羽毛球拍網(wǎng)面振動的理論與仿真分析

林 青,嚴(yán)舒芯,程 磊

(1.南京林業(yè)大學(xué) 體育部，江蘇南京 210037；2.南京林業(yè)大學(xué) 機械電子工程學(xué)院，江蘇南京 210037)

隨著國民經(jīng)濟的迅速增長，人民生活水平不斷提高，體育活動越來越受到人們的青睞，尤其羽毛球運動普及較廣，成為老少皆宜的運動形式。出于對羽毛球運動的喜愛，人們對羽毛球球拍的選擇越來越重視，在球拍的研發(fā)過程中, 不僅需要綜合考慮球拍的重量、平衡、硬度、彈性等重要因素,尤其需要研究球拍網(wǎng)面的性能[1]。本文運用膜振動理論和有限元分析方法對羽毛球拍網(wǎng)面的性能進行分析，以期為專業(yè)運動員了解拍面性能，發(fā)揮球拍的最佳效果以提高運動效率提供理論依據(jù)。

1. 羽毛球拍網(wǎng)面的理論分析

1.1 膜振動理論

膜結(jié)構(gòu)是20世紀(jì)70年代發(fā)展起來的一種新型的張力結(jié)構(gòu)形式，它具有剛度小、重量輕等特點，膜振動就如同鼓上的鼓皮在敲擊下產(chǎn)生振動一樣[2-4]。進行圓膜的振動理論分析時，首先，在直角坐標(biāo)下，通過受力分析以及牛頓第二定律建立膜振動的平衡方程；其次，考慮到在直角坐標(biāo)下的方程求解比較復(fù)雜，可將其化成在極坐標(biāo)下的圓膜振動方程，利用分離變量法將方程轉(zhuǎn)換成零階貝塞爾方程標(biāo)準(zhǔn)式，通過求解得到圓膜的位移表達式；然后，通過施加圓膜的邊界條件推導(dǎo)出圓膜簡正頻率方程，計算出各階的頻率。

設(shè)一張緊的膜處于xy平面上，在膜上取一個曲邊四邊形，膜四邊所受的力稱張力記為T，單位為N/m。

假設(shè)當(dāng)膜受到與xoy面相垂直方向的外力作用后，在張力T的作用下，產(chǎn)生垂直方向的振動。面單元dxdy在橫向振動時，膜邊緣都受到張力的作用，張力與膜的切線方向一致，張力T與x軸的夾角為β，張力T與y軸的夾角為α。根據(jù)牛頓定律，作用在面單元dxdy的外力和膜振動時產(chǎn)生的慣性力的合力應(yīng)等于零。面單元在直角坐標(biāo)系的受力分析圖如下(圖1)。

圖1 直角坐標(biāo)系面單元受力圖

因此可解得作用于面單元四個邊緣的凈力合力為

(1-1)

設(shè)σ為面密度，則面單元的質(zhì)量為

dm=σdxdy

(1-2)

面單元振動的加速度為

(1-3)

根據(jù)牛頓第二定律得

F合=dm·a

(1-4)

(1-5)

1.2 羽毛球拍面膜振動的方程

羽毛球拍面近似為橢圓形且為網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，本文將羽毛球拍面近似看成圓形膜且擊球時視為膜振動。由于上式膜振動方程是在xoy坐標(biāo)下的拉普拉斯方程，求解比較復(fù)雜，所以一般將其變換成在極坐標(biāo)下進行求解[5-6]。

(1-6)

式1-6中θ—極角，r—極徑。極坐標(biāo)下膜振動的微分方程為

(1-7)

(1-8)

選用復(fù)數(shù)的形式[7]，即令T(t)=ejωt并利用歐拉公式帶入1-8得

(1-9)

此方程式為零階貝塞爾方程的標(biāo)準(zhǔn)式[8]。其有零階貝塞爾函數(shù)和零階諾依曼函數(shù)兩個特解，所以該方程的一般解是兩個函數(shù)的線性組合即

(1-10)

所以1-9變?yōu)?/p>

(1-11)

考慮到諾依曼函數(shù)具有一個在零點發(fā)散的特性，即當(dāng)r=0時，N0(0)→∞。對于具有張力的圓形膜而言，在圓心r=0處的振動是有限的，則必須要求上式B=0，因此，1-10方程解為

(1-12)

則膜的位移可表示為

(1-13)

將1-13方程變量換成x，得到貝塞爾方程為

(1-14)

解得

(1-15)

