新北師大版和人教版初中數(shù)學(xué)教材“三角形”的比較研究
——以“解直角三角形”為例

☉甘肅省酒泉第四中學(xué) 馮德文

一、研究背景

義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)從1963年的《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》、2000年的《全日制義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（使用修訂版）》、2001年的《全日制義務(wù)教學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》到2011年的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版》，歷經(jīng)半個(gè)世紀(jì)，中學(xué)數(shù)學(xué)課程的標(biāo)準(zhǔn)隨著時(shí)代的變化在不斷改進(jìn)和完善，伴隨著數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的變化，產(chǎn)生了不同時(shí)代的數(shù)學(xué)教材，從剛開始的《代數(shù)》、《幾何》演化到現(xiàn)在的《數(shù)學(xué)》，由剛開始的黑白版本到現(xiàn)在的五彩斑斕、豐富多彩.數(shù)學(xué)教材在自身的發(fā)展過程中也為我國現(xiàn)代化建設(shè)提供了人才保障，同時(shí)為傳遞數(shù)學(xué)文化做出了巨大的貢獻(xiàn).數(shù)學(xué)教科書是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)現(xiàn)的載體，是師生進(jìn)行數(shù)學(xué)交流的直接素材，也是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的素材，它為學(xué)生自主學(xué)習(xí)提供了理論框架和線索，是教師實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的資料.

通過對(duì)國內(nèi)外有關(guān)教材研究的資料進(jìn)行分析，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教材的研究相當(dāng)豐富，國內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)教材從不同的方面應(yīng)用不同的研究方法進(jìn)行了全面、深入的研究，取得了豐碩的成果.國內(nèi)學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)教材的研究起步較晚，主要從20世紀(jì)80年代開始，經(jīng)過了半個(gè)世紀(jì)的時(shí)間，數(shù)學(xué)教材的研究在不斷跟進(jìn)，研究方法在不斷創(chuàng)新.但是從國內(nèi)外已有的研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)數(shù)學(xué)教材比較的研究在哲學(xué)基礎(chǔ)、理論框架和研究方法上還需要做大量的工作.

隨著義務(wù)教育階段初中數(shù)學(xué)課程改革的不斷深入，許多地方出現(xiàn)了不同的教學(xué)模式，出現(xiàn)了不同的高效課堂，如山東杜郎口中學(xué)的三三六模式，江蘇洋思中學(xué)的堂堂清、日日清、周周清.這些學(xué)校立足本校的實(shí)際情況，結(jié)合課程改革的步伐，提出了適合自己學(xué)校的教學(xué)模式，在全國課程改革中產(chǎn)生了重要的影響.同時(shí)各地出現(xiàn)了不同版本的數(shù)學(xué)教材，如人教版、北師大版、華東師大版、蘇教版、冀教版、青島版等，這些教材在編寫上各具特色，對(duì)于新的課程理念都有著自己不同的見解.甘肅省使用的主要是北師大版和人教版數(shù)學(xué)教材，我所在的地區(qū)酒泉市使用的主要是北師大版教材，作為一名中學(xué)數(shù)學(xué)老師，在教學(xué)中經(jīng)常對(duì)數(shù)學(xué)教材中的設(shè)計(jì)存在疑惑，經(jīng)常聽到許多教師說人教版初中數(shù)學(xué)教材比較好，我們?yōu)槭裁床皇褂萌私贪鏀?shù)學(xué)教材？帶著許多這樣的問題，我選擇了目前在全國使用比較廣泛的北京師范大學(xué)出版社和人民教育出版社出版的初中數(shù)學(xué)教材作為研究對(duì)象，針對(duì)“解直角三角形”中教材內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，習(xí)題、例題的綜合難度分析，希望通過對(duì)教材的比較研究，能夠?yàn)橐痪€教師更好地理解教材內(nèi)容，更好地把握課程標(biāo)準(zhǔn)提供幫助，同時(shí)為教材的編排提供建議和思路.

三角形發(fā)展的歷史悠久，在高度發(fā)達(dá)的古埃及和巴比倫，三角形的有關(guān)概念開始萌發(fā)，后期由于天文學(xué)的不斷發(fā)展，古希臘學(xué)者確立了三角形邊與角的關(guān)系，三角形得以快速發(fā)展.在我國，三角形的內(nèi)容主要是在明清時(shí)期學(xué)習(xí)西方數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)才傳入國內(nèi)，國內(nèi)學(xué)者發(fā)現(xiàn)三角形的相關(guān)知識(shí)在解決天文知識(shí)時(shí)非常有用，所以三角形在國內(nèi)才得到進(jìn)一步的發(fā)展.三角形是平面幾何的重要內(nèi)容，也是初中幾何中最重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，還是初、高中幾何銜接的重要內(nèi)容，三角形知識(shí)貫穿小學(xué)、初中和高中的知識(shí)體系，所涉及的幾何證明是進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他知識(shí)的基礎(chǔ)，對(duì)于培養(yǎng)初中生的合情推理和演繹推理能力具有重要的作用，所涉及的數(shù)學(xué)思想和方法，如數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程模型思想等，為今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

