構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)核心素養(yǎng)
——探究初中數(shù)學(xué)路徑最短問題的解決策略

☉山東省東營市實驗中學(xué) 于春梅

工作十余年，越來越感到，數(shù)學(xué)思維能力直接影響著人生更多方面的發(fā)展.有的學(xué)生會因為數(shù)學(xué)學(xué)不好，而狂報補習(xí)班，占用了大量休息和思考的時間；有的學(xué)生怎么學(xué)也學(xué)不會，選擇放棄；有的學(xué)生對數(shù)學(xué)有著極強的興趣，卻成績平平，難過不已.歸根結(jié)底，我覺得最重要的是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法和基本的思維模式，以及到最后形成的數(shù)學(xué)思維能力，這才是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最根本的東西.有這樣一句俗語：“進(jìn)考場，雙肩頂著腦袋，強大的腦袋才是致勝的法寶.”其中，強大的腦袋說白了就是強大的數(shù)學(xué)思維能力.基于此，我漸漸地摸索，嘗試各種教學(xué)方法，更加用心研究數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所需要的各類數(shù)學(xué)思想方法，為學(xué)生不同學(xué)習(xí)階段數(shù)學(xué)思維能力的養(yǎng)成和提升做足了工作，尤其是在初三學(xué)生升入高中之前，在數(shù)學(xué)的整體復(fù)習(xí)中，數(shù)學(xué)建模思想的滲透更顯得生龍活虎，為學(xué)生思維能力的提升注入了新鮮活力.以下是我在幫助學(xué)生進(jìn)行專題復(fù)習(xí)“路徑最短問題”時的幾個做法.

一、引領(lǐng)學(xué)生分清類型，滲透建模意識

作為數(shù)學(xué)教師，我們都清楚地知道，幾何知識的學(xué)習(xí)顯而易見承擔(dān)著對學(xué)生邏輯思維能力、推理論證能力、解決問題能力培養(yǎng)的任務(wù).因此，我更加用心地抓住每一次復(fù)習(xí)幾何的機會，借助幾何復(fù)習(xí)，幫助學(xué)生快速提升思維能力.我們知道，幾何問題的攻破，最重要的是方法，題目可以千變?nèi)f化，方法卻固若金湯，方法就是學(xué)生應(yīng)對千變?nèi)f化的法寶.因此，幫助學(xué)生歸納、總結(jié)方法，成為了學(xué)生整體思維提升最重要的途徑.于是我在“路徑最短問題”的教學(xué)中，做了以下幾項工作；

（一）厘清路徑最短問題的類型

通過厘清初中幾何中出現(xiàn)的這類知識，我和學(xué)生一起總結(jié)出初中幾何中一共有兩大類問題：一是兩點之間線段最短問題，二是點到直線之間垂線段最短的問題，基本圖形如圖1所示：

圖1

（二）厘清在幾何問題中呈現(xiàn)的方式

方式1：呈現(xiàn)在平面幾何問題中

例1如圖2，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含點B）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM.

（2）①當(dāng)點M在何處時，AM+CM的值最小？

②當(dāng)點M在何處時，AM+BM+CM的值最??？并說明理由.

圖2

圖3

例2如圖3，要在河邊修建一個水泵站，分別向張村、李莊送水，水泵站修在河邊什么地方可使所用的水管最短？

方式2：呈現(xiàn)在立體幾何問題中

例3如圖4，一只螞蟻沿著棱長為2的正方體表面從點A出發(fā)，經(jīng)過3個面爬到點B，如果它運動的路徑是最短的，則AC的長為______.

圖4

二、幫助學(xué)生針對類型，構(gòu)建數(shù)學(xué)建模能力

幫助學(xué)生厘清類型之后，開始逐個攻破，在攻破的過程中，滲透建模思想，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)建模的思維能力.

（一）不論是在平面上還是在立體中，直接使用“兩點之間，線段最短”

例1為平面中的直接使用“兩點之間線段最短”來解決的問題.

例1 第（2）問的①，是典型的直接求A、C兩點之間的距離，學(xué)生可以直接解決，而第（2）問的②經(jīng)過分析之后，學(xué)生的建模思想開始起作用，明確問題化歸為求E、C之間的距離，即兩點之間線段最短的實質(zhì)，自然呈現(xiàn)，因此學(xué)生的思維即可達(dá)到問題解決的途徑上來，只需要E、N、M、C四點共線，學(xué)生的認(rèn)知水平、思維能力也順次提升.

例3 為立體幾何中的直接使用“兩點之間線段最短”來解決的問題.

例4景泰藍(lán)廠的工人師傅要給一個圓柱型的制品嵌金線，如圖5，圓柱體高為6cm，底面圓周長為8cm，如果將金線的起點固定在點A，繞一周之后終點為點B，則金線的用量最少為______.

