回路范疇的擴(kuò)張及其應(yīng)用

馮 清 ， 黃 菊 ， 鄭麗紅

（1.福建師范大學(xué)福清分校 電子與信息工程學(xué)院， 福建 福清 350300； 2.閩南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，福建 漳州 363000； 3.福建師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院， 福建 福州 350100； 4.列東中學(xué)，福建 三明 365000）

1968 年，Bass[1]為研究范疇 K1群結(jié)構(gòu)，引入了回路范疇，并給出了一族范疇同構(gòu).2012 年，張錦州[2]給出關(guān)于K1群的一個定理，并構(gòu)造出回路范疇上的一個Recollement.在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[3]討論了平凡擴(kuò)張范疇、沖積范疇與回路范疇的交換關(guān)系.受此啟發(fā)，本文主要討論函子范疇、推出范疇與回路范疇之間的交換關(guān)系.

1 回路范疇與函子范疇

范疇論中，研究范疇間的函子關(guān)系是研究兩范疇關(guān)系的一個基本手段，函子范疇是指兩個范疇間的函子所具有的范疇結(jié)構(gòu)，是范疇論發(fā)展的一個重要分支.許多常見的范疇均為函子范疇，如G-集范疇，直向圖范疇等等.本節(jié)討論回路范疇與函子范疇的交換關(guān)系，并給出實(shí)例.

先給出回路范疇，函子范疇的定義，具體參見文獻(xiàn)[1,4].

定義1[1]設(shè)D 是范疇，定義回路范疇D 如下：

定義2 設(shè)C 是小范疇，D 是范疇，定義函子范疇DC如下：

DC的對象為F：C→D 為共變函子.

DC的態(tài)射為：F→G.合成是自然變換的合成.

現(xiàn)給出函子范疇DC與回路范疇D 之間的關(guān)系，即

再由H 中態(tài)射的對應(yīng)易知H 是忠實(shí)的.綜合上述討論知H 是等價(jià)函子， 所以有范疇等價(jià).

現(xiàn)將定理1 應(yīng)用于Abel 群范疇及圖范疇.

例 1 設(shè) R 是環(huán) R 的單對象范疇， Ab 是 Abel 群范疇， R-Mod 是環(huán) R 的左模范疇，則.其中對應(yīng)關(guān)系為

圖1 圖范疇交換圖Fig.1 The exchange graph of graph category

圖2 回路范疇的圖范疇交換圖Fig.2 The exchange graph of graph category of Loop category

2 回路范疇與推出范疇

拉回與推出（纖維積與纖維余積）是范疇論中兩個重要的對偶概念.沈倩芳[5]定義了推出范疇，并證明了加法范疇的推出范疇仍是加法范疇.事實(shí)上，推出范疇作為范疇的一種擴(kuò)張保持原范疇的諸多同調(diào)性質(zhì).本節(jié)討論回路范疇與推出范疇之間的交換關(guān)系.

定義5[5]設(shè)D 是范疇，以D 中的推出作為對象，推出態(tài)射作為態(tài)射構(gòu)成范疇，稱之為D 的推出范疇，記為DO.

現(xiàn)給出本節(jié)的主定理，即

圖3 推出范疇交換圖Fig.3 The exchange graph of push category