含石墨烯分界面有耗分層介質(zhì)的傳播矩陣*

王飛 魏兵

1) (西安電子科技大學(xué)物理與光電工程學(xué)院, 西安 710071)

2) (西安電子科技大學(xué)信息感知技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心, 西安 710071)

給出一種適用于含導(dǎo)電界面的有耗分層介質(zhì)的傳播矩陣方法.利用相位匹配原理給出斜入射時(shí)有耗介質(zhì)波矢量的實(shí)部和虛部, 二者方向不同使得在介質(zhì)中傳播非均勻平面波.根據(jù)邊界條件, 推導(dǎo)了跨越石墨烯界面的傳播矩陣, 以及“無(wú)限薄”石墨烯層的反透射系數(shù)解析式.最終將傳播矩陣方法推廣應(yīng)用于含石墨烯界面的有耗分層介質(zhì)情形, 可用于快速解析分析分層介質(zhì)與導(dǎo)電界面復(fù)合結(jié)構(gòu)的反透射和電波傳播特性.

1 引 言

2004年, 世界上最薄的半導(dǎo)體材料—石墨烯, 由Novoselov和Geim的團(tuán)隊(duì)采用微機(jī)械剝離法制備成功[1].石墨烯是由單層碳原子構(gòu)成的二維晶體結(jié)構(gòu), 具有高電子遷移率、低電阻率、光學(xué)透明性、高靈活性及結(jié)構(gòu)穩(wěn)定等特性[2], 這使得其在光學(xué)和光電傳感等方面具有廣泛的應(yīng)用前景[3-6],同時(shí)也被認(rèn)為非常適合于太赫茲光學(xué)設(shè)備[7-10].石墨烯非常薄, 厚度只有約 0.34 nm, 這導(dǎo)致其光吸收率很低, 應(yīng)用受到限制.為此, 常采用周期摻雜、表面等離子體、光學(xué)微腔等方法來(lái)增強(qiáng)光學(xué)吸收[11-16], 其中利用光子晶體增強(qiáng)石墨烯光吸收是一種常用方法.2012年, Liu 等[17]利用石墨烯和間隔層在一維光子晶體(one-dimensional photonic crystal, 1DPC)表面構(gòu)造表面缺陷, 導(dǎo)致光的局域化, 使可見(jiàn)光光吸收被增強(qiáng)約 4 倍.2013年, Peres和Bludov[18]利用1DPC使石墨烯的THz吸收增強(qiáng)了超過(guò) 3 倍.2014年, Xie 等[19]分析了 1DPC表面石墨烯在應(yīng)力贗磁場(chǎng)作用下的THz吸收.2018年, Zhang等[20]設(shè)計(jì)了一種高對(duì)比光柵耦合波導(dǎo)結(jié)構(gòu), 提高了石墨烯在近紅外和可見(jiàn)光頻段的光吸收.

1DPC本質(zhì)上是一個(gè)周期分層介質(zhì), 而單層的石墨烯可以看做是“無(wú)限薄”的[21], 因此可以把石墨烯和1DPC構(gòu)造的結(jié)構(gòu)看成一個(gè)含石墨烯分界面的分層介質(zhì).傳播矩陣方法[22]是一種分析分層介質(zhì)中光或電磁波傳播特性的解析理論方法, 可以直接計(jì)算分層介質(zhì)對(duì)平面電磁波的反透射等.根據(jù)電磁理論, 當(dāng)分層介質(zhì)中某層為有耗介質(zhì)時(shí), 該層中的波矢量為復(fù)數(shù), 而在斜入射情形下, 考慮相位匹配, 該層中波矢量的實(shí)部和虛部并不平行, 即相位和振幅的傳播方向不同, 此時(shí)該層中傳播的應(yīng)為非均勻平面波.本文首先根據(jù)相位匹配條件, 推導(dǎo)了有耗分層介質(zhì)中復(fù)數(shù)波矢量的實(shí)部和虛部, 給出傳播矩陣中所需要的縱向波矢量計(jì)算式; 然后考慮石墨烯表面電導(dǎo)率, 根據(jù)邊界條件推導(dǎo)了跨越石墨烯分界面的傳播矩陣; 最終, 使得傳播矩陣方法可用于解析分析任意入射角情形下含導(dǎo)電界面有耗分層介質(zhì)的反透射和電波傳播特性.本文中時(shí)諧因子取 e xp(-jωt) .

