抽象素養(yǎng)視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計

羅宇軍

【摘 要】本文結(jié)合核心素養(yǎng)的相關(guān)理論，以“函數(shù)的奇偶性”為例，論述在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)設(shè)計中滲透數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的方法，構(gòu)建以提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為主旨的教學(xué)模式。

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng) 數(shù)學(xué)抽象 奇偶性 幾何畫板

【中圖分類號】G ?【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2019）03B-0076-03

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是指學(xué)生通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)而形成的正確的價值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力，而指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計則是育人為本、轉(zhuǎn)識成智與情境嵌入的教學(xué)設(shè)計。本文從洞察知識三重意蘊：知識內(nèi)容、知識形式、知識旨趣，踐行深度教學(xué)的路徑進(jìn)行闡述。

在 2015 廣西暑期高中新課改培訓(xùn)中，授課專家問道：“有誰知道‘函數(shù)的奇偶性中的‘奇和‘偶是什么意思嗎？”問畢，全場幾百名高中數(shù)學(xué)老師集體失聲，舉手表示知道的也是寥寥無幾。認(rèn)真想想，自己已聽過無數(shù)次示范課、公開課、培訓(xùn)課，竟然沒有一人講過“函數(shù)的奇偶性”中的“奇”和“偶”是什么意思。從表面看，上述現(xiàn)象似乎只表明一些數(shù)學(xué)教師忽視了一些概念，沒有什么大不了的。但從深處想想，上述現(xiàn)象足以說明，大量數(shù)學(xué)教師盡管知其然，也知其所以然，但是并不知何以所以然。很多老師知道要教給學(xué)生“奇偶性”，但因為不知道緣何叫做“奇偶性”，所以不知道從舊知識中的“奇次偶次”的角度分析研究“奇偶性”。數(shù)學(xué)知識一般都是按照螺旋上升的方式設(shè)計教學(xué)內(nèi)容的，很多新知識都能夠在以前學(xué)過的知識中找到他們的“影子”。其實函數(shù)的奇偶性這一節(jié)課程的設(shè)計是想通過奇次偶次的冪函數(shù)圖象的性質(zhì)闡述函數(shù)的對稱性。為此，筆者擬以“函數(shù)的奇偶性”的教學(xué)為例，嘗試在教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)，以期引起廣大數(shù)學(xué)教師對培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重視。

一、數(shù)學(xué)抽象在概念教學(xué)中不可或缺

由于受狹隘的知識觀的消極影響，有些教學(xué)設(shè)計過于注重知識內(nèi)容（概念、命題與理論）的呈現(xiàn)，而相對忽略乃至無視知識內(nèi)容背后所蘊含的知識形式（方法、思想與思維）與知識旨趣（人文情懷與科學(xué)精神）。倘若無視知識內(nèi)容背后所蘊含的知識形式與知識旨趣，那么學(xué)生即使記住了所學(xué)的知識內(nèi)容，也難以真正理解慨念、命題與理論為什么是這樣的，從而使知識教學(xué)異化為不教“為什么”的知識灌輸。以奇偶性的學(xué)習(xí)為例，很多學(xué)生雖然都能夠記住了奇偶性的定義，但并不知道為何稱之為奇偶性，更不知道為什么奇偶性是這樣定義的，更不能理解定義與對稱性之間的“翻譯”關(guān)系。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂稿）》指出：數(shù)學(xué)抽象就是舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程，主要包括從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號或者數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征。徐利治認(rèn)為，抽象是達(dá)到數(shù)學(xué)模式簡易性目標(biāo)的必要手段和過程，數(shù)學(xué)抽象主要有四個步驟：觀察實例、抓住共性、提出概念、構(gòu)建系統(tǒng)或框架（理論）。將徐先生的觀點與新課標(biāo)提出的數(shù)學(xué)抽象相比較，不難發(fā)現(xiàn)二者之間的相似性和聯(lián)系。下面我們結(jié)合徐先生的理論，以“函數(shù)的奇偶性“這一內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計為例，說明數(shù)學(xué)抽象的滲透與培養(yǎng)。

二、案例研究

（一）情境引入，激發(fā)學(xué)生的探究欲望

大家都知道函數(shù) f（x）=x2，x∈R 的圖象關(guān)于 y 軸對稱，誰知道函數(shù) f（x）=x3+sinx，x∈R 的圖象關(guān)于什么對稱？為什么？

〖設(shè)計意圖〗學(xué)生對學(xué)過的簡單函數(shù)問題是比較熟悉的，但是對像 f（x）=x3+sinx，x∈R 這種復(fù)雜函數(shù)，并不知道如何通過函數(shù)解析式分析函數(shù)的對稱關(guān)系。這就是本節(jié)課要教會學(xué)生的能力。通過設(shè)計問題情境，激發(fā)學(xué)生探究欲望，最后通過利用學(xué)過的知識解決這個復(fù)雜的問題，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力。

