初中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)例研究

☉江蘇省張家港市錦豐初級(jí)中學(xué) 王 莉

隨著教育模式的改革及社會(huì)的不斷發(fā)展，培養(yǎng)人才的體制也在不斷進(jìn)行改革.因此在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師應(yīng)更注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想而不是注重應(yīng)試教育，以全面掌握教材知識(shí)為前提、以理解數(shù)學(xué)概念為基礎(chǔ)、以熟練并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)為目標(biāo)，全方位鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)重要的思想之一，代數(shù)與圖形的結(jié)合會(huì)使學(xué)生對知識(shí)點(diǎn)的理解更加清晰、明了，也會(huì)加深對知識(shí)的印象.數(shù)形結(jié)合不僅可以將抽象的代數(shù)知識(shí)轉(zhuǎn)化為圖形，更直觀地展示題目中已知條件的含義，還能將圖形信息轉(zhuǎn)換為代數(shù)求解，以便于分析圖形中線、角之間的關(guān)系.因此，教師在教學(xué)中應(yīng)多鍛煉學(xué)生的轉(zhuǎn)化思維思，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.

一、數(shù)形結(jié)合思想的意義

目前，數(shù)形結(jié)合思想已經(jīng)滲透進(jìn)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)方面，如勾股定理、方程、不等式、函數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)等知識(shí)點(diǎn)中都有所涉及，教師可以充分利用數(shù)與圖的靈活變換，將知識(shí)更好地展示給學(xué)生，并在此過程中活躍課堂氣氛，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維；也能提高學(xué)生的直觀想象能力，從而更加清晰、明了地分析幾何問題、函數(shù)問題等.因此數(shù)形結(jié)合思想作為初中數(shù)學(xué)的一種重要教學(xué)手段，需要廣泛應(yīng)用于各個(gè)教學(xué)內(nèi)容中.

二、如何應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)策略

如何在初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想一直是研究的重要課題，本文主要從三個(gè)方面入手.首先，從基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)時(shí)教師就要先導(dǎo)入此思想，讓學(xué)生從一開始就養(yǎng)成良好習(xí)慣，將數(shù)與形結(jié)合起來思考問題；然后根據(jù)教材的特點(diǎn)及以往的授課經(jīng)驗(yàn)，將初中數(shù)學(xué)內(nèi)容整合，將可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的模塊作為特殊的教學(xué)內(nèi)容展開教學(xué)；最后進(jìn)行鞏固升華，通過課堂練習(xí)及課后復(fù)習(xí)的方式結(jié)合實(shí)際生活將數(shù)形結(jié)合思想充分結(jié)合到初中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中.

（一）數(shù)形結(jié)合思想的導(dǎo)入

好的開始是成功的一半，數(shù)形結(jié)合如何導(dǎo)入到初中課堂是最關(guān)鍵環(huán)節(jié)，讓學(xué)生最開始就意識(shí)到可以應(yīng)用圖形表達(dá)數(shù)，讓很多抽象的數(shù)學(xué)定義可以直觀地應(yīng)用圖像來表達(dá).在講解正負(fù)數(shù)時(shí)，是最好的導(dǎo)入此思想的課程，首先講解什么是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)、0與正數(shù)之間的關(guān)系，以及負(fù)數(shù)之間大小的比較.如在比較負(fù)數(shù)大小時(shí)，學(xué)生因?yàn)檎龜?shù)的影響，很容易將兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)混淆，比較-4與-2時(shí)，自然的第一反應(yīng)是-4＞-2，但其實(shí)是錯(cuò)誤的.因此教師可以畫出數(shù)軸，講解數(shù)軸上數(shù)的特征，再進(jìn)行負(fù)數(shù)的教學(xué).

圖1

根據(jù)正數(shù)的規(guī)律可以得出，數(shù)軸上的數(shù)是從左到右依次遞增的，因此在比較負(fù)數(shù)大小時(shí)，絕對值越大的負(fù)數(shù)值越小，所以-4＜-2.教師應(yīng)用數(shù)軸就可以直觀地展示出數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，從而讓學(xué)生有了更清晰的認(rèn)知，也讓學(xué)生第一次接觸了數(shù)形結(jié)合思想，并體會(huì)到數(shù)學(xué)思想的重要性.

例1實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖2所示，化簡

圖2

由數(shù)軸上a、b的位置可以得到a＜0，b＞0，且a＜b.則

除此之外，坐標(biāo)軸講解時(shí)也要重點(diǎn)介紹其作用，不僅要讓學(xué)生熟悉象限、坐標(biāo)，更為以后各種函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)打下牢固的基礎(chǔ).