2 理論公式

2.1 有耗分層介質(zhì)中的復(fù)數(shù)波矢量

設(shè)平面波從真空入射到n層分層介質(zhì), 如圖1所示, 入射角為θ.考慮一般情形, 設(shè)各層介質(zhì)的相對(duì)介電系數(shù)和磁導(dǎo)系數(shù)εrl,μrl(l=1,2,···,n) 皆為復(fù)數(shù),

此時(shí), 介質(zhì)有耗, 介質(zhì)層中的波矢量kl也為復(fù)數(shù).下面來(lái)具體分析介質(zhì)層中的復(fù)數(shù)波矢量kl.

圖1 分層介質(zhì)Fig.1.Stratified medium.

各分層中的復(fù)數(shù)波矢量kl可以寫為

其中kRl和kIl分別表示kl的實(shí)部和虛部.如圖1 所示, 入射面為xoz平面, 故有

根據(jù)界面處的相位匹配(波矢量切向分量連續(xù))條件可得

即kl的虛部kIl只有z分量, 實(shí)部kRl的x分量在每個(gè)區(qū)域都相同, 都等于區(qū)域0中入射波矢量k0的x分量k0x.由此可以看到, 平面波斜入射有耗分層介質(zhì)時(shí), 介質(zhì)中波矢量的實(shí)部和虛部方向不平行,虛部只有縱向分量.由于波矢量實(shí)部代表相位傳播方向, 虛部代表振幅傳播方向, 可知此時(shí)平面波是非均勻的, 波矢量為

由電磁波理論可知在有耗介質(zhì)中[22]有

而由(2)和(5)式可得

則根據(jù)(6)和(7)式得

求解(8)式得到

綜上所述, 考慮到相位匹配, 有耗分層介質(zhì)中平面波的復(fù)數(shù)波矢量可通過(guò)(10)式計(jì)算.計(jì)算得到波矢量虛部kIl沿z方向, 所以波在介質(zhì)中沿深度方向衰減.波矢量實(shí)部kRl的方向代表波傳播方向,介質(zhì)中的折射角可以依此計(jì)算.

2.2 有耗分層介質(zhì)的傳播矩陣

對(duì)整個(gè)分層介質(zhì), 在圖1中從入射點(diǎn)M0到透射點(diǎn)Nt的傳播用前向傳播矩陣表示為

其中B0為M0點(diǎn)處下行波幅值.整個(gè)分層介質(zhì)總的前向傳播矩陣為[22]

其中Ul和Vl分別是跨越l-l+1 層界面和第l層中的傳播矩陣.對(duì)有耗介質(zhì), 傳播矩陣計(jì)算時(shí)εl,μl取復(fù)數(shù), 另外要特別注意klz, 應(yīng)該按照前述方法計(jì)算.

2.3 跨越石墨烯界面的傳播矩陣

單層的石墨烯可以看做是“無(wú)限薄”的[21], 石墨烯薄層兩個(gè)側(cè)面的表面電導(dǎo)率為σg(ω,μc,Γ,T) ,其中ω,μc,Γ和T分別是角頻率、化學(xué)勢(shì)、散射率和室溫.由Kobu公式得到石墨烯表面電導(dǎo)率表達(dá)式為取決于能帶內(nèi)的能量,而σinter取決于能帶間的能量.因?yàn)槟軒?nèi)的能量占能量主要部分, 所以只考慮σintra這一項(xiàng), 而忽略σinter項(xiàng).

σintra可用Drude表達(dá)式表示為

式中

為直流電導(dǎo)率, 其中e是電子電量,kB是玻爾茲曼常數(shù), ? 是約化普朗克常量;τ=1/(2Γ) 是電子弛豫時(shí)間.