例5如圖6，圓錐的母線長是3，底面半徑是1，A是底面圓周上一點，從點A出發(fā)繞側(cè)面一周，再回到點A的最短的路線長是（ ）.

D.3

圖5

圖6

在立體幾何中，這些例子非常具有代表性，這些問題的解決，不僅僅讓學(xué)生學(xué)會了借助轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化成平面幾何問題，又滲透了數(shù)學(xué)建模思想，逐漸讓學(xué)生建立起數(shù)學(xué)建模思維方式.

（二）不論是在平面上還是在立體中，間接使用“兩點之間，線段最短”和“點到直線之間，垂線段最短”來解決問題

例2 是最常見的距離和最短問題.

所有這類例子，學(xué)生都經(jīng)過了運用軸對稱的知識，將其中的一條線段，通過對稱，順利達(dá)成了兩條線段在一條直線上的目的，實現(xiàn)了兩點之間線段最短的本質(zhì)體現(xiàn)，從而解決了問題.這類題目，我們簡稱為“距離和最短問題”，其本質(zhì)是兩點之間線段最短，學(xué)生理解了本質(zhì)之后，就知道了具體做法的道理，因此，對這類題目的解決順理成章.這類題目更多地出現(xiàn)在幾何題目中，而且不斷發(fā)生著變化.

例6問題探究：

（1）如圖7，四邊形ABCD是正方形，AB=10cm，E為邊BC的中點，P為BD上一個動點，求PC+PE的最小值；

（2）如圖8，若四邊形ABCD是菱形，AB=10cm，∠ABC=45°，E為邊BC上一個動點，P為BD上一個動點，求PC+PE的最小值；

問題解決：

（3）如圖9，若四邊形ABCD是矩形，AB=10cm，BC=20cm，E為邊BC上一個動點，P為BD上一個動點，求PC+PE的最小值.

圖7

圖8

圖9

例6的探究與解決，讓學(xué)生通過實際的例子，感受到距離和最短問題模型的使用，同時在第（2）問中又進(jìn)一步結(jié)合“點到直線之間垂線段最短”的道理解決.最后一問，將知識進(jìn)一步融合，同時借助了其他的幾何推理知識解決了問題，拓展題目、變式題目讓學(xué)生不斷體會運用數(shù)學(xué)模型解決問題的辦法，不僅僅在方法上得到了提煉，思維能力也一并提升，達(dá)到了方法與思維雙贏的效果.

圖10

例7已知：直線y=x+1與y軸交于點A，與x軸交于點D，拋物線y=x2+bx+c與直線交于A、E兩點，與x軸交于B、C兩點，且點B的坐標(biāo)為（1，0）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）動點P在x軸上移動，當(dāng)△PAE是直角三角形且以P為直角頂點時，求點P的坐標(biāo)；

（3）在拋物線的對稱軸上找一點M，使|AM-MC|的值最大，并求出點M的坐標(biāo).

例7的探究與解決，讓學(xué)生充分體會知識之間的聯(lián)系，和“距離和最短問題”解法的遷移，達(dá)到思維的拓展，從而解決了“距離差最大的問題”，讓學(xué)生的思維能力進(jìn)一步融入學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法體系中.

例8如圖11，圓柱形容器中，高為1.2m，底面周長為1m，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為______m（容器厚度忽略不計）.

圖11

例8的探究與解決，讓學(xué)生充分體會從立體幾何轉(zhuǎn)化到平面幾何的過程，讓學(xué)生學(xué)會了如何借助平面幾何問題的解決辦法來解決立體幾何問題，其實最終是基本圖形發(fā)揮了作用，數(shù)學(xué)建模思想又一次得到體現(xiàn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思維能力又一次得到構(gòu)建，從而真正促進(jìn)了數(shù)學(xué)思維能力的提升.

老師不僅僅是傳道授業(yè)解惑者，更是學(xué)生成長過程中的指導(dǎo)者、引路者，在學(xué)生每一個需要我們的階段，我們都可以盡己所能幫助學(xué)生.對于今天乃至將來要在學(xué)業(yè)上有所成就的學(xué)生來說，思維能力的構(gòu)建是第一位的，我們幫助他們建立強大的思維能力義不容辭，因此需要我們潛心研究，用心琢磨，專心助力他們走向成功.今天這節(jié)關(guān)于“路徑最短”問題的探究和研究，讓我們努力將數(shù)學(xué)建模思想進(jìn)一步滲透，也努力幫助學(xué)生將數(shù)學(xué)建模思維構(gòu)建起來，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到了極大的提升和拓展，思維之花綻放得更加燦爛、絢麗.