三角形不僅是初中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，同時(shí)是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，初中數(shù)學(xué)不僅要求學(xué)生具有合情推理的能力，同時(shí)在平面幾何的證明過程中，要求學(xué)生能夠完成嚴(yán)格的邏輯證明，這種演繹推理對(duì)初中生學(xué)習(xí)三角形內(nèi)容是一個(gè)挑戰(zhàn)，教材的這種設(shè)計(jì)也符合學(xué)生的認(rèn)知能力.初中生的年齡一般為12～15歲，這個(gè)時(shí)期，其思維發(fā)展到抽象邏輯推理水平.其思維形式擺脫思維內(nèi)容，形式運(yùn)算階段的兒童能夠擺脫現(xiàn)實(shí)的影響，關(guān)注假設(shè)的命題，可以對(duì)假言命題做出有邏輯的和富有創(chuàng)造性的反應(yīng).同時(shí)兒童可以進(jìn)行假設(shè)—演繹推理.但是在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在利用公理證明定理和推論方面存在困惑，對(duì)定理和推論的條件和結(jié)論的認(rèn)識(shí)和理解存在困惑，不能完整地寫出證明過程，證明過程邏輯混亂或者無從開始.許多學(xué)生對(duì)于復(fù)雜的幾何證明題直接選擇放棄，所以初中三角形的證明推理是學(xué)生學(xué)習(xí)證明的難點(diǎn).因此，希望通過對(duì)教材的比較，幫助教師和學(xué)生進(jìn)一步理解和認(rèn)識(shí)三角形的有關(guān)內(nèi)容.

二、研究方法

2016年陳志輝在《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》上發(fā)表了《中美兩國初中數(shù)學(xué)課程的問題情境水平比較研究》，文中在Stigler（1986）、Yeping Li（2000）及鮑建生建立的綜合難度模型的基礎(chǔ)上，對(duì)教科書中數(shù)學(xué)問題呈現(xiàn)的三維度分析框架進(jìn)行了改進(jìn)，如表1所示：

表1 數(shù)學(xué)問題情境水平分析劃分

例如，（人教版，9年級(jí)下冊(cè)，第74頁）2012年6月18日，“神舟”9號(hào)載人航天飛船與“天宮”一號(hào)目標(biāo)飛行器成功實(shí)現(xiàn)交會(huì)對(duì)接.當(dāng)飛船完成對(duì)接后，就在離地球表面343km的圓形軌道上運(yùn)行.如圖1，當(dāng)飛船運(yùn)行到地球表面上點(diǎn)P的正上方時(shí)，從飛船上最遠(yuǎn)能直接看到地球上的點(diǎn)在什么位置？這樣的最遠(yuǎn)點(diǎn)與點(diǎn)P的距離是多少？（地球半徑約為6 400km，π取3.142，結(jié)果取整數(shù)）

圖1 神舟9號(hào)飛船及模擬圖

按上述分析框架，對(duì)該問題進(jìn)行編碼.首先，對(duì)情境類型進(jìn)行判斷.該問題涉及航天飛機(jī)、空間飛行，所以該問題的情境類型是科學(xué)情境（SL）.其次，對(duì)該問題的三個(gè)維度的特征水平進(jìn)行編碼.在數(shù)學(xué)特征水平方面，該問題涉及知識(shí)點(diǎn)較多，其運(yùn)算為：第一步，利用cosα==≈0.9491；第二步，利用cosα≈0.9491，得出α≈18.36°；第三步，利用弧長計(jì)算公式得PQ=×6400≈2051.該問題的數(shù)學(xué)特征屬于三步運(yùn)算，所以數(shù)學(xué)特征水平編碼為DC.在表征特征水平方面，該問題的表述屬于情節(jié)和圖片相結(jié)合，所以表征特征水平編碼為SC.在任務(wù)特征方面，該問題主要是利用直角三角形中的三角函數(shù)解決現(xiàn)實(shí)生活中的具體問題，屬于三角函數(shù)的應(yīng)用，所以編碼為PS.

三、模型分析

根據(jù)已有研究成果，從而形成數(shù)學(xué)問題情境水平的分析模型，如表2所示，本文研究的問題，全部是兩種版本教材中“解直角三角形”中的例題和習(xí)題.

表2 兩套教材“三角形”內(nèi)容的數(shù)學(xué)問題情境三維特征水平

1.數(shù)學(xué)問題情境引入的比較

人教版教材以比薩斜塔的傾斜程度引入解直角三角形.1972年，通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)比薩斜塔傾斜了5°28′，并給學(xué)生提出新的問題：2001年糾偏后塔身中心線與垂直中心線的夾角是多少？這極大地激勵(lì)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到三角函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的巨大作用.北師大版教材并不是以現(xiàn)實(shí)情境引入，而是直接給出直角三角形的某些要素，讓學(xué)生通過計(jì)算理解直角三角形中六個(gè)要素之間的關(guān)系.

