概率的特點與求解策略

王 暉

(安徽省靈璧縣黃灣中學 234213)

一、概率題的特點

1. 考查的類型

從近年來各地的中考試題來看，有關概率的試題主要考查的知識點：隨機事件，頻率與概率的關系，通過計算預測隨機事件的概率，以及概率的應用.

2. 試題特點

(1)概率試題的題量大致為1～2題，約占全卷的10%左右，試題難度多為容易題或中等題.

(2)概率試題的背景，大多貼近日常生活實際，讓人感到親切、真實，充分地體現(xiàn)了數(shù)學的人文教育精神.

(3)概率試題具有一定的應用性和趣味性，充分體現(xiàn)了在玩樂中學習數(shù)學知識這一理念.

二、考題類型舉例分析

1. 判斷事件的可能性

例1 4個紅球、3個白球、2個黑球放入一個不透明的袋子里，從中摸出8個球，恰好紅球、白球、黑球都能摸到，這件事情( ).

A. 可能發(fā)生 B. 不可能發(fā)生

C. 很可能發(fā)生 D. 必然發(fā)生

解析 因為三種球共有9個，而且沒有一種球有8個，也沒有2種球的和為8個，所以若摸出8個球，三種球都能摸到是必然事件.應選D.

例2 (2018沈陽)下列事件中，是必然事件的是( ).

A. 任意買一張電影票，座位號是2的倍數(shù)

B. 13人中至少有兩個人生肖相同

C. 車輛隨機到達一個路口，遇到紅燈

D. 明天一定會下雨

解析 座位號有奇數(shù)和偶數(shù)，故“任意買一張電影票，座位號是2的倍數(shù)”是隨機事件；一共12生肖，故“13人中至少有兩人生肖相同”是必然事件；車輛隨機到達一個路口，可能遇到紅燈，也可能遇到綠燈，還可能遇到黃燈，故C中的事件是隨機事件；明天可能下雨，也可能下雨，則選項D中的事件是隨機事件.故應選B.

例3 (2018襄陽)下列語句所描述的事件是隨機事件的是( ).

A. 任意畫一個四邊形，其內角和為180°

B. 經過任意兩點畫一條直線

C. 任意畫一個菱形，是中心對稱圖形

D. 過平面內任意三點畫一個圓

解析 任意一個四邊形的內角和都為360°，故選項A中的事件是不可能事件；兩點確定一條直線，故選項B中的事件是必然事件；菱形都是中心對稱圖形，故選項C中的事件是必然事件；即A、B、C中的事件都是確定事件.不在同一條直線上的三點確定一個圓，而在同一條直線上的三點無法確定一個圓，故選項D中的事件是隨機事件.所以應選D.

2. 研究頻率與概率的關系

概率被我們用來表示一個事件發(fā)生的可能性的大小，對事件可能性的大小的感覺通常來自觀察這個事件發(fā)生頻率，即該事件實際發(fā)生的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比值.但是在相同的條件下，在進行大量重復試驗后，事件出現(xiàn)的頻率會逐漸穩(wěn)定，穩(wěn)定后的頻率可以作為概率的估計值.

例4 為了調查宿州市今年有多少名考生參加中考，小聰從全市所有家庭中抽查了200個家庭，發(fā)現(xiàn)其中10個家庭有子女參加中考.

(1)本次抽查的200個家庭中，有子女參加中考的頻率是多少？

(2)如果你隨機調查一個家庭，估計家庭有子女參加中考的概率是多少？

(3)已知宿州市約有1.3×106個家庭，假設有子女參加中考的每個家庭中只有一名考生，請你估計今年全市有多少名考生參加中考？

3. 通過計算預測隨機事件發(fā)生的概率

(1) 通過計數(shù)計算概率

例5 若從一副撲克牌中取出的兩組牌，分別是黑桃1、2、3、4和方塊1、2、3、4、，將它們背面朝上，分別重新洗牌后，從兩組牌中各摸出一張，那么摸出的兩張牌的牌面的數(shù)字之和等于5的概率是多少？請你用列舉法(列表或畫樹狀圖)加以分析說明.

解析 可用列表法列出所有的可能得到的牌面數(shù)字之和：

黑桃1黑桃2黑桃3黑桃4方塊11+1=22+1=33+1=44+1=5方塊21+2=32+2=43+2=54+2=6方塊31+3=42+3=53+3=64+3=7方塊41+4=52+4=63+4=74+4=8

(2)通過長度、面積、體積公式求概率

例6 某商場進行有獎促銷活動，活動規(guī)則：購買500元商品就可以獲得一次轉盤的機會(轉盤分為5個扇形區(qū)域，分別是特獎彩電一臺，一等獎自行車一輛，二等獎圓珠筆一只，三等獎卡通畫一張及不獲獎)轉盤指針停在哪個獲獎區(qū)域就可以獲得該區(qū)域相應等級獎品一件.商場工作人員在制作轉盤時，將獲獎扇形區(qū)域圓心角分配如下表：

獎次特等獎一等獎二等獎三等獎圓心角1°10°30°90°

①獲得圓珠筆的概率是多少？

②如果不用轉盤，請設計一種等效實驗方案(要寫清楚替代工具和實驗細則).

②可采用“抓鬮”或“抽簽”的方法代替.規(guī)則如下：在一個不透明的箱子里放入360個除標號不同外，其它都一樣的乒乓球，其中一個標“特”，10個標“一”，30個標“二”，90個標“三”，其余的不標數(shù)字，摸出標有哪個獎次的乒乓球，則獲獎相應等次的獎品.

4.隨機事件概率的應用

了解事件發(fā)生的概率，有利于決策者對問題的解決作出合理的選擇.解決這類問題的一般方法是：從實際問題中抽象出概率的模型計算概率，然后根據(jù)概率的大小作出合理的決策.

例7 有一個拋兩面硬幣的游戲，規(guī)則是：若出現(xiàn)兩個正面，則甲贏；若出現(xiàn)一正一反，則乙贏；若出現(xiàn)兩個反面，則甲、乙都不贏.

(1)這個游戲是否公平？請說明理由.

(2)如果你認為這個游戲不公平，那么請你改變游戲規(guī)則，設計一個公平的游戲；如果你認為這個游戲公平，那么請你改變游戲規(guī)則，設計一個不公平的游戲.

(2)游戲規(guī)則一：若出現(xiàn)兩個相同面，則甲贏；若出現(xiàn)一正一反，則乙贏；

游戲規(guī)則二：若出現(xiàn)兩個正面，則甲贏；若出現(xiàn)兩個反面，則乙贏；若出現(xiàn)一正一反，則甲、乙都不贏.

例8 (2018黃岡)在-4,-2,1,2四個數(shù)中，隨機取兩個數(shù)分別作為函數(shù)y=ax2+bx+1中a,b的值，則該二次函數(shù)圖象恰好經過第一、二、四象限的概率為____.

點評 二次函數(shù)的圖象恰好經過第一、二、四象限需滿足：(1)開口向上；(2)與x軸有兩個交點；(3)與y軸交于正半軸；(4)對稱軸在y軸右側.