初中數(shù)學(xué)一元一次方程應(yīng)用題解題研究

☉江蘇省如東縣河口鎮(zhèn)直夫初級(jí)中學(xué) 丁麗娟

在初中內(nèi)容體系中，方程是教學(xué)重點(diǎn)，結(jié)合現(xiàn)實(shí)問(wèn)題背景的方程應(yīng)用題可以培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.同時(shí)，這部分內(nèi)容也是教學(xué)難點(diǎn)，因?yàn)閱?wèn)題背景復(fù)雜，在變量設(shè)置等環(huán)節(jié)學(xué)生容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.如何幫助學(xué)生鞏固好方程思維與原理，靈活地解決相關(guān)的應(yīng)用題，這是廣大初中數(shù)學(xué)教師需要考慮的.新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，方程相關(guān)的應(yīng)用題，考查的是學(xué)生從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題背景中抽象出數(shù)學(xué)原理，再通過(guò)方程的思維方法去解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，強(qiáng)化理論應(yīng)用的能力.因此，在教學(xué)與訓(xùn)練過(guò)程中，教師的教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該是從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題背景中抽象出方程模型，而不是方程的求解，即聚焦于方程模型的構(gòu)建過(guò)程，以此促進(jìn)學(xué)生以方程原理為基礎(chǔ)，以問(wèn)題為導(dǎo)向，通過(guò)自主探究，強(qiáng)化學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)與探索的主動(dòng)性.

一、知識(shí)點(diǎn)銜接

應(yīng)用題并不是孤立的知識(shí)板塊，它是基于諸多基本數(shù)學(xué)內(nèi)容、方法，以解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)應(yīng)用，重要的特點(diǎn)是不同知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系與銜接.在教學(xué)過(guò)程中，銜接不僅體現(xiàn)在知識(shí)內(nèi)容層面的聯(lián)系性，還體現(xiàn)在思考問(wèn)題的方式、解決問(wèn)題的方法的銜接，通過(guò)這樣的教學(xué)過(guò)程強(qiáng)化學(xué)生思考問(wèn)題與解決實(shí)際問(wèn)題的系統(tǒng)性.

1.方程與代數(shù)式

應(yīng)用題最顯著的特征就是數(shù)學(xué)原理、方法與現(xiàn)實(shí)問(wèn)題背景的結(jié)合，而這些問(wèn)題背景的呈現(xiàn)形式多為文字描述，在解決這些問(wèn)題之前，需要學(xué)生從已知的表述中提取有用的數(shù)學(xué)信息，將文字轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，這一過(guò)程中就需要使用代數(shù)式來(lái)表示相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，這也是列方程式解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，只有找準(zhǔn)了各個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系，方程的羅列才是準(zhǔn)確的.在解決方程應(yīng)用題時(shí)，借助代數(shù)式將文字內(nèi)容轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言是最關(guān)鍵的一步，這也是解所有數(shù)學(xué)應(yīng)用題的重要步驟，是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、求解數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ).

2.方程與函數(shù)

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，方程與函數(shù)是緊密聯(lián)系的，在一些函數(shù)問(wèn)題的解決過(guò)程中，我們可以借助方程的思想方法.比如，在使用待定系數(shù)法求解函數(shù)的解析式時(shí)，就可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解方程組，進(jìn)而求解出相關(guān)的系數(shù).

3.一元、二元方程

方程問(wèn)題和其他內(nèi)容板塊有著密切的聯(lián)系，與此同時(shí)，不同形式的方程問(wèn)題之間也可以相互轉(zhuǎn)化.如果問(wèn)題中只含有一個(gè)未知數(shù)，那么就可以借助一個(gè)等量關(guān)系，構(gòu)建一元一次方程進(jìn)行求解；如果含有兩個(gè)未知數(shù)，那么相應(yīng)地就需要尋找兩個(gè)等量關(guān)系，構(gòu)建二元一次方程組來(lái)進(jìn)行求解.然而，在許多情況下，如果已知信息含有兩個(gè)，并不一定要采用二元一次方程組進(jìn)行求解，可以選取合適的未知數(shù)和等量關(guān)系列一元一次方程，借助代入消元的思想方法實(shí)現(xiàn)二元一次方程組向一元一次方程組的轉(zhuǎn)化.

二、案例解析

1.簡(jiǎn)單“和差倍分”問(wèn)題

案例1：某商品今年上半年的銷(xiāo)售數(shù)量為200萬(wàn)件，比去年同期的2倍少10萬(wàn)件，試求解去年上半年該商品的銷(xiāo)售數(shù)量.

分析：這道題比較簡(jiǎn)單，根據(jù)已知信息提供的兩個(gè)階段銷(xiāo)售量之間的數(shù)量關(guān)系，可以構(gòu)建一元一次方程進(jìn)行求解.

解：設(shè)去年上半年該商品的銷(xiāo)售數(shù)量為x萬(wàn)件.

2x-10=200.

2x=210.

x=105.

答：去年上半年該商品的銷(xiāo)售數(shù)量為105萬(wàn)件.

典型錯(cuò)誤：這是一道方程應(yīng)用題，但是有部分學(xué)生還是采用小學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)的算術(shù)方法，雖然也設(shè)了未知數(shù)，看起來(lái)是方程的形式，但是并沒(méi)有參與運(yùn)算.在這類(lèi)簡(jiǎn)單的問(wèn)題中，直接進(jìn)行算術(shù)計(jì)算和列方程求解區(qū)別不大，但是這是解決復(fù)雜問(wèn)題的基礎(chǔ)，只有培養(yǎng)好學(xué)生的方程思維方式與能力，在解決更復(fù)雜的應(yīng)用題時(shí)，才能應(yīng)用好方程方法.典型錯(cuò)誤如下：

解：設(shè)去年上半年該商品的銷(xiāo)售數(shù)量為x萬(wàn)件.

則x=(200+10)÷2.

x=105.

答：去年上半年該商品的銷(xiāo)售數(shù)量為105萬(wàn)件.

2.雙數(shù)量關(guān)系方程問(wèn)題

在部分應(yīng)用題中，存在兩個(gè)變量和數(shù)量關(guān)系.在學(xué)習(xí)二元一次方程之前，學(xué)生仍然可以通過(guò)一元一次方程的方法進(jìn)行求解.

案例2：如果買(mǎi)1本筆記本和1支鋼筆，總費(fèi)用為6元；如果買(mǎi)1本筆記本和4支鋼筆，總費(fèi)用為18元.試求解筆記本和鋼筆的單價(jià).

解：設(shè)鋼筆的單價(jià)為x元.

4x+(6-x)=18.

x=4.

6-x=2.

答：鋼筆的單價(jià)為4元，筆記本的單價(jià)為2元.

典型錯(cuò)誤：設(shè)筆記本的單價(jià)為x元.

x+4(18-x)=18.

在含有雙未知量和數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題中，學(xué)生最容易出現(xiàn)的一個(gè)問(wèn)題就是混淆各個(gè)量之間的關(guān)系.在上面的求解過(guò)程中，18-x代表的是4支鋼筆的價(jià)格，而不是1支，因此等式左邊所表示的是1本筆記本與16支鋼筆的價(jià)格，而等式右邊的“18”表示的是1本筆記本和4支鋼筆的價(jià)格.像這樣的錯(cuò)誤有很多，錯(cuò)誤形式也不一，錯(cuò)誤的本質(zhì)原因就是對(duì)題目中的數(shù)量關(guān)系理解錯(cuò)誤，使得方程等式兩邊所表征的含義不一致.

3.多數(shù)量關(guān)系方程問(wèn)題

案例3：假設(shè)有一時(shí)鐘，在三點(diǎn)和四點(diǎn)之間，時(shí)針和分針在什么時(shí)刻重合？

解析：本題并沒(méi)有給出明確的已知信息，等量關(guān)系不明顯.在分析之后，可以發(fā)現(xiàn)這道題可以采用追及問(wèn)題的思路進(jìn)行求解.通過(guò)類(lèi)比的思想方法，求解追及問(wèn)題，需要有“速度”，因此首先需要求解出時(shí)針和分針的運(yùn)行速度.由于是時(shí)針與分針的轉(zhuǎn)動(dòng)，因此轉(zhuǎn)動(dòng)的角度就是追擊問(wèn)題中的路程.假設(shè)3點(diǎn)為起始狀態(tài)，滿(mǎn)足時(shí)針在分針之“前”90度，本題即可轉(zhuǎn)化成經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度等于時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度加上90度.

解：設(shè)經(jīng)過(guò)x分鐘，時(shí)針與分針重合.

在時(shí)鐘上共有60個(gè)小刻度，分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)1格，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)格，可構(gòu)建方程：

典型錯(cuò)誤：設(shè)在x時(shí)，時(shí)針和分針重合.

6x+90=0.1x.

6x-0.1x=-90.

雖然本題的原理是追及問(wèn)題，但是在求解時(shí)針與分針的轉(zhuǎn)動(dòng)速度時(shí)，部分學(xué)生存在困難，這也是解決這道題的關(guān)鍵.另一方面，有學(xué)生分不清時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)角度的大小關(guān)系，從而列出錯(cuò)誤的等量關(guān)系，導(dǎo)致求解的結(jié)果為負(fù)數(shù).

三、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，在設(shè)計(jì)方程應(yīng)用題時(shí)，教師要以提升學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力、促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展為目標(biāo)，注重方程內(nèi)容與其他知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系，通過(guò)方程思維方法的訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)理論方法與生活實(shí)際相結(jié)合，發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法的實(shí)際效用，提升學(xué)生的知識(shí)遷移與應(yīng)用能力，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科思維與綜合能力素養(yǎng)的發(fā)展.