（二）數(shù)形結(jié)合思想的展開

數(shù)形結(jié)合可以應(yīng)用到多種情況中，教師要從不同類型展開講解，這樣學(xué)生在遇到類似的題型時(shí)可以快速想出數(shù)形結(jié)合的方法.

1.應(yīng)用數(shù)量關(guān)系求解面積

截長補(bǔ)短是解析幾何中常用的方法之一，這種方法同樣可以遷移到幾何圖形面積的求解中.可以先將不規(guī)則的幾何圖形劃分為規(guī)則的三角形、梯形、正方形，再依次求解其面積并求和；或者將較難求解的幾何圖形在方格中填成矩形或梯形，先求解大圖形的面積，再將補(bǔ)充的幾個(gè)圖形的面積減去即為所求.這種利用數(shù)量關(guān)系求解面積的方法是初中數(shù)學(xué)中求解幾何問題的基礎(chǔ)方法之一.

例2△AOB中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），求解△AOB的面積.

圖4

2.方程、不等式與函數(shù)中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

解決方程與函數(shù)最好的輔助工具就是圖像，圖像可以直觀、清晰地表示出函數(shù)的特征、性質(zhì)及兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系等.因此學(xué)生要鍛煉根據(jù)函數(shù)畫相應(yīng)圖像的能力，既能加快學(xué)習(xí)的效率，又能提高直觀想象能力.

例3用圖像法解某二元一次方程組時(shí)，在同一直角坐標(biāo)系中作出相應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)的圖像（如圖5所示），則所解的二元一次方程組是（ ）.

圖5

分析：根據(jù)圖像中兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)和兩條直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，可得兩直線的解析式.

例4 對于任意實(shí)數(shù)a，都滿足x2-5x+6＞a-1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

已知條件為x2-5x+6＞a-1，其中包含兩個(gè)未知函數(shù)，若應(yīng)用數(shù)量關(guān)系想求出a的取值范圍，肯定會(huì)包括x，因此就要轉(zhuǎn)換x2-5x+6＞a-1為y=x2-5x+6與y=a-1兩個(gè)函數(shù)的圖像，通過觀察圖像的位置特點(diǎn)，判斷y=x2-5x+6要始終在y=a-1這條直線的上方.所以只要求解出二次函數(shù)y=x2-5x+6的最小值，就可以求出a的范圍了.

在這一教學(xué)環(huán)節(jié)中，一定不要追求學(xué)生掌握知識(shí)的速度，而是要循序漸進(jìn)、潛移默化地一步步引導(dǎo)學(xué)生，將正確的思維方式慢慢吸收成為自己的知識(shí)體系，從而挖掘出這類題型中的數(shù)學(xué)思想.教師要不斷鼓勵(lì)學(xué)生，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)題目中的關(guān)鍵，進(jìn)而形成解題思路，這樣的過程有利于學(xué)生開拓?cái)?shù)學(xué)思維，提高學(xué)習(xí)效率.

（三）數(shù)形結(jié)合思想的鞏固與升華

在學(xué)生充分理解數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用之后，教師要帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行鞏固練習(xí)與升華.教師要引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際生活出發(fā)，將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用到實(shí)際問題中，如銷售類應(yīng)用題、概率與統(tǒng)計(jì)類問題及生活常識(shí)類問題等，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)對于生活的實(shí)際意義.

例5 某人從A地向B地打長途電話6分鐘，按通話時(shí)間收費(fèi)，3分鐘以內(nèi)收費(fèi)2.4元，此后每加1分鐘加收1元，則表示電話費(fèi)y（元）與通話時(shí)間（分）之間的關(guān)系的圖像正確的是（ ）.

例題答案：3分鐘以內(nèi)都是2.4元的話說明，前3分鐘的圖像是一條過點(diǎn)（0，2.4）且平行于x軸的直線，所以排除B、D；然后以后每分鐘加收1元，不到1分鐘也是1元，所以應(yīng)該是分段函數(shù)，并且后幾個(gè)分段函數(shù)是左開右閉，因此選擇C.

綜上所述，初中數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想對于學(xué)生理解數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)有著非常重大的作用.教師在課堂上要靈活應(yīng)用圖形與代數(shù)的轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生充分理解數(shù)量與圖形之間的聯(lián)系，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提高課堂效率，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.