基于核心素養(yǎng)背景下初中幾何最值問(wèn)題的解題方法

蔣 雁

(廣東省韶關(guān)市廣東北江實(shí)驗(yàn)學(xué)校 512000)

一、運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想―將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成基本的最短路徑模型

在運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想構(gòu)建最值問(wèn)題時(shí)，一般會(huì)用到平移變換、抽對(duì)稱變換以及旋轉(zhuǎn)變換.平移變換更多的是通過(guò)平移線段來(lái)構(gòu)造平行四邊形，借助對(duì)邊平行且相等來(lái)找到相對(duì)應(yīng)的最短線段，從而解決問(wèn)題求得最值.軸對(duì)稱變換更多的是利用垂線段最短來(lái)解決問(wèn)題，一般我們可以借助全等三角形、勾股定理以及相似三角形等來(lái)確定最值從而求出最小值.接下來(lái)我對(duì)旋轉(zhuǎn)變換作進(jìn)一步分析：

例如：已知P是銳角三角形ABC內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，且使PA+PB+PC最小，試確定點(diǎn)P的位置，并證明你的結(jié)論.

由于題干只有文字信息，而對(duì)于幾何圖形必須通過(guò)圖形信息去挖掘題目信息，因此，我們先根據(jù)題干信息作出如下解析圖:

首先畫(huà)出三角形ABC，接著以AC為三角形的一邊向外作等邊三角形ACB′，再以BC為三角形的一邊向外作等邊三角形BCA′.連接BB′以及AA′，此時(shí)BB′和AA′相交于一點(diǎn)P，而這一點(diǎn)P就是我們所要求的.

接下來(lái)證明PA+PB+PC=PD+PB+DB′是一個(gè)定值.由于△ACB′和△BCA′是等邊三角形，因此得出結(jié)論：CA′=CB，AC=B′C，∠ACA′=∠BCB′，因此△ACA′全等于△B′CB.又因?yàn)椤螧′BC=∠AA′C，所以得到∠BPA′=∠BCA′=60°，所以∠APB′=∠BPA′=60°.此時(shí)，在PB′上截取PD=AP，將AD、CP連接.由PD=AP，∠APB′=60°，得出△APD為等邊三角形.又由AP=AD，AC=AB′，∠DAB′=∠PAC，得到△PAC全等于△DAB′，于是得到結(jié)論線段CP=B′D.從而知道PA+PB+PC=PD+PB+DB′是一個(gè)定值 .

然后需要證明PA+PB+PC為最小值，在△ABC的內(nèi)部任意取一點(diǎn)M，如右圖所示，此點(diǎn)M和點(diǎn)P不相同，將MA、MB以及MC連接起來(lái)，此時(shí)構(gòu)成了△AMC，將△AMC以圖中的A點(diǎn)為中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到一個(gè)新的三角形AGB′.在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，我們不難得到AC=AB′，AM=AG，MC=GB′，此時(shí)可以得出△AGM是一個(gè)等邊三角形，由此推出MA=MG.由此，我們可以得到MA+MB+MC=MG+MB+B′G=BM+MG+GB′>BB′.綜上所述，我們分析出點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離之和最短.

在這道題目中，利用三角形AMC的旋轉(zhuǎn)變換將一組“Y”字型的線段巧妙地轉(zhuǎn)成了兩個(gè)定點(diǎn)之間的線段，再通過(guò)“兩點(diǎn)之間線段最短”這一理論基礎(chǔ)輕松地證明出P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離之和最短.在教學(xué)過(guò)程中，對(duì)于這類求最值的稍復(fù)雜題型，是需要作多條輔助線的，這對(duì)學(xué)生的能力要求就比較高.在做這一類題目時(shí)，首先教師應(yīng)引入一些簡(jiǎn)單圖形的輔助線作法，培養(yǎng)學(xué)生作輔助線的意識(shí)，同時(shí)也訓(xùn)練了學(xué)生的動(dòng)手能力.其次還應(yīng)該將作輔助線的題目進(jìn)行分類，讓學(xué)生在腦海里形成清晰的概念，以便拿到相應(yīng)的題作出相應(yīng)的圖，從而提高學(xué)生的解題效率.

二、運(yùn)用模型思想―建立方程、函數(shù)模型

在解決最值問(wèn)題時(shí)，還有一個(gè)常用的方法就是運(yùn)用模型思想，也就是建立模型，在建立模型時(shí)，我們通常會(huì)用到方程、函數(shù)等的思想，利用均值不等式的計(jì)算方法.

例如：已知△XYZ是一個(gè)等腰直角三角形，其中直角邊的邊長(zhǎng)是1，∠Z=90°.△XYZ的三個(gè)頂點(diǎn)分別在等腰三角形ABC的三邊上，其中∠C=90°，求△ABC直角邊長(zhǎng)的最大值.

此題只說(shuō)明了△XYZ的三個(gè)頂點(diǎn)分別在等腰三角形ABC的三邊上，并沒(méi)有說(shuō)明△XYZ的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)在△ABC的哪條邊上，所以此時(shí)的答案就不唯一了，我們需要進(jìn)行分類討論.

第二種情況：假如△XYZ的頂點(diǎn)Z在△ABC的直角邊上，在這里我們假設(shè)Z點(diǎn)在CA上，此時(shí)過(guò)點(diǎn)Y作YH⊥CA于點(diǎn)H，在這里令CX=x,CZ=y.我們可以知道以下三個(gè)條件：ZY=ZX，∠XZC=∠ZYH，∠YHZ=∠XCZ=90°，因此△ZYH全等于△XZC，那么HZ=CX=x,HY=CZ=y，從而進(jìn)一步可以得到△AHY是等腰直角三角形，于是得出AH=y.

總而言之，在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，核心素養(yǎng)的應(yīng)用與發(fā)展是學(xué)生發(fā)展的重要途徑之一.因此，教師在數(shù)學(xué)課堂中，必須圍繞核心素養(yǎng)來(lái)展開(kāi)自己的教學(xué)，在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)多設(shè)置情境教學(xué)來(lái)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、多設(shè)置操作環(huán)節(jié)訓(xùn)練學(xué)生的動(dòng)手能力等等，總之，一切的目的都是提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力以及綜合發(fā)展能力.