令式中c=lnE，積分得

(1-16)

1.3 羽毛球拍面簡正頻率的理論解

(1-17)

根據(jù)膜振動理論可知，振型是根據(jù)不同的節(jié)圓數(shù)m和節(jié)徑數(shù)n所決定的。拍面作自由振動時，必將存在無數(shù)的簡正頻率，其對應(yīng)的簡正振動方式為

(1-18)

其實部為

(1-19)

由上式可求得圓膜對稱振動的節(jié)線位置，令

(1-20)

解得零階貝塞爾函數(shù)的根值為

(1-21)

由此可得節(jié)線的位置為

(1-22)

2. 有限元法及有限元分析軟件

2.1 有限元法

有限元法是利用數(shù)學(xué)近似的方法對真實物理系統(tǒng)(幾何和載荷工況)進行模擬，通過簡單而又相互作用的元素(即單元)，就可以用有限數(shù)量的未知量去逼近無限未知量的真實系統(tǒng)。由于大多數(shù)實際問題難以得到準(zhǔn)確解，而有限元法不僅計算精度高，而且能適應(yīng)各種復(fù)雜形狀，因而成為行之有效的工程分析手段。有限元法的求解過程如圖2所示。

圖2 有限元法求解過程

網(wǎng)面進行自由振動時，在理論上會發(fā)生無窮階的陣型，但由于能量的衰減一般只考慮前幾階振型。網(wǎng)面在受力發(fā)生變形時，因為瞬時接觸時間短，我們無法以肉眼看到網(wǎng)面自由振動的振型以及受力后網(wǎng)面變形量的大小。本文利用有限元法，通過有限元分析軟件ANSYS中的WorkBench對網(wǎng)面進行模態(tài)和靜力結(jié)構(gòu)的仿真分析，將網(wǎng)面的振型和變形可視化。

2.2 有限元分析軟件ANSYS簡介

ANSYS軟件是美國ANSYS公司研制的融結(jié)構(gòu)、流體、電場、磁場、聲場分析于一體的大型通用有限元分析(FEA)軟件，其在機械、電機、土木、電子及航空等領(lǐng)域被廣泛使用，是世界范圍內(nèi)增長最快的計算機輔助工程(CAE)軟件。軟件由前處理、分析計算和后處理三部分組成，具體流程如圖3所示。通過使用該軟件，不僅能夠獲得準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，而且還能縮短設(shè)計周期，降低預(yù)算成本[9]。

圖3 ANSYS軟件分析流程

ANSYS中的WorkBench是一種仿真平臺模塊，擁有各種與仿真分析相關(guān)的大型工程數(shù)據(jù)庫、求解器、建模工具以及后處理器等組件程序，同時具備參數(shù)管理和設(shè)計優(yōu)化功能，各項復(fù)雜的仿真任務(wù)都可以通過它實現(xiàn)。WorkBench中可以進行結(jié)構(gòu)靜態(tài)分析、模態(tài)分析、非線性分析、屈曲分析、諧響應(yīng)分析、熱分析、轉(zhuǎn)子動力學(xué)分析等。本文主要對羽毛球拍網(wǎng)面進行模態(tài)分析和結(jié)構(gòu)靜態(tài)分析，并將計算結(jié)果與理論值進行對比。

2.3 羽毛球拍網(wǎng)面模態(tài)分析

模態(tài)分析是指用模態(tài)坐標(biāo)去替換線性定常系統(tǒng)振動微分方程組中的物理坐標(biāo)，經(jīng)過方程組的解耦成為一組新的獨立方程。也就是說，模態(tài)分析的本質(zhì)是求矩陣的特征值，其“階數(shù)”就是特征值的個數(shù)，將特征值從小到大排列就是階次。實際的分析對象是無限維的，所以其模態(tài)具有無窮階。但是對于運動起主導(dǎo)作用的只是前面的幾階模態(tài)，所以計算時只要根據(jù)需要計算前幾階即可。

模態(tài)分析是動力學(xué)分析最為基礎(chǔ)的一種，模態(tài)分析用于確定機械零部件的振動特性及結(jié)構(gòu)的自振頻率特性，包括結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型，它們是結(jié)構(gòu)承受動態(tài)載荷設(shè)計中的重要參數(shù)。本文應(yīng)用ANSYS的模態(tài)分析功能，對有預(yù)應(yīng)力的網(wǎng)面振動進行模態(tài)分析。

