例談初中數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié)的“相似性”

☉安徽省六安市第九中學(xué) 李 勝

在近期初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)有些課例的教學(xué)設(shè)計(jì)或教學(xué)環(huán)節(jié)之間具有一定的“相似性”，這些“相似性”可以很好地幫助一線教師開展教學(xué)，也有效地促進(jìn)了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，下面以案例的形式進(jìn)行簡單介紹.

一、案例1：“同底數(shù)冪的除法”與“三角形內(nèi)角和定理”的教學(xué)分析

“同底數(shù)冪的除法”選自魯教版教材六年級下冊第六章第三節(jié)，安排在同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方和積的乘方之后，為后續(xù)學(xué)習(xí)零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪奠定了基礎(chǔ).“三角形內(nèi)角和定理”選自魯教版教材七年級下冊第八章第六節(jié)，和平行線的相關(guān)知識安排在一起，體現(xiàn)了知識的一致性與連貫性.下面，結(jié)合這兩節(jié)課的教學(xué)，對代數(shù)與幾何教學(xué)的“相似性”進(jìn)行分析.

1.“同底數(shù)冪的除法”教學(xué)設(shè)計(jì)簡述

猜一猜：你能根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則（am·an=am+n，其中m、n都是正整數(shù)）猜一下同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則嗎？

預(yù)設(shè)：am÷an=am-n，其中m、n都是正整數(shù)（教師指出本節(jié)課只研究m＞n的情況）.

驗(yàn)一驗(yàn)：怎么驗(yàn)證你的猜測是正確的呢？

預(yù)設(shè)：取特殊值，比如，104÷102=104-2=102.

證一證：你能證明嗎？依據(jù)是什么？

預(yù)設(shè)：

證法1：，其中m、n都是正整數(shù)，且m＞n，依據(jù)是乘方的意義.

證法2：由于am-n·an=a（m-n）+n=am，所以am÷an=am-n，其中m、n都是正整數(shù)，且m＞n，依據(jù)是乘法與除法互為逆運(yùn)算.

2.“三角形內(nèi)角和定理”教學(xué)設(shè)計(jì)簡述

猜一猜：你知道三角形的內(nèi)角和是多少度嗎？

預(yù)設(shè)：學(xué)生都清楚三角形的內(nèi)角和是180°.

驗(yàn)一驗(yàn)：我們在小學(xué)時(shí)是如何得出這個(gè)結(jié)論的？

預(yù)設(shè)：量一量，即教師引導(dǎo)學(xué)生每人畫一個(gè)三角形，然后分別測量三個(gè)角的度數(shù)，再求和；拼一拼，即教師引導(dǎo)學(xué)生將三個(gè)角撕下來，然后將三個(gè)角拼在一塊，構(gòu)成了一個(gè)平角；動(dòng)一動(dòng)，此處教師指出我們僅僅根據(jù)自己所畫的三角形得出了一個(gè)猜想，能夠進(jìn)一步驗(yàn)證嗎？此時(shí)出示幾何畫板課件，進(jìn)行進(jìn)一步的驗(yàn)證（如圖1）.

圖1

證一證：進(jìn)入初中，你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？你是如何得出證明方法的？

預(yù)設(shè)：教師引導(dǎo)學(xué)生在拼一拼的基礎(chǔ)上，尋找添加輔助線的靈感，進(jìn)而給出嚴(yán)格的幾何證明.

3.思考

一是猜一猜.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比推斷某些結(jié)果.可以看出，上述兩個(gè)課例中的“猜一猜”應(yīng)該就是合情推理，“同底數(shù)冪的除法”中“猜一猜”是在類比同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算基礎(chǔ)上進(jìn)行的，“三角形內(nèi)角和定理”則是在歸納同學(xué)和老師測量結(jié)果的基礎(chǔ)上給出的一個(gè)猜測.

二是驗(yàn)一驗(yàn).教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生驗(yàn)證的意識，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)要說明一個(gè)內(nèi)容正確很難，但是要說明一個(gè)內(nèi)容錯(cuò)誤是非常容易的，那就是舉一個(gè)反例.如上所述的兩個(gè)案例，要說明猜測的正確性，還需要有后面的嚴(yán)格證明，但是，如果要推翻猜測，只需要一組數(shù)據(jù)不滿足猜測的法則或一個(gè)同學(xué)測量的三個(gè)角的和不是180°即可，可見“驗(yàn)一驗(yàn)”是學(xué)習(xí)過程中一個(gè)非常重要的環(huán)節(jié)，也是學(xué)生必須具備的一種意識，教學(xué)中應(yīng)該引起一線教師的足夠重視.

