定態(tài)量子系統(tǒng)躍遷幾率的微擾近似解與精確解對比研究①

齊若杉， 崔久波， 張海豐， 肖 逍， 趙 森， 龐福榮， 龔聞斌

(佳木斯大學理學院，黑龍江 佳木斯 154007)

0 引 言

量子力學是研究微觀粒子的運動規(guī)律的重要物理學科，其主要研究對象是原子、分子、凝聚態(tài)物質(zhì)、原子核和其他基本粒子的結構和物理化學性質(zhì)[1～3]。根據(jù)量子理論，當被研究系統(tǒng)的能量取確定值時，系統(tǒng)處于定態(tài)；當系統(tǒng)的哈密頓算符顯含時間時，研究系統(tǒng)的量子躍遷問題可以通過近似方法和精確求解的方法進行[4～6]。定態(tài)微擾理論就是有效的近似方法之一，在很多量子物理化學的研究中被廣泛的應用[7～10]。本文就是基于定態(tài)微擾理論和精確解的方法求解定態(tài)量子系統(tǒng)躍遷幾率。

1 含時微擾基本理論

考慮一個哈密頓算符為H0的物理系統(tǒng)，假定H0的本征值是非簡并的分立譜，其本征方程可以表示為

H0|φn〉=En|φn〉

(1)

設H0與時間無關，但從t=0時刻開始，系統(tǒng)被加上了一個與時間有關的微擾項

H0(t)=H0+λW(t)

(2)

式中λ為參數(shù)，且λ?1，W(t)是一個在t<0時為0的與H0同一數(shù)量級的算符。設系統(tǒng)的初態(tài)為H0對應于本征值Ei的本征態(tài)，則一階近似下系統(tǒng)處在H0的另一個本征態(tài)|φf〉中的概率Pif(t)可以表示為

(3)

式中ωif=(Ei-Ef)/?為玻爾角頻率，Wif(t)為W(t)的矩陣元，可以表示為

Wif(t)=〈φf|W(t)|φi〉

(4)

在常微擾的情況下，躍遷只能在能量相同的態(tài)之間發(fā)生，從|φi〉到|φf〉之間的躍遷概率Pif隨時間線性增加，且有

(5)

式中ρ(Ef)是末態(tài)的態(tài)密度。

2 定態(tài)量子系統(tǒng)躍遷幾率的近似解

假定一個量子系統(tǒng)有兩個定態(tài)|1〉和|2〉，其能量本征值之差為E2-E1=?ω21。在t=0時系統(tǒng)處于狀態(tài)|1〉，從此時開始加上一個與時間無關的微擾H′，其對應的矩陣元分別為

〈1|H′|1〉=0

(6a)

〈2|H′|1〉=?ω0

(6b)

〈2|H′|2〉=-?ω

(6c)

下邊利用一階含時微擾論，計算在t時刻系統(tǒng)處于|1〉態(tài)和|2〉態(tài)的概率。

應用一階含時微擾論，可以計算P|1〉→|2〉，由于系統(tǒng)只有2個本征態(tài)，有

P|1〉→|1〉=1-P|1〉→|2〉

(7)

(8)

3 嚴格求解薛定諤方程

3.1 對角化哈密頓算符方法進行求解

首先，寫出哈密頓算符H=H0+H′在本征態(tài)

|1〉和|2〉構成的基下的表達式

(9)

(10a)

(10b)

對于狀態(tài)|ψ(t)〉可以得到

|ψ(t)〉=a1e-iλ1t/?|v1〉+a2e-iλ2t|v2〉

(11)

e-iE1t/?[cos(ω0t)|1〉-isin(ω0t)|2〉]

(12)

3.2 直接求解薛定諤方程方法

設|ψ(t)〉為

|ψ(t)〉=C1(t)e-iE1t/?|1〉+C2(t)e-iE2t/?|2〉

(13)

將(13)式代入一般形式的薛定諤方程

(H0+H′)[C1(t)e-iE1t/?|1〉+C2(t)e-iE2t/?|2〉]

(14)

用|1〉左乘(14)式得到

C1(t)e-iE1t/?(〈1|H0|1〉+〈1|H′|1〉)+

C2(t)e-iE2t/?(〈1|H0|2〉+〈1|H′|2〉)=

E1C1(t)e-iE1t/?+C2(t)?ω0e-iE2t/?

(15)

由此可導出

(16)

式中ω21=(E2-E1)/?。同樣用|2〉左乘(14)式，可以得到

(17)

于是(16)和(17)構成一個系數(shù)C1(t)和C2(t)方程組

(18)

由第一個方程解出C2(t)并對時間微分可以得到

將(19)式代入第二個方程可以得到

(20)

利用初始條件C1(t=0)=0，由(20)式可以得到給出C1(t)=cos(ω0t)，并由此可以算出系數(shù)C2(t)=-isin(ω0t)eiω21t，于是最后得到

|ψ(t)〉=

e-iE1t/?[cos(ω0t)|1〉-isin(ω0t)|2〉]

(21)

可見兩種方法得到的結果是一樣的。

4 結 論

通過上邊的討論可以看出，系統(tǒng)處于狀態(tài)|2〉中的概率為

P|1〉→|2〉=|〈2|ψ(t)〉|2=sin2(ω0t)

(22)