例談簡化平面解析幾何運算的幾種“優(yōu)先策略”*

江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒高級中學(212143)范習昱

平面解析幾何是在建立平面直角坐標系基礎上,用坐標表示點,用二元方程表示曲線(包含直線、線段),通過代數(shù)運算處理幾何問題的數(shù)學分支,解析幾何的根本思想是將幾何問題代數(shù)化,其根本方法就是“解析法”,即“用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質”.其優(yōu)點就是使復雜圖形具有的幾乎所有幾何性質都能用代數(shù)方程的形式體現(xiàn)出來,求解也變得機械、程式化,從而使計算機智能運算成為可能.然而,在高中數(shù)學課堂,代數(shù)運算有時會顯得特別復雜和煩瑣,學生叫苦不迭,退縮放棄,久而久之,產(chǎn)生畏懼心理.

對于一線教師而言,特別是高三教師,都有這樣的感嘆：為什么有很多思維含量不是很大的解析幾何題卻難住了很多甚至優(yōu)秀學生? 無疑,大量的、繁雜的運算是首要原因,事實上,簡化解析幾何運算也一直是高考復習備考的重點研究課題,廣大教師也一直都在探尋減少和克服復雜運算的方法.我認為,一方面千方百計教會學生算理和一般的計算技巧,另一方面就是控制運算量即教會學生如何根據(jù)題中條件優(yōu)選方法而適當合理的減少運算量.

筆者結合教學實踐,考慮到解析幾何自身運算量大的特點,一旦方法選擇不當,將會浪費大量時間,甚至有可能算不出來而放棄.因此,在審題探尋求解思路時,應該貫徹如下幾種優(yōu)先策略：定義優(yōu)先、平面幾何性質優(yōu)先、向量坐標運算優(yōu)先、特殊法優(yōu)先,在這些優(yōu)先思想的指引下,往往能夠簡化運算并成功解答.下面選擇解析幾何中的經(jīng)典案例加以分析闡述.

1.定義運用優(yōu)先,避免繁雜運算

案例1過橢圓左焦點F1,傾斜角為60°的直線交橢圓于點A,B,且|F1A|=2|F1B|,求此橢圓的離心率.

法一：傳統(tǒng)解法根據(jù)傾斜角為60°設直線方程,聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,用韋達定理建立關系,消元得到a,b,c 的關系,進而求得離心率；或者利用橢圓的參數(shù)方程求解.不難看出這兩種方法的計算量較大,很多學生要么算錯,要么半途而廢.(具體過程略)

圖1

法二：優(yōu)化解法一如圖1,記橢圓的左、右焦點分別為F1、F2,由已知|F1A|=2|F1B|,設AF1=2t,BF1=t(t ＞ 0),由橢圓的定義知,AF2=2a - 2t,BF2=2a-t.在△AF1F2中,由余弦定理得：|AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1||F1F2|cos 60°,即(2a-2t)2=(2t)2+(2c)2-2(2t)(2c)cos 60°,化簡得

同理,在△BF1F2中,由余弦定理得：|BF2|2=|BF1|2+|F1F2|2-2|BF1||BF2|cos 120°,即(2a-t)2=t2+(2c)2-2t(2c)cos 120°,化簡得

圖2

法三：優(yōu)化解法二

另一方面,在Rt△BC′F1中∠BF1C′=60°?BF1=2F1C′,故F1M =F1C′+C′M =于是

又|F1A|=2|F1B|,所以可得

評析本題若用常規(guī)解法：聯(lián)立

再結合條件|F1A|=2|F1B|求解,運算量很大,一般的學生很難掌控.審題發(fā)現(xiàn),直線AB 過焦點,我們可以用橢圓的第一定義求解.法二雖然計算有所簡化,但是變量較多,消參是一個思維難點,且運算量依然偏大.觀察題目發(fā)現(xiàn),涉及橢圓上的點到焦點的距離,且是求解離心率,這恰恰是橢圓第二定義,所以用橢圓的第二定義解決本題應該最為簡便的.優(yōu)先考慮使用橢圓的定義(包括第一第二定義,甚至極坐標方程定義),再結合有關平面幾何性質來求解,便可達到簡捷運算的目的.

案例2設F1,F2分別是橢圓的左右焦點.是否存在經(jīng)過點A(5,0)的直線l 與橢圓交于不同的兩點C,D,使得|F2C|=|F2D|? 若存在,求直線l 的方程；若不存在,請說明理由.

優(yōu)化解法設交點為C(x1,y1),D(x2,y2),設它們到右準線的距離分別為d1、d2,根據(jù)橢圓的第二定義,有又因為|F2C|=|F2D|,故d1=d2,于是x1=x2.故CD 所在直線l⊥x 軸,又直線l 經(jīng)過A(5,0),于是直線l 的方程為x=5,但x=5 與橢圓無公共點,所以,滿足條件的直線不存在.

