利用標數(shù)法 破解三視圖

安徽省無為第三中學城北校區(qū)(238300)朱小扣

福建省華僑大學附屬中學(362021)王曉芬

對三視圖的考察一直是高中數(shù)學的重點,往往是通過三視圖還原物體的直觀圖,從而計算直觀圖的表面積和體積.但還原物體的直觀圖卻是是學生學習和教師教學的難點.為此,本文總結出利用標數(shù)法破解三視圖問題的解題策略,以期對同學們備戰(zhàn)高考有所幫助.現(xiàn)分析如下,供大家參考.

例1(2016年河北省邯鄲一模)如圖1,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某四面體的三視圖,則該四面體的表面積為( )

圖1

圖2

解析利用正視圖,在可能的正方體的頂點上標上“1”； 利用側視圖,在可能的正方體的頂點上標上“2”；再利用俯視圖,在可能的正方體的頂點上標上“3”,如圖2,得到了同時擁有“1,2,3”的5 個點A,B,C,D,E,再經(jīng)過確認排除E 點,于是得到所求幾何體是三棱錐A-BCD：由正方體的性質可得,故該四面體的表面積：S =故選B.

上題如不用標數(shù)法,極容易出錯,又如：

例2(2016年安徽省蚌埠一模)某空間幾何體的三視圖如圖3所示,則該幾何體的體積為()

圖3

解析利用正視圖,在可能的長方體的頂點上標上“1”；利用側視圖,在可能的長方體的頂點上標上“2”； 再利用俯視圖,在可能的長方體的頂點上標上“3”,如圖4,得到了同時擁有“1,2,3”的6 個點A,B,C,D,E,F,再經(jīng)過確認排除點F,于是得到所求幾何體是多面體ABCDE：

圖4

除了頂點標數(shù)外,還可能標數(shù)在棱的中點,如：

例3(2014年高考新課標I 卷)如圖5,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的各條棱中,最長的棱的長度為( )

圖5

圖6

解析類比例1,例2 可以得到所求幾何體為三棱錐D-ABC,如圖6所示：其中故最長的棱的長度為DA=6,選C.

上面的例題說明標數(shù)法能在復雜的三視圖中,幫助我們迅速地求解,又如：

例4在棱長為2 的正方體內有一四面體A-BCD,其中B,C 分別為正方體兩條棱的中點,其三視圖如圖7所示,則四面體A-BCD 的體積為( )

圖7

圖8

解析同樣用標數(shù)法易得A,B,C,D 四點位置如圖8所示(其他點沒標注)：因為正方體的棱長為2,故令E 為AD 的中點,連接BE,CE,則BE⊥AD,CE⊥AD,則AD⊥平面BCE,由勾股定理可得：易得故故四面體A - BCD 的體積為：故選D.

總結在近幾年的各類考試中,以三視圖為背景的試題屢見不鮮,且常考常新,應引起高度的重視,但由于學生空間想象力的匱乏,無法迅速地通過三視圖還原出直觀圖,導致考試丟分.這同樣給教師的教學帶來麻煩.但如果利用標數(shù)法,標上“1”“2”“3”,就可以三位一體,使得問題迅速地,正確地解決.