以學(xué)定教，擇教推思
——“三角形中位線定理證明”的教學(xué)實(shí)踐與思考

☉江蘇省宿遷市實(shí)驗(yàn)學(xué)校 王曉明

“以學(xué)定教”的核心是“以學(xué)生為主體”，學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)發(fā)展水平、已有經(jīng)驗(yàn)、思維特征、興趣愛好是教師用來(lái)確定教學(xué)內(nèi)容、過(guò)程及方法的依據(jù).“擇教推思”的核心是“以教師為主導(dǎo)”，根據(jù)學(xué)情選擇教學(xué)內(nèi)容、過(guò)程及方法，教學(xué)生學(xué)提問(wèn)、學(xué)建構(gòu)概念、學(xué)尋找方法、學(xué)研究問(wèn)題的一般方法，教學(xué)生學(xué)會(huì)思考.

現(xiàn)以“三角形中位線定理證明”的教學(xué)為例，就教學(xué)實(shí)踐中以學(xué)定教，推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展，談?wù)劰P者的做法與思考.

一、基本情況分析

三角形中位線定理是許多有關(guān)線段數(shù)量和位置關(guān)系證明的重要依據(jù).蘇科版教材將它安排在八年級(jí)下冊(cè)“中心對(duì)稱圖形——平行四邊形”這一章，安排在平行四邊形的性質(zhì)和判定之后.學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)三角形的相關(guān)性質(zhì)和全等三角形的關(guān)系，教材將三角形中位線放在平行四邊形之后教學(xué)，顯然是想作為平行四邊形研究的自然延伸，但教材不是以平行四邊形的問(wèn)題來(lái)發(fā)現(xiàn)探索定理，而是安排了將一個(gè)三角形剪拼成平行四邊形來(lái)體現(xiàn)定理的探索過(guò)程，這一探索過(guò)程從知識(shí)的發(fā)展角度看略顯凸兀.

從數(shù)學(xué)知識(shí)角度來(lái)看，三角形中位線定理其實(shí)是平行線分線段成比例定理內(nèi)容的一般化推廣和逆向研究的結(jié)果.教材將平行線分線段成比例定理安排在九年級(jí)下冊(cè)，作為相似三角形的判定基礎(chǔ).這種分散安排體現(xiàn)了降低難度和夠用即可的意圖，同時(shí)給本課學(xué)習(xí)體現(xiàn)知識(shí)發(fā)展過(guò)程、合理自然生長(zhǎng)帶來(lái)了困難.

教學(xué)目標(biāo)：探索并證明三角形中位線定理.經(jīng)歷觀察、操作、猜想、歸納、驗(yàn)證、反思等活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展空間觀念和有條理的表達(dá)能力、數(shù)學(xué)合情推理和演繹推理的能力.

教學(xué)重、難點(diǎn)：探索中位線定理證明的輔助線的添法.

二、教學(xué)過(guò)程與分析

1.平行四邊形分離三角形

活動(dòng)1：如圖1，直線l經(jīng)過(guò)?ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)O，與平行四邊形的邊分別交于E、F兩點(diǎn)，觀察直線l繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過(guò)程.

發(fā)現(xiàn)：始終有OE=OF.如圖2，當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)一組對(duì)邊的中點(diǎn)時(shí)，得到四邊形BEFC、AEFD均為平行四邊形，則EF∥BC∥AD、EF=BC=AD.由于線段EO和FO分別是△ABC和△ADC的一條中位線，且有EO∥BC，F(xiàn)O∥AD，EF=BC=2OE，則EF=AD=2OF.

猜想：三角形中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.

圖1

圖2

驗(yàn)證：畫出圖2中的△ABC，如圖3，EO為△ABC的中位線.由圖2得到啟示，要證明EO與BC的數(shù)量和位置關(guān)系，關(guān)鍵是要構(gòu)造出?BCFE.由圖2知，OF在EO的延長(zhǎng)線上并且等于EO，如果從得到線段OF考慮，可以這樣來(lái)添加輔助線，進(jìn)行定理證明.

證法1：如圖4，延長(zhǎng)EO至點(diǎn)F，使得FO=EO，連接CF.

由EO=OF，AO=OC，∠AOE=∠COF，得△AOE△COF.則AE=CF，∠AEO=∠CFO，則AB∥CF.

由BE=AE，AE=CF，得BE=CF.

由BE∥CF，BE=CF，得四邊形BCFE是平行四邊形.則EF=2EO=BC，則

如果從得到線段CF考慮，由圖2知，CF與BE相等且平行，如果過(guò)點(diǎn)C作一條與BE相等的線段，則會(huì)有無(wú)數(shù)條，但如果作與BE平行的線段則有且僅有一條，于是得如下證法.