（二）觀察實例：課前準(zhǔn)備（前一天布置）

布置學(xué)生用“列表—描點—連線”的方法，在不同坐標(biāo)系中畫出下列兩組函數(shù)的圖象，并觀察、歸納它們的異同點。

第一組 ：f（x）=x-1，f（x）=x，f（x）=x3;

第二組：f（x）=x-2，f（x）=x2，f（x）=x4;

〖設(shè)計意圖〗本案例從熟悉的兩組函數(shù)的圖象出發(fā)，感知函數(shù)次數(shù)奇偶關(guān)系與函數(shù)的對稱之間的關(guān)系。

（三）抓住共性：引入課題

檢查展示學(xué)生前一天布置的作圖情況（借助幾何畫板演示），分小組合作完成。

1.提問：第一組函數(shù)解析式有什么特點？它們的圖象的特點是什么？

〖分析〗（應(yīng)該細(xì)致明了些）先引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納：都是 x 的奇數(shù)次方;再引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納：函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱。

〖設(shè)計意圖〗讓學(xué)生明白：從“ x 的奇數(shù)次方”聯(lián)想到“函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱”。

2.提問：第二組函數(shù)解析式有什么特點？它們的圖象的特點是什么？

〖分析〗先引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納：都是 x 的偶數(shù)次方;再引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納：函數(shù)圖象關(guān)于 y 軸對稱。

〖設(shè)計意圖〗讓學(xué)生明白：“ x 的偶數(shù)次方”聯(lián)想到“函數(shù)圖象關(guān)于 y 軸對稱”。

3.提問：函數(shù)這樣的性質(zhì)我們應(yīng)該稱之為什么性質(zhì)呢？

像奇（偶）次冪的冪函數(shù)具備的這種性質(zhì)，關(guān)于原點對稱或關(guān)于 y 軸對稱，我們稱之為奇偶性。引入課題：函數(shù)的奇偶性。

〖設(shè)計意圖〗通過上述提問，驅(qū)動學(xué)生思考、觀察、歸納，讓學(xué)生明白研究函數(shù)的奇偶性實際上是研究函數(shù)的對稱性。最重要的是讓學(xué)生明白為什么稱之為“奇偶性”，“奇”的含義是什么？“偶”的含義是什么？讓學(xué)生參與知識的發(fā)生、發(fā)展過程，以促進(jìn)數(shù)學(xué)理解。

（四）得出概念：探究新知

1.提問：如何把“函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱”用數(shù)學(xué)符號的形式表達(dá)出來？

結(jié)合上圖拖動改變 B 的位置，引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)值的變化，歸納得出“函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱”的符號表達(dá)為“對于函數(shù) f（x）的定義域內(nèi)的任意一個 x，都有 f（-x）=-f（x）”，從而推出“奇函數(shù)”的定義：一般地，對于函數(shù) f（x）的定義域內(nèi)的任意一個 x，都有 f（-x）=-f（x），那么 f（x）就叫做奇函數(shù)。

〖設(shè)計意圖〗從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號或者數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征。這是數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)涵，利用數(shù)形結(jié)合思想通過把“函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱”的圖形特點“數(shù)學(xué)符號化”，教師提供圖象引導(dǎo)學(xué)生觀察、識圖，根據(jù)圖形描述，捕捉信息，發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象的點運動過程中對稱點的函數(shù)值的變化情況，并引導(dǎo)學(xué)生能夠用自然語言表述函數(shù)對稱性，完成對函數(shù)對稱性的第一次認(rèn)識。

辨析：下面的函數(shù)是否關(guān)于原點對稱？為什么？能否用定義加以解釋？如何解釋？

〖分析〗因為 f（-1）≠-f（1），不滿足條件：對于函數(shù) f（x）的定義域內(nèi)的任意一個 x，都有 f（-x）=-f（x）。

教師總結(jié)：定義關(guān)鍵詞，任意一個 x，都有 ?f（-x）=-f（x）。

2.提問：類似的，如何把“函數(shù)圖象關(guān)于 y 軸對稱”用數(shù)學(xué)符號的形式表達(dá)出來？

類比問題 1 的解決，結(jié)合上圖拖動改變 B 的位置，引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)值的變化，歸納得出“函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱的符號”表達(dá)為“對于函數(shù) f（x）的定義域內(nèi)的任意一個 x，都有 f（-x）=-f（x）”，從而推出“偶函數(shù)”定義：一般地，對于函數(shù) f（x）的定義域內(nèi)的任意一個 x，都有 f（-x）=f（x），那么 f（x）就叫做偶函數(shù)。