設(shè)在分層介質(zhì)區(qū)域l和l+1 的分界面z=zl處有一層“無(wú)限薄”石墨烯層, 如圖1所示, 根據(jù)電磁理論, 在介質(zhì)分界面兩側(cè)的電磁場(chǎng)滿足邊界條件,所以在分界面z=zl處有

聯(lián)合(15)式可得

首先考慮TE波情形, 區(qū)域l中的總場(chǎng)可寫為[22]

式中Al和Bl分別代表區(qū)域l中的上行波和下行波幅值.在區(qū)域l和l+1 的分界面z=zl處, 根據(jù)邊界條件(17)和(19)式可得

其中

求解并整理(21)和(22)式可得

其中

是穿越z=zl處石墨烯分界面從Ml點(diǎn)到Nl+1點(diǎn)的TE波前向傳播矩陣.

對(duì)TM波情形, 區(qū)域l中的總場(chǎng)可寫為

在區(qū)域l和l+1 的分界面z=zl處, 根據(jù)邊界條件(17)和(18)式可得

其中

求解并整理(27)和(28)式可得

其中

是穿越z=zl處石墨烯分界面從Ml點(diǎn)到Nl+1點(diǎn)的TM波前向傳播矩陣.

實(shí)際上, 上述方法中所涉及的石墨烯界面可拓展到表面電導(dǎo)率為σg的導(dǎo)電界面.

綜上, 若分層介質(zhì)中某界面含“無(wú)限薄”導(dǎo)電層, 則可以通過(guò)將總傳播矩陣Vt0((12)式)中該界面處的跨界面?zhèn)鞑ゾ仃嘦l=0-n替換為((25)和(31)式), 從而得到含導(dǎo)電界面的分層介質(zhì)傳播矩陣.相反, 若令σg=0 , 則又可以退化為Ul=0-n, 即為一般電介質(zhì)分界面.

注意到, 由于石墨烯界面的導(dǎo)電特性, 此處TE和TM波的邊界條件不對(duì)偶, 因而其跨界面?zhèn)鞑ゾ仃囋赥E和TM波情形下并不對(duì)偶.

2.4 “無(wú)限薄”石墨烯層的反透射系數(shù)

設(shè)“無(wú)限薄”石墨烯上、下半空間分別為均勻介質(zhì) 1 和 2, 在 (24)和 (30)式中令l=1 和A2=0 ,結(jié)合(25)式、(31)式和反透射系數(shù)定義可以得到“無(wú)限薄”石墨烯界面的反透射系數(shù)

結(jié)果和文獻(xiàn) [23]一致.注意到, 在 (32), (33)和(34)式中若令σg=0 , 則可以自然過(guò)渡為一般介質(zhì)分界面的Fresnel公式.

3 算 例

例1石墨烯單層的屏蔽效率

設(shè)各向同性石墨烯層的參數(shù)為T= 300 K,μc=0,Γ=0.11MeV, 應(yīng)用傳播矩陣計(jì)算其反透射系數(shù), 進(jìn)而得到屏蔽效率(shielding effectiveness,SE)[21]隨頻率變化曲線如圖2(b)所示(圖2(a)為該石墨烯層電導(dǎo)率實(shí)虛部與頻率的關(guān)系曲線).SE的計(jì)算結(jié)果和文獻(xiàn)[21]結(jié)果相符, 同時(shí)由圖2可見(jiàn), 石墨烯層對(duì)TM模的SE低于對(duì)TE模的.

以下算例中石墨烯層的參數(shù)取

圖2 石墨烯電導(dǎo)率和 SE (a) 電導(dǎo)率實(shí)虛部; (b) SEFig.2.Graphene conductivity and shielding effectiveness：(a) Real and imaginary parts of conductivity; (b) SE.

