)分布。對于更復(fù)雜的分布形式仍有待于進一步研究。