三是證一證.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）和確定的法則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算.同底數(shù)冪的除法的證明方法一是依據(jù)乘方的定義給出的證明，方法二則是在同底數(shù)冪的乘法法則的基礎(chǔ)上進(jìn)行的.三角形內(nèi)角和定義則是運(yùn)用剛剛掌握的平行線的相關(guān)內(nèi)容和平角的知識解決的.可以看出，上述“證一證”與演繹推理的要求完全一致，再次也應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)證明的必要性，因?yàn)椴⒉皇撬械摹安孪搿倍际钦_的.

二、案例2：“有理數(shù)的乘法”與“零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪”的教學(xué)分析

“有理數(shù)的乘法”選自魯教版教材六年級上冊第二章第七節(jié)，是在學(xué)生掌握了有理數(shù)加減運(yùn)算及其混合運(yùn)算的基礎(chǔ)上展開的，為后續(xù)學(xué)習(xí)有理數(shù)的除法打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).“零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪”則選自魯教版教材六年級下冊第六章第四節(jié)，是在學(xué)生掌握了同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪的除法的基礎(chǔ)上，對相關(guān)運(yùn)算法則和概念的繼續(xù)學(xué)習(xí).上述兩節(jié)課同屬代數(shù)，而且都涉及了規(guī)定，第一個(gè)規(guī)定是：負(fù)負(fù)得正；第二個(gè)規(guī)定是非零數(shù)的零次冪等于1，教材在編寫過程中上述兩個(gè)課例表現(xiàn)出了高度的“相似性”，下面進(jìn)行簡單說明.

1.“有理數(shù)的乘法”教學(xué)設(shè)計(jì)簡述

教材中以“上面各式中，積的符號與各因數(shù)的符號有什么關(guān)系？積的絕對值與各因數(shù)的決定值有什么關(guān)系？再換幾個(gè)數(shù)試一試”引導(dǎo)學(xué)生得出有理數(shù)乘法的運(yùn)算法則，并引導(dǎo)學(xué)生感受“負(fù)負(fù)得正”的合理性，這里建議增加一些現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際例子，比如，“先向后轉(zhuǎn)，再向后轉(zhuǎn)，最后的方向和一開始的方向是一致的”等來加深學(xué)生的認(rèn)同度.

2.“零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪”教學(xué)設(shè)計(jì)簡述

首先，教材中提供兩組運(yùn)算，一組是以10為底數(shù)的冪的運(yùn)算，另一組是以2為底數(shù)的冪的運(yùn)算（這里限于篇幅，只呈現(xiàn)一組）.

此外，這里有比“有理數(shù)的乘法”編寫過程中做的好的一點(diǎn)就是給學(xué)生提供了一個(gè)現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際例子（細(xì)胞分裂），幫助學(xué)生理解“20=1”的合理性，教師在教學(xué)中也應(yīng)該重視這樣的例子，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)規(guī)定的合理性.

3.思考

上述兩個(gè)案例針對數(shù)學(xué)中的“規(guī)定”給出了相似的教學(xué)設(shè)計(jì)或教材編寫方式，即以找規(guī)律的形式呈現(xiàn)，而不是直接告知，這是新課標(biāo)教材編寫中一個(gè)很大的進(jìn)步.當(dāng)然，這樣做最重要的意義在于便于學(xué)生理解，便于學(xué)生接受，有利于后續(xù)相關(guān)內(nèi)容的進(jìn)一步學(xué)習(xí).

三、寫在最后

我們給出了代數(shù)教學(xué)中教學(xué)環(huán)節(jié)相似的一個(gè)案例、給出了代數(shù)與幾何中教學(xué)環(huán)節(jié)相似的一個(gè)案例，幾何教學(xué)中教學(xué)環(huán)節(jié)相似的案例則比較多，比如，在性質(zhì)定理的教學(xué)過程中，大多可以設(shè)計(jì)如上文介紹的“猜一猜—驗(yàn)一驗(yàn)—證一證”等三個(gè)主要環(huán)節(jié)開展教學(xué)，期待其他教師給出更多優(yōu)秀的案例，不當(dāng)之處，敬請指正.