辨析：下面的函數(shù)是否關(guān)于原點對稱？為什么？能否用定義加以解釋？如何解釋？

〖分析〗因為 f（-1）≠f（1），不滿足條件：對于函數(shù) f（x） 的定義域內(nèi)的任意一個 x，都有 f（-x）=f（x）。

教師總結(jié)：定義關(guān)鍵詞，任意一個 x，都有。

3.延伸提問：我們?yōu)槭裁匆堰@兩種對稱性質(zhì)“符號化”？

教師引導(dǎo)：上到高中之后，我們遇到的函數(shù)越來越多，二者越來越復(fù)雜，今后我們判斷函數(shù)的對稱性時，不可能都作出圖象，如 f（x）=x4+cosx 呢？在不作出函數(shù)圖象的情況下，如何判斷函數(shù)的對稱性，這是我們學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的主要目的。

〖設(shè)計意圖〗在函數(shù)的奇偶性性教學(xué)中，結(jié)合圖象直觀性，讓學(xué)生理解學(xué)習(xí)奇偶性定義的必要性，理解符號與圖象之間的相互依存和互補(bǔ)關(guān)系，以便能夠在圖象不方便作出的時候可以通過解析式判斷函數(shù)的對稱性。

（五）構(gòu)建系統(tǒng)框架或理論

1.概念辨析

〖例 1〗試判斷下列函數(shù)圖象的對稱性（即奇偶性）

（1）f（x）=x3+x;（奇函數(shù)）

（2）f（x）=0;（既奇又偶函數(shù)）

（3）;（偶函數(shù)）

（4）f（x）=x2，x∈（1，-2）。（非奇非偶函數(shù)）

〖設(shè)計意圖〗讓學(xué)生進(jìn)一步辨析奇偶性定義中的關(guān)鍵詞：定義域內(nèi)、任意、都有，同時歸納判斷定義域的步驟。

上例中第（4）式學(xué)生通常會判斷錯誤，教師要結(jié)合圖象進(jìn)行解釋并引導(dǎo)：為什么不是偶函數(shù)呢？

如果改為：f（x）=x2，x∈（-1，3）呢？怎樣修改定義域才是偶函數(shù)？

引導(dǎo)學(xué)生：f（x）=x2，x∈（-1，1），會得出怎樣的結(jié)論。

最終得出如下結(jié)論：

（1）函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì);

（2）由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個 x，則-x 也一定是定義域內(nèi)的一個自變量（即定義域關(guān)于原點對稱）。即在 f（-x）=f（x），f（-x）=-f（x）式子中的隱含條件是：f（-x）與 f（x）要同時存在（有意義）。

〖例 2〗試判斷下列函數(shù)圖象的奇偶性

（1）;（非奇非偶函數(shù)）

（2）。（既奇又偶函數(shù)）

〖設(shè)計意圖〗讓學(xué)生明確：為什么判斷奇偶性的第一步為“先求函數(shù)的定義域”。學(xué)生一般容易停留在對概念表面意義的局部理解上，或過多關(guān)注數(shù)學(xué)對象的非本質(zhì)屬性，這也是阻礙數(shù)學(xué)理解的一個重要原因，需要教師進(jìn)行變式教學(xué)。

2.概念內(nèi)化

〖總結(jié)〗利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：

（1）首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱;

（2）確定 f（-x）與 f（x）的關(guān)系;

若 f（-x）= f（x）或 f（-x）-f（x）= 0，則 f（x）是偶函數(shù);

若 f（-x）=-f（x）或 f（-x）+f（x）= 0，則 f（x）是奇函數(shù)。

得出相應(yīng)結(jié)論：具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征如下。

偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱。

奇偶性的作用？（講解課本 P35 思考）練習(xí)：課本 P36。

〖設(shè)計意圖〗進(jìn)一步強(qiáng)化對稱性與奇偶性的關(guān)聯(lián)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識。

（六）學(xué)以致用

解決課前提出的問題：函數(shù) f（x）=x3+sinx，x∈R 關(guān)于什么對稱？為什么？

∵ f（-x）=（-x）3+sin（-x）=-x3-sinx=-（x3+sinx）=-f（x），

∴ f（x）為奇函數(shù)，

∴ f（x）的圖象關(guān)于原點對稱。（可以通過幾何畫板作圖加以驗證）

很多學(xué)生之所以感覺數(shù)學(xué)難學(xué)，主要是無法通過觀察、分析，撇開事物表象的、外部的、偶然的東西，抽象出事物本質(zhì)的、內(nèi)在的、必然的東西，進(jìn)而從空間形式和數(shù)量關(guān)系上揭示客觀對象的本質(zhì)和規(guī)律。這需要通過老師在平時的教學(xué)中不斷滲透抽象的素養(yǎng)，學(xué)生在這種潛移默化的過程中逐步形成這種能綜合運用數(shù)學(xué)知識、觀念、方法解決實際問題所表現(xiàn)出來的關(guān)鍵能力與必備品格，才能學(xué)好數(shù)學(xué)。因此，教師要把核心素養(yǎng)根植到自己的每一節(jié)課中。本文通過一個案例，試圖起到拋磚引玉的作用。

【參考文獻(xiàn)】

[1]方厚良.談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)抽象與培養(yǎng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2016（7）

（責(zé)編 盧建龍）