圖3

圖4

證法2：如圖4，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，交EO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

如果從直接得到△COF考慮，可以旋轉(zhuǎn)△AOE直接得到圖4中的△COF，證法如下.

證法3：如圖4，以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，把△AOE繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°，得到△COF.

由于∠AOE+∠EOC=180°，∠FOC=∠AOE，所以∠FOC+∠EOC=180°，所以E、O、F三點(diǎn)共線.

這種證法實(shí)際上是在旋轉(zhuǎn)中位線OE所在的△AOE，觀察圖2知道OE也是△ABO內(nèi)部的線段，還可以從旋轉(zhuǎn)△ABO來(lái)證明定理.

證法4：如圖5，以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，把△ABO繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°，得到△CDO，此時(shí)EO轉(zhuǎn)到了FO的位置.

則由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，易證E、O、F三點(diǎn)共線，B、O、D三點(diǎn)共線，BE∥DF，BE=DF，所以四邊形BEFC為平行四邊形，得出結(jié)論.

由于EO是△ABC內(nèi)部的線段，直接旋轉(zhuǎn)△ABC來(lái)進(jìn)行定理證明.

圖5

圖6

證法5：如圖6，以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，把△ABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°，得到△CDA，此時(shí)EO轉(zhuǎn)到了FO的位置.

則由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，易證E、O、F三點(diǎn)共線，且四邊形BEFC、AEFD均為平行四邊形，得出結(jié)論.

設(shè)計(jì)意圖：以學(xué)定教應(yīng)關(guān)注學(xué)生的兩個(gè)水平：一是學(xué)生現(xiàn)有水平，即學(xué)生獨(dú)立活動(dòng)時(shí)所能達(dá)到的解決問(wèn)題的水平；二是學(xué)生可能的發(fā)展水平，也就是通過(guò)教學(xué)所獲得的潛能，這種潛能正是學(xué)生發(fā)展的可能性，是教學(xué)應(yīng)該利用的，更是來(lái)自學(xué)生自身思維的積極力量.學(xué)生感受到三角形與平行四邊形知識(shí)之間相互聯(lián)系的同時(shí)，多角度環(huán)環(huán)相扣思考構(gòu)造?BCFE，探索多種證法，發(fā)展了學(xué)生的發(fā)散思維.

剛才通過(guò)取平行四邊形中的一個(gè)三角形，從整體到部分來(lái)探究證法，也可以從部分到整體來(lái)探究定理的證明.

2.三角形剪拼平行四邊形

活動(dòng)2：將圖7中的△ABC沿中位線剪開分成兩部分，拼成了一個(gè)四邊形.剪下的△ADE有圖8、9所示的兩種拼法.

圖7

圖8

圖9

圖10

發(fā)現(xiàn)：以圖9 為例，圖7 中的△ABC 中，∠AED+∠CED=180°，圖9中的∠FEC就是圖7中的∠AED，所以∠FEC+∠CED=180°，所以D、E、F三點(diǎn)共線.

因?yàn)椤螦DE=∠F，所以DB∥CF.

由中位線定義知道AD=DB，且AD拼到圖9中的CF處，所以DB=CF.

即DB與CF既平行又相等，所以四邊形BCFD為平行四邊形.于是得到中位線DE∥BC，DF=2DE=BC，所以△ABC的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.

猜想：由剛才的操作、推理、驗(yàn)證，我們知道了△ABC的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半，猜想任意三角形的中位線都具有這樣的性質(zhì).

驗(yàn)證：結(jié)合拼圖，得到啟示，證明的關(guān)鍵是構(gòu)造出圖10中的?BCFD，即得到圖10中的EF、CF這兩條輔助線.這時(shí)可以像證法1、2、3那樣進(jìn)行.雖然上述三種證法不同，但都是先由全等三角形，得到DF與AC互相平分，這使得學(xué)生自然聯(lián)想到對(duì)角線互相平分的四邊形為平行四邊形，也就是說(shuō)還可以這樣來(lái)證明.

證法6：如圖11，延長(zhǎng)DE至點(diǎn)F，使得DE=EF.連接CF、AF、CD.

由AE=EC，DE=EF，得到四邊形ADCF是平行四邊形，則有AD∥FC，AD=FC.

由中位線定義知DB=FC，則四邊形BCFD是平行四邊形，得出結(jié)論.

當(dāng)然也可以像證法3、4、5那樣，通過(guò)旋轉(zhuǎn)法進(jìn)行證明.