例2空氣中石墨烯單層的反透射

設(shè)平面電磁波入射真空中一單層石墨烯層, 根據(jù)(32)和(33)式可計(jì)算得到該石墨烯層的反透射系數(shù), 計(jì)算結(jié)果如圖3所示.圖3(a)和圖3(b)分別是TE和TM波的反透射系數(shù)模值, 其中實(shí)線、短劃線、點(diǎn)線分別代表入射角為 0°, 3 0°, 6 0°時(shí)的反射系數(shù), 方形、圓形、星形分別代表入射角為 0°,30°, 6 0°時(shí)的透射系數(shù).可以看到, 隨著頻率增大,該石墨烯層的反射系數(shù)減小而透射系數(shù)增大; 隨著入射角增大, TE波反射增強(qiáng)透射減弱, 而TM波相反.

圖3 石墨烯單層的反射和透射系數(shù)模值 (a) TE 模;(b) TM 模Fig.3.Modulus of reflective and transmittance coefficients of a graphene sheet：(a) TE mode; (b) TM mode.

例3涂覆石墨烯層的半空間有耗介質(zhì)(碲化鎘CdTe)界面

設(shè)在碲化鎘(CdTe)表面上涂覆著一層石墨烯, CdTe的相對(duì)介電系數(shù)為[24]

其中ε∞,ωLO,ωTO,γ分別是 CdTe 的高頻極限相對(duì)介電常數(shù)、縱波光學(xué)聲子角頻率、橫波光學(xué)聲子角頻率、碰撞角頻率.本算例取文獻(xiàn)[24]給出的測(cè)量值

計(jì)算得到CdTe的禁帶為

根據(jù)(32)和(33)式可計(jì)算該CdTe界面的反透射系數(shù), 計(jì)算結(jié)果如圖4和圖5所示.圖4和圖5分別是TE波和TM波情形, 圖(a)和(b)分別是反射、透射系數(shù)模值, 各圖中實(shí)線、短劃線、點(diǎn)線分別代表入射角為 0°, 3 0°, 6 0°時(shí)不含石墨烯涂層時(shí)的情形, 方形、圓形、星形分別代表入射角為 0°,30°, 6 0°時(shí)含石墨烯涂層時(shí)的情形.由圖4和圖5可見(jiàn), 石墨烯的高導(dǎo)電特性使得其涂覆CdTe表面后, 反射增強(qiáng)而透射減弱, 并且在禁帶以下的低頻段尤為明顯.

圖4 含石墨烯涂層 CdTe 半空間的反透射系數(shù)模值 (TE 模) (a) 反射系數(shù); (b) 透射系數(shù)Fig.4.Modulus of reflective and transmittance coefficients of CdTe half-space containing graphene coating (TE mode)：(a) Reflective coefficient; (b) transmittance coefficient.

圖5 含石墨烯涂層 CdTe 半空間的反透射系數(shù)模值 (TM 模) (a) 反射系數(shù); (b) 透射系數(shù)Fig.5.Modulus of reflective and transmittance coefficients of CdTe half-space containing graphene coating (TM mode)：(a) Reflective coefficient; (b) transmittance coefficient.

圖6 CdTe 半空間的反透射光場(chǎng) (TE 模) (a) 無(wú)石墨烯涂層; (b) 含石墨烯涂層Fig.6.Optical field of reflection and transmission coefficients of CdTe half-space (TE mode)：(a) Without graphene coating;(b) with graphene coating.

圖7 CdTe 半空間的反透射光場(chǎng) (TM 模) (a) 無(wú)石墨烯涂層; (b) 含石墨烯涂層Fig.7.Optical field of reflection and transmission coefficients of CdTe half-space (TM mode)：(a) Without graphene coating;(b) with graphene coating.

圖6和圖7是該 CdTe半空間界面 TE和TM入射波的反透射光場(chǎng)分布, 圖(a)和(b)分別是界面不含和含有石墨烯涂層時(shí)的情形, 從圖6和圖7可見(jiàn), 石墨烯涂層不改變反透射角, 但增強(qiáng)了表面反射, 起到了一定屏蔽作用.

例4涂覆石墨烯層的Si/SiO2周期結(jié)構(gòu)型一維光子晶體

有一含SiO2缺陷層的Si/SiO2周期結(jié)構(gòu)型1DPC, 如圖8 所示.該周期結(jié)構(gòu)周期數(shù)N=8 , 介質(zhì) a (Si)和介質(zhì) b (SiO2)參數(shù)為

Si, SiO2層和缺陷層的厚度分別為

圖8 Si/SiO2 周期結(jié)構(gòu)型 1DPCFig.8.Si/SiO2 1DPC with periodic structure.