評析傳統(tǒng)方法的思路是設出直線方程,聯(lián)立方程組再設交點為C(x1,y1),D(x2,y2),根據(jù)|F2C|=|F2D|可知F2在弦CD 的中垂線上,利用中點和斜率關系,寫出中垂線方程,代入F2點即可判斷.但是在求解中點時運算量還是較大,依然存在算錯的風險.優(yōu)化解法利用橢圓第二定義,直接而非常輕松的直線l 的方程,再加以判斷檢驗,幾乎沒有什么運算,讓人眼前一亮.將兩種方法比較,不難發(fā)現(xiàn),優(yōu)先考慮定義求解,可以避免學生少走彎路,節(jié)約時間成本,同時這也是培養(yǎng)和優(yōu)化思維的最佳選擇.

定義是事物本質屬性的概括和反映,解析幾何中的直線和圓、以及圓錐曲線的的幾乎每個性質和問題都是由定義派生出來,或者與定義有關可以轉化為定義求解.對某些解析幾何問題,領悟采用定義優(yōu)先的思想,把定量的計算和定性的分析有機地結合起來,往往能準確判斷、合理運算、化繁為簡,靈活解題.因此,解析幾何題的首選策略是回歸定義、定義優(yōu)先,從以上案例中,不難發(fā)現(xiàn)優(yōu)先考慮定義是求解解析幾何問題的第一思路,千萬不可忽視定義在解析幾何解題中的強大作用.

2.平面幾何性質優(yōu)先,運用轉化技巧

案例3設F1,F2分別是橢圓(a ＞b ＞0)的左右焦點,M 是C 上一點,且MF2與x軸垂直,直線MF1與C 的另一個交點為N.

圖3

(2)若直線MN 在y 軸上的截距為2,且MN =5F1N,求橢圓C 的方程.

法一：傳統(tǒng)解法(1)略；(2)設N(x1,y1),設直線MN的方程聯(lián)立橢圓得到一個一元二次方程

又在三角形△MF2F1中由中位線定理得MF2=2OD,得即M(c,4),由二次方程根與系數(shù)關系以及b2=4a,求得代入橢圓解得a=7,

法二：優(yōu)化解法一(2)設N(x1,y1),M(x2,y2),利用向量即(x1-x2,y1-y2)=5(x1+c,y1),設直線MN 與y 軸交點為D,在三角形中由中位線定理得MF2=2OD,得即M(c,4),求 得下同法一.

法三：優(yōu)化解法二(2)設N(x1,y1),設直線MN 與y軸交點為D,在三角形中由中位線定理得MF2=2OD,得即M(c,4),即過N 作NE⊥x 軸,垂足為E,由MN=5F1N 及三角形相似的線段比例關系知道知道且知道y1=-1,即下同法一.

評析本題的第二問關鍵在于求解點N 的坐標,法一采用聯(lián)立直線和橢圓方程求解不是最佳選擇,運算量偏大.法二利用向量方法采用坐標計算,減少了很多計算,值得推廣.法三利用三角形中的中位線定理和三角形相似的線段比例關系等平面幾何知識巧妙的規(guī)避了計算量,是首選方法.

解析幾何問題的本質還是幾何問題,幾何問題代數(shù)化是具體層面的方法,一味強調解析幾何中的代數(shù)轉化,自然不可避免的使運算量加大,有時會導致異常煩瑣的過程,而如果在進行代數(shù)計算的同時優(yōu)先考慮幾何因素,即在用代數(shù)方法研究曲線間關系的同時,充分利用好圖形本身所具有的平面幾何性質,比如中垂線、三角形的邊角關系、平行線段分比例關系等等,常?？梢赃_到簡化運算的目的,得到簡捷而優(yōu)美的解法.

3.向量坐標運算優(yōu)先,領悟解析法的本質

案例4如圖4,在平面直角坐標系xOy 中,F1、F2分別為橢圓的左、右焦點,頂點B 的坐標為(0,b),且△BF1F2是邊長為2 的等邊三角形.

(1)求橢圓的方程；

(2)過右焦點F2的直線l 與橢圓交于A、C 兩點,記△ABF2,△BCF2的面積分別為S1,S2.若S1=2S2,求直線l 的斜率.

圖4

法一：傳統(tǒng)解法(1)(解答略)

(2)設直線AC 的方程為y =k(x-1),又設A(x1,y1),C(x2,y2)聯(lián)立橢圓方程有3x2+ 4k2(x - 1)2=12,即(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.由根與系數(shù)的關系得,

又 由S1=2S2,得AF2=2F2C,即且F2(1,0),則(1-x1,-y1)=2(x2-1,y2),得x1=3-2x2,代入上式消去x1,x2得到關于k 的方程

法二：優(yōu)化解法一設A、C 兩點坐標,利用S1=2S2和橢圓方程,求出點C 坐標,求出直線的斜率.由S1=2S2,得AF2=2F2C,即又設A(x1,y1),C(x2,y2),且F2(1,0),則(1-x1,-y1)=2(x2-1,y2),即由

法三：優(yōu)化解法二設A、C 兩點坐標,利用S1=2S2和橢圓第二定義,求出點C 坐標,求出直線的斜率.設F2(1,0),A(x1,y1),C(x2,y2),(同法二)由S1=2S2得又AF2=2F2C 和橢圓第二定義得e(4-x1)=2e(4-x2),即x1=-4 + 2x2,則下同法二.

評析法一設直線斜率,聯(lián)立直線和橢圓方程用斜率表示A、C 兩點坐標,然后利用已知條件轉化為向量關系求出直線的斜率再加以檢驗,是這類問題的傳統(tǒng)解法,運算量較大.法二將面積關系轉化為向量關系結合橢圓方程直接求解A、C 兩點的坐標,計算量反而不大,這里之所以能夠簡化運算,根本原因在于優(yōu)先使用向量求解.法三利用橢圓的第二定義得到A、C 兩點的坐標關系,非常輕松的求解出A、C 的坐標,計算量一下子減少了很多,是最優(yōu)解法.

解析幾何的根本思想是幾何問題代數(shù)化,其根本方法就是“解析法”,就是坐標運算.從案例4 可以看出若能將圓錐曲線與直線問題轉化為向量問題,就為坐標運算提供了便利,案例4 的兩種優(yōu)化解法都離不開向量的工具作用.因此,為了能夠簡化解析幾何運算,必須貫徹向量坐標運算優(yōu)先的思想,充分領悟解析法的本質.

4.猜想結果優(yōu)先,領悟以證代算的思想

案例5如圖5,在平面直角坐標系xOy 中,橢圓的離心率為右準線方程過點P(0,1)分別作斜率為k1,k2(k1/k2)的直線AB,CD 與橢圓T 分別交于A,B,C,D,設M,N 分別為線段AB,CD 的中點.

(1)求橢圓T 的方程；

(2)若k1+k2=1,直線MN 是否過定點,若是,請求出定點,若不是,請說明理由.

圖5

法一：傳統(tǒng)解法(1)橢圓方程(詳解略)

(2)依題設,k1k2,設M(xM,yM),N(xN,yN),設直線AB 的方程為y=k1x+1,代入橢圓方程并化簡得于是

同理

直線MN 的斜率

直線MN 的方程為

即

法二：優(yōu)化解法(2)依題設,k1k2,設M(xM,yM),N(xN,yN),設直線AB 的方程為y =k1x+1,代入橢圓方程并化簡得(5+9k21)x2+18k1x-36=0,于是同理由k1+ k2=1 知當k1=0 時k2=1,直線MN 的方程是y=x+1.知當直線MN的方程是聯(lián)立方程組解得交點即為定點Q(-1,0).下面證明M,Q,N 三點共線即可,即證kMQ=kNQ即可.(計算略)

評析定點問題是解析幾何重點研究的方面,也是高考命題的熱點.法一直接求解直線的方程,再探究定點,會導致較大的運算量,很多學生難以完成這一過程.而法二先采用兩種特殊情況求出定點,再通過證明三點共線,進而證明推導出直線過定點,從邏輯上說是嚴格的,我們發(fā)現(xiàn),這種利用特殊法先探究出定點,再加以證明的方法,即“以證代算”的思想可以大大簡化運算量.

關于解析幾何簡化運算的幾點反思

一、解析幾何的根本思想是幾何問題代數(shù)化,就是將抽象的幾何問題轉化為易于計算的代數(shù)問題,這為研究幾何圖像性質提供了許多便利；但也不可避免地造成許多計算的繁瑣,勢必對運算能力提出較高要求.其實,只要有簡化運算的意識,領悟上述優(yōu)先思想,注意探索和總結簡捷運算的常見技巧,進行有關的規(guī)律總結,許多較為繁瑣的計算過程是可以簡化甚至避免的.

二、給學生講解簡化運算的技巧并不是降低學生計算能力的培養(yǎng),高中數(shù)學的教學目標之一就是要訓練培養(yǎng)計算能力,這也是高中數(shù)學核心素養(yǎng)之一.本文的主旨在于探討當學生面對過于復雜的運算時特別是圓錐曲線的繁雜運算時,教師應該講授適當?shù)暮喕\算的方法、甚至合理運算思維和技巧.

三、傳統(tǒng)方法是通性通法,應用廣泛,是解決問題最基本而又最常規(guī)的方法.思維起點較低,學生易于上手,回歸通法,是最起碼的訓練要求.而技巧往往帶來很大的思維量,很多學生不易理解,如果學情不允許,技巧也應慎用.其實通法做到底,也能有新意! 而且熟能生巧,通法常常是產(chǎn)生新思想、新解法的基石.

結束語

本文精選案例,探討了四種解析幾何中常用的減少計算量的方法.由于學生考試時間寶貴,教師應給學生貫徹這些優(yōu)先思想,讓學生用心領悟,方可避免浪費時間.當然,在解決解析幾何問題時,減少計算量的方法還有很多,有些不太常見,這里不再贅述.