設(shè)計(jì)意圖：證明教學(xué)應(yīng)以尋找證題思路為核心.兩個(gè)活動(dòng)，意在將抽象問(wèn)題具體化，給定理的證明引出思路.迥然不同的活動(dòng)卻可以用同樣的證法，活動(dòng)2讓學(xué)生再次經(jīng)歷尋找證明思路的過(guò)程，學(xué)生學(xué)尋找方法、學(xué)研究問(wèn)題的一般方法，學(xué)感受的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法間存在的本質(zhì)聯(lián)系.最好的學(xué)習(xí)方法是做中學(xué)，這種學(xué)的過(guò)程推動(dòng)著學(xué)生思維發(fā)展，道是無(wú)意實(shí)有意地學(xué)會(huì)從多角度思考.

圖11

圖12

3.證法歸本，模型助思

定理是要證明兩條線段間的數(shù)量和位置關(guān)系.數(shù)量問(wèn)題是證明線段的倍分問(wèn)題，通常采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法；位置問(wèn)題是證明平行關(guān)系，通常利用“三線八角”中角的關(guān)系.

以上不同證法均是通過(guò)中點(diǎn)倍長(zhǎng)法補(bǔ)短，在△ABC的形外構(gòu)造?BCFD.這使得我們思考能否采用截長(zhǎng)法，如圖12，取BC的中點(diǎn)F，來(lái)證BF=FC=DE，連接EF，證四邊形BDEF為平行四邊形.由八年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，結(jié)合已知條件無(wú)法證明這一想法.

而圖12由于截長(zhǎng)，在△ABC的形內(nèi)構(gòu)造了四邊形BFED.如果將圖12擺放成圖13所示的位置，圖13中EF與CB和圖10中DE與AC都是三角形一條中位線與一邊，圖12中FE就相當(dāng)于圖10中的DE，于是想到延長(zhǎng)線段EF或者FE構(gòu)造出與圖10類似的幾何模型.延長(zhǎng)線段EF得到圖14，又有如下兩種證法.

圖13

圖14

證法7：取BC的中點(diǎn)F，連接EF并延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使得FG=EF，連接BG.

證法8：過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線交BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線交FE于點(diǎn)G.

先證四邊形ABGE是平行四邊形，再得到△BFG△CFE，證得四邊形DBFE是平行四邊形，得出結(jié)論.

本文引導(dǎo)學(xué)生探尋的各種證法，是依據(jù)八年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，以所學(xué)內(nèi)容自然延伸和必要發(fā)展為前提，以以舊引新為基礎(chǔ)，以直觀圖形探抽象證明為手段，通過(guò)已有的證明經(jīng)驗(yàn)和方法，完成定理證明.證法可歸納為三類：倍長(zhǎng)法、平行線法、旋轉(zhuǎn)法，實(shí)際上倍長(zhǎng)法、平行線法都可以借助旋轉(zhuǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn).

設(shè)計(jì)意圖：指向數(shù)學(xué)本質(zhì)，激發(fā)學(xué)生深度思考，必將助推學(xué)生思維發(fā)展.由直觀圖形得到啟示得出六種不同證法；再由定理的結(jié)論出發(fā)采用分析法，探尋證明的通法；類比補(bǔ)短法來(lái)探索截長(zhǎng)法，易于化陌生為熟悉，化難為易；通過(guò)在三角形形內(nèi)和形外同時(shí)構(gòu)造平行四邊形，證明結(jié)論，促進(jìn)學(xué)生深度思考.證明思路的拓展，其實(shí)質(zhì)就是從知識(shí)到方法的遷移，發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

三、教學(xué)思考

數(shù)學(xué)家波利亞曾說(shuō)過(guò)：教師講了什么并不重要，但更重要千萬(wàn)倍的是學(xué)生想了什么，學(xué)生的思路應(yīng)該在學(xué)生自己的頭腦中產(chǎn)生，教師的作用在于系統(tǒng)地給學(xué)生發(fā)現(xiàn)事物的機(jī)會(huì).“以學(xué)定教”讓我們實(shí)現(xiàn)了“思維發(fā)展永遠(yuǎn)不能被教給，應(yīng)是在學(xué)生自己建構(gòu)理解知識(shí)過(guò)程中習(xí)得”.通過(guò)創(chuàng)設(shè)圖形旋轉(zhuǎn)與剪拼活動(dòng)，設(shè)置符合學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)手操作、觀察思考、發(fā)現(xiàn)結(jié)論、提出猜想等思維過(guò)程.由活動(dòng)開始找準(zhǔn)學(xué)生思維的起點(diǎn)，喚醒學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)習(xí)欲望；由活動(dòng)結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考如何添輔助線，探索驗(yàn)證過(guò)程，激發(fā)學(xué)生深度思考；隨著證法的不斷增多和加深，學(xué)生的思維也逐漸深入發(fā)展，類比得到截長(zhǎng)法驗(yàn)證定理，學(xué)生在不斷探索證明過(guò)程中，收獲對(duì)方法和策略的領(lǐng)悟，思維被推向頂峰.