圖9 含石墨烯涂層 Si/SiO2周期結(jié)構(gòu) 1DPC 的反透射系數(shù) (a) 反射系數(shù); (b) 透射系數(shù)Fig.9.Modulus of reflective and transmittance coefficients of Si/SiO2 1DPC containing graphene sheet：(a) Reflective coefficient; (b) transmittance coefficient.

圖9是平面波垂直入射時(shí)該光子晶體的反透射系數(shù), 其中圓圈表示無(wú)石墨烯涂層時(shí)的反透射系數(shù), 作為對(duì)比用虛線給出了無(wú)耗情形時(shí)的反透射系數(shù), 可以看到, 有耗時(shí)反透射都有所減弱.圖9中實(shí)心和空心星形分別代表石墨烯涂層位于光子晶體表面(第1個(gè)界面位置)和底層(最后一個(gè)界面位置)時(shí)的情形, 可以看到, 在禁帶下方低頻段, 石墨烯涂層的加入使反射增強(qiáng), 透射減弱,在禁帶內(nèi)位于底層的石墨烯涂層對(duì)反射系數(shù)幾乎沒(méi)有影響而位于表面的石墨烯涂層對(duì)反射系數(shù)影響較大, 使之減弱.

圖10是平面波垂直入射時(shí)該光子晶體的吸收率曲線, 石墨烯涂層增強(qiáng)了光子晶體的吸收, 而且當(dāng)石墨烯涂層位于表面時(shí), 石墨烯和間隔層構(gòu)成的表面缺陷導(dǎo)致光的局域化, 使得THz光吸收被增強(qiáng)[18], 在禁帶及以上頻段, 吸收率顯著提高; 當(dāng)石墨烯涂層位于底層時(shí), 吸收率的提高不明顯, 而且主要集中在禁帶下方低頻段.

圖10 含石墨烯界面 Si/SiO2周期結(jié)構(gòu) 1DPC 的吸收率Fig.10.Absorbance of Si/SiO2 1DPC containing graphene sheet.

圖12 含石墨烯涂層 Si/SiO2 周期結(jié)構(gòu) 1DPC 的吸收率 (TM 模) (a) 無(wú)涂層; (b) 表面涂層; (c) 底層涂層Fig.12.Contour plots of the absorbance of the Si/SiO2 1DPC as a function of the light frequency and the incident angles for the TE mode：(a) Without graphene sheet; (b) graphene sheet on the top; (c) graphene sheet on the bottom.

圖11和圖12分別是TE和TM波情形下, 該光子晶體的吸收率隨頻率和入射角變化的偽色彩圖, 其中子圖(a), (b)和(c)分別是無(wú)石墨烯涂層、涂層位于表面和底層時(shí)的情形, 整體上看, 位于表面的涂層對(duì)光吸收的增強(qiáng)效應(yīng)更為明顯, 而且對(duì)TE波的吸收要強(qiáng)于TM波.

4 結(jié) 論

根據(jù)相位匹配, 討論給出了平面波斜入射分層介質(zhì)時(shí), 有耗層中波矢量實(shí)部和虛部的計(jì)算方法.有耗層中復(fù)數(shù)波矢量的實(shí)部和虛部不平行, 傳播的平面波非均勻.代表波振幅傳播方向的波矢量虛部沿縱向方向, 即波沿深度方向衰減.波矢量實(shí)部代表相位傳播方向, 折射角依此計(jì)算.依據(jù)邊界條件,推導(dǎo)了跨越石墨烯界面的傳播矩陣, 以及“無(wú)限薄”石墨烯層的反透射系數(shù)解析式.推廣了傳播矩陣方法, 使之可應(yīng)用于包括含導(dǎo)電界面的有耗分層介質(zhì)反透射和電波傳播特性的計(jì)算和分析, 為分層介質(zhì)與導(dǎo)電界面復(fù)合結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和驗(yàn)證提供了支撐.