任何結(jié)構(gòu)系統(tǒng)都可以用下述動力平衡方程來描述

(2-1)

式2-1中[M]——質(zhì)量矩陣

[C]——阻尼矩陣

[K]——剛度矩陣

{x}——節(jié)點位移矢量

由于在對自由振動的系統(tǒng)求解固有頻率和振型時，阻尼對整個系統(tǒng)的影響會比較遲緩即可以忽略不計，所以用ANSYS在進行計算分析時選擇無阻尼模態(tài)分析。結(jié)構(gòu)在沒有阻尼作用下的動力平衡方程為

(2-2)

對于線性系統(tǒng)，上式解的形式為

(2-3)

式中{Φ}i——第i階模態(tài)對應(yīng)的振型特征向量

ωi——第i階模態(tài)的固有頻率(單位為rad/s)

t——時間(單位為s)

將式2-3代入式2-2，得

(2-4)

由于當(dāng)結(jié)構(gòu)自由振動時，各節(jié)點振幅不可能都為零，因此就相當(dāng)于求解系數(shù)行列式為零的解,即求其特征值。

2.3.1 前處理

2.3.1.1 創(chuàng)建分析項目

ANSYS WorkBench的工具箱中有多個分析項目，每個項目都分別顯示著分析的流程，從中可以觀察數(shù)據(jù)的流向以及分析的進度。多個項目的對象可以相互連接，并提供了一個可視化的表示。本文用了靜力結(jié)構(gòu)分析和模態(tài)分析兩個項目，分別將兩個項目的工程數(shù)據(jù)、幾何模型、模型模塊連接，以及將靜力結(jié)構(gòu)分析中的解決方案模塊與模態(tài)分析中的設(shè)置模塊相連接，項目概圖如圖4所示。

圖4 創(chuàng)建分析項目

2.3.1.2 建立網(wǎng)面三維模型

由于在ANSYS WorkBench中可以直接導(dǎo)入SolidWorks的三維圖，所以本文使用SolidWorks工程設(shè)計軟件建模[10]。為了使ANSYS分析結(jié)果更加精確，確保模型的相似度是關(guān)鍵。根據(jù)國際羽聯(lián)羽毛球比賽規(guī)則，要求羽毛球拍面長和寬分別不超過280mm和220mm。本文將拍面的外形近似為半個圓和半個橢圓組成。另外根據(jù)羽毛球拍網(wǎng)面穿線的特征，不難發(fā)現(xiàn)橫縱兩向中的所有相鄰線的穿法是相反的，并且整個網(wǎng)面不在同一平面內(nèi)，每一根線都是由多段直線和圓弧構(gòu)成，因此網(wǎng)面的建模難度增加。本文通過手動測量得到每段直線距離和相鄰兩根線的距離，通過已知的線徑、相鄰兩線距離和圓內(nèi)弦的垂直平分線過圓心三個條件找到圓弧的圓心，從而得到圓弧半徑，繪制圓弧草圖如圖5 所示，最后通過SolidWorks 三維建模中的掃描、陣列、拉伸、裁剪等特征功能完成網(wǎng)面的建模，三維圖如圖6所示。

圖5 繪制圓弧草圖

(a) 網(wǎng)面局部三維圖

(b) 網(wǎng)面正視圖

圖6網(wǎng)面三維圖

2.3.1.3 網(wǎng)面材料的設(shè)定

由于WorkBench 材料庫中只有常規(guī)的材料，所以本文結(jié)合文獻[11]中的數(shù)據(jù)，選用尤尼克斯BG65線加以計算，得到各參數(shù)值。通過手動方式添加羽毛球線的材料性能，即尤尼克斯BG65線的密度、楊氏模量和泊松比，具體參數(shù)見圖7。

圖7 尤尼克斯BG65線的性能參數(shù)

2.3.1.4 網(wǎng)面的網(wǎng)格劃分

網(wǎng)格劃分是整個模態(tài)分析過程中至關(guān)重要的一個環(huán)節(jié)，網(wǎng)格劃分質(zhì)量的好壞直接影響到后續(xù)計算分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。劃分網(wǎng)格要進行總體模型規(guī)劃，包括物理模型的構(gòu)造、單元類型的選擇、網(wǎng)格密度的確定等多方面內(nèi)容(見圖8)。本文中每根網(wǎng)線只受單一的拉伸力，精度要求不是很高，所以選擇自動生成網(wǎng)格劃分，全局網(wǎng)格控制如下圖所示，網(wǎng)面網(wǎng)格劃分示意圖如圖9所示。

