過橢圓焦點(diǎn)的內(nèi)接平行四邊形的面積與周長問題的探究

廣東省廣東廣雅中學(xué)(510160)楊志明

有關(guān)橢圓的內(nèi)接平行四邊形問題屢見不鮮,例如呂中偉等在文[1]通過如下三個(gè)引理：

引理1橢圓的平行弦的中點(diǎn)的軌跡是過橢圓中心的一條線段.

引理2設(shè)AB 是橢圓的弦.弦AB 所在直線的斜率k 存在且k /0,M 為弦AB 的中心,直線OM 的斜率為k′,則

引理3設(shè)A、B 為橢圓上的兩點(diǎn),OA⊥OB,則

得到了如下4 個(gè)定理：

定理1平行四邊形內(nèi)接于橢圓的充要條件是平行四邊形的對稱中心與橢圓的對稱中心重合.

定理2橢圓不存在四邊所在直線都有斜率的內(nèi)接矩形.

定理3橢圓的內(nèi)接菱形有一個(gè)公共的內(nèi)切圓.

定理4橢圓內(nèi)接平行四邊形面積的最大值為2ab,這樣的平行四邊形有無數(shù)個(gè),其中恰好一個(gè)為菱形、一個(gè)為矩形.

我校2019 屆高三10月月考題的第20 題如下：

圖1

(1)求橢圓E 的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過E 的左焦點(diǎn)F1作直線l1與E 交于A,B 兩點(diǎn),過右焦點(diǎn)F2作直線l2與E 交于C,D 兩點(diǎn),且l1//l2,以A,B,C,D 為頂點(diǎn)的四邊形的面積S,求S 的最大值.

由此想到2018年廣東省省際名校(茂名市)高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)的第20 題：

(1)求E 的方程；

(2)過E 的左焦點(diǎn)F1作直線l1與E 交于A,B 兩點(diǎn),過右焦點(diǎn)F2作直線l2與E 交于C,D 兩點(diǎn),且l1//l2,以A,B,C,D 為頂點(diǎn)的四邊形的面積求l1與l2的方程.

可見,這兩道題的第2 問均是有關(guān)過橢圓焦點(diǎn)的內(nèi)接平行四邊形的面積與周長問題,這引起了筆者的興趣.有關(guān)橢圓的內(nèi)接平行四邊形的面積與周長問題已經(jīng)解決,詳見文[1-7].有約束條件的橢圓的內(nèi)接平行四邊形的面積與周長問題茲待解決.

問題1過橢圓的左焦點(diǎn)F1作直線l1與E 交于A,B 兩點(diǎn),過右焦點(diǎn)F2作直線l2與E 交于C,D 兩點(diǎn),且l1//l2,以A,B,C,D 為頂點(diǎn)的四邊形的面積S,求S 的最大值.

解設(shè)l2: x=my + c,代入得(b2m2+a2)y2+ 2b2cmy - b4=0,Δ =(2b2cm)2+4b4(b2m2+a2)＞0 恒成立.設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),則

設(shè)l1的方程為x=my -c,則AB 與CD 之間的距離為由對稱性可知,四邊形為平行四邊形,所以令則m2=t2-1,所以

(i)若c ≤b 時(shí),g′(t)≥0,g(t)是上的單調(diào)遞增函數(shù),

當(dāng)且僅當(dāng)t=1,m=0 時(shí)等號(hào)成立.

(ii)若c ＞b 時(shí),令g′(t)=0,t =當(dāng)1 ≤t ≤時(shí),g′(t)＜0,當(dāng)時(shí),g′(t)＞0,

綜上可知,當(dāng)c ≤b 時(shí),以A,B,C,D 為頂點(diǎn)的四邊形的面積S 的最大值為當(dāng)c ＞b 時(shí),以A,B,C,D 為頂點(diǎn)的四邊形的面積S 的最大值為2ab.

問題2過橢圓E :的左焦點(diǎn)F1作直線l1與E 交于A,B 兩點(diǎn),過右焦點(diǎn)F2作直線l2與E 交于C,D 兩點(diǎn),且l1//l2,以A,B,C,D 為頂點(diǎn)的四邊形的面積S,求四邊形ABCD 的周長的取值范圍.

解當(dāng)CD 垂直x 軸時(shí),令x=c 得,此時(shí),四邊形ABCD 的周長是當(dāng)CD 不垂直x 軸時(shí),可設(shè)l2: x=my +c,代入得(b2m2+a2)y2+2b2cmy -b4=0,恒成立.設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),則A(-x1,-y1),則

故由柯西不等式知,四邊形ABCD 的周長為