2.數(shù)學(xué)問題情境水平的比較

數(shù)學(xué)問題呈現(xiàn)方式有多種形式，本文中的數(shù)學(xué)問題情境結(jié)合已有研究成果進(jìn)行了解析和析取，純文本的沒有任何修飾的題目為無情境的數(shù)學(xué)問題，結(jié)合自己的個(gè)人生活和個(gè)人興趣愛好呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題為個(gè)人情境，學(xué)校生活、主題班會(huì)教育、班級(jí)教學(xué)和教學(xué)成績?yōu)榻逃榫?，涉及工程、教師、建筑師等職業(yè)的為職業(yè)情境，根據(jù)自己生活較大的范圍及周邊的環(huán)境所設(shè)計(jì)的題目為公共情境，科學(xué)領(lǐng)域的技術(shù)和理論及所涉及的相關(guān)的數(shù)學(xué)問題為科學(xué)情境.統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表3所示：

表3 兩種版本中問題情境水平的統(tǒng)計(jì)

人教版教材共有5道例題，22道習(xí)題，北師大版教材共有2道例題，17道習(xí)題.人教版教材5道例題中，2道屬于純文本的沒有背景的計(jì)算，其余3道都是圖片和文本相結(jié)合，都具有科學(xué)背景；北師大版教材的2道例題都屬于純文本的計(jì)算題，沒有相關(guān)背景.

在習(xí)題數(shù)量方面，人教版教材共有27道，北師大版教材共計(jì)19道，人教版教材比北師大版教材多8道，在無背景方面，人教版教材占了習(xí)題總量的40%，北師大版教材占了58%，在個(gè)人情境方面，人教版教材占了4%，北師大版教材占了11%，在教育情境方面，兩種版本的教材都沒有設(shè)計(jì)題目，在職業(yè)情境方面，人教版教材占了4%，北師大版教材占了5%，在公共情境方面，人教版教材占了19%，北師范大版教材占了21%，在科學(xué)情境方面，人教版教材占了33%，北師大版教材占了5%.兩種版本教材中無情的問題相對(duì)較多，人教版教材中涉及情境的題目占了59%，主要情況都是科學(xué)情境（航天、航海），北師大版教材中涉及情境的題目占了42%.比較發(fā)現(xiàn)，人教版教材中的習(xí)題更多的是和現(xiàn)實(shí)生活的情境相結(jié)合呈現(xiàn)，北師大版教材更多的是以純文本的形式呈現(xiàn)，兩種版本的教材在個(gè)人情境、教育情境、職業(yè)情境三個(gè)方面設(shè)計(jì)的題目較少.

3.數(shù)學(xué)特征水平的比較

兩種版本教材都沒有無運(yùn)算和一步運(yùn)算的題目，兩步運(yùn)算的題目人教版教材和北師大版教材分別占了41%和53%，三步運(yùn)算的人教版教材和北師版教材分別占了41%和11%，四步運(yùn)算及以上的為19%和37%.人教版教材的加權(quán)平均為6.8，北師大版教材為4.8，人教版教材的加權(quán)平均明顯高于北師大版教材，北師大版教材中四步運(yùn)算及四步以上的題目高于人教版.

4.表征特征水平的比較

數(shù)學(xué)問題有著不同的呈現(xiàn)方式，兩種版本的教材無背景的題目各占了41%和53%，非文本的主要是圖形和文字相結(jié)合的題目，在情節(jié)和圖表結(jié)合水平上，人教版教材占了52%，北師大版教材占了47%，人教版教材中大部分題目的設(shè)計(jì)都有一定的故事情節(jié)和背景，并根據(jù)題目的設(shè)計(jì)配以圖形和圖表，北師大版教材中大部分題目都是沒有背景的純文本形式.

5.任務(wù)特征水平的比較

解直角三角形是九年級(jí)教學(xué)的重點(diǎn)，也是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了勾股定理和簡單的三角函數(shù)之后進(jìn)一步學(xué)習(xí)的，所以兩種版本教材習(xí)題的設(shè)計(jì)重點(diǎn)是勾股定理及其逆定理及三角函數(shù)概念的理解和應(yīng)用，人教版教材最后設(shè)計(jì)兩個(gè)探究的題目.

四、啟示

數(shù)學(xué)教材是教師教和學(xué)生學(xué)中的重要材料，數(shù)學(xué)習(xí)題和例題在教師教和學(xué)生學(xué)的過程中發(fā)揮著重要的作用，問題的不同呈現(xiàn)方式體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教材的特點(diǎn)，人教版和北師大版教材在教材編寫中各有特色，人教版教材中的習(xí)題大部分是以非文本的形式呈現(xiàn)，大部分習(xí)題涉及科學(xué)背景，北師大版教材中例題、習(xí)題的設(shè)計(jì)純文本的較多，兩種版本教材中的例題和習(xí)題都是“解直角三角形”的應(yīng)用.教材例題和習(xí)題的編寫都是為了更好地服務(wù)學(xué)生，例題、習(xí)題如何呈現(xiàn)，教材編寫如何借鑒國內(nèi)外最新的研究成果，讓其在提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)上發(fā)揮應(yīng)有的作用，這是值得大家認(rèn)真思考的.