圖9 網(wǎng)面網(wǎng)格劃分

2.3.1.5 網(wǎng)面邊界條件的設(shè)置

邊界條件的加載也是至關(guān)重要的一個環(huán)節(jié)，其加載的正確與否直接影響到模擬結(jié)果。根據(jù)分析中邊界條件是否隨時間變化的情況，其加載的容易程度也就不同。一般而言，邊界條件不隨時間變化的加載相對容易，但要施加隨時間變化的動態(tài)載荷就會比較困難。對于本文中的網(wǎng)面來說，網(wǎng)面周圍一圈都要施加固定約束,并且每根線都受到向外的軸向預(yù)應(yīng)力，這里按業(yè)余選手水平設(shè)定羽毛球拍穿線磅數(shù)為21磅即93.5牛頓。圖10中，A代表固定、BCDE分別代表不同方向的預(yù)應(yīng)力。

圖10 施加邊界條件

2.3.2 分析計算

在上述環(huán)境設(shè)定完成后，通過計算機直接求解可得網(wǎng)面各階振型圖，圖11所示為部分陣型圖。

2.3.3 結(jié)果分析

為了驗證將網(wǎng)面簡化為圓膜假設(shè)的可行性，本文采用了理論和有限元計算兩種方法，分別對周邊固定、半徑為95mm并承受21磅的圓膜和同樣條件下的羽毛球拍網(wǎng)面，進行固有頻率[12]與振型的求解。表1為其中兩階固有頻率的理論解與仿真計算值兩者對比。

表1 圓形薄膜與羽毛球拍網(wǎng)面固有頻率及振型

由表1可以看出，拍面前二階的理論解和仿真結(jié)果誤差較小，兩者得出的值雖然不完全相等，但都在同一個數(shù)量級。所以本文提出將羽毛球拍網(wǎng)面看作膜振動的設(shè)想是可行的，產(chǎn)生的誤差有以下原因：

(1)理論計算是按照圓膜的外形計算的，與羽毛球拍網(wǎng)面的實際形狀有差距；

(2)有限元計算時，網(wǎng)面建模不能和實際拍面完全一致。

2.4 網(wǎng)面結(jié)構(gòu)靜力分析

圖12 創(chuàng)建項目分析

圖13 邊界條件施加

結(jié)構(gòu)分析是有限元分析中最常用、最普遍的一個應(yīng)用領(lǐng)域，它有七種結(jié)構(gòu)分析類型。靜力分析屬于結(jié)構(gòu)分析，它包括線性和非線性分析。與速度和加速度沒有關(guān)系的對象主要用靜力學(xué)分析來計算，它是研究靜平衡關(guān)系的一種。

本文針對羽毛球拍網(wǎng)面進行線性結(jié)構(gòu)靜力分析(見圖12)，其分析步驟同模態(tài)分析類似，區(qū)別在于要將模態(tài)分析項目去除；用羽毛球拍擊球時，相當(dāng)于網(wǎng)面在很短時間內(nèi)受到一沖擊載荷的作用，羽毛球重量約5克，擊球時間按0.04秒計，擊球速度取280公里/小時，經(jīng)計算網(wǎng)面受力約為9.8牛頓，所以在約束邊界條件時，在中點施加垂直于網(wǎng)面、大小為9.8N 的載荷，邊界條件施加如圖13所示；最后進行應(yīng)力、應(yīng)變和總變形求解，得到相應(yīng)的云圖(見圖14)。

由分析結(jié)果可得，在中點施加P0=9.8N的力，其最大變形為ε=0.716mm。

3. 結(jié)語

本文運用膜振動理論和有限元分析軟件，分別對羽毛球拍網(wǎng)面進行了理論計算和仿真分析，得到了部分固有頻率和振型圖。通過對比可知，將網(wǎng)面看成膜的設(shè)想是可行的，可以用膜振動理論對網(wǎng)面進行理論分析；本文還利用ANSYS軟件對網(wǎng)面進行了靜力結(jié)構(gòu)分析，得到了應(yīng)力云圖、應(yīng)變云圖和總變形云圖。以上工作為進一步對網(wǎng)拍類球拍網(wǎng)面的研究提供了理論依據(jù)和有效方法，并可為專業(yè)運動員和業(yè)余選手了解拍面性能，發(fā)揮球拍的最佳效果以提高運動效率提供理論依據(jù)。

(a)應(yīng)力云圖

(b) 應(yīng)變云圖