多盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)失效靈敏度分析

蘇長(zhǎng)青，李紫薇，郭凡逸

(1.沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 安全工程學(xué)院, 沈陽(yáng) 110136；2.遼寧省飛機(jī)火爆防控及可靠性適航技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 沈陽(yáng) 110136)

轉(zhuǎn)子是一種常見的旋轉(zhuǎn)機(jī)器，它連同軸承與支座等統(tǒng)稱為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。汽輪機(jī)、發(fā)電機(jī)、電動(dòng)機(jī)的核心工作部件都是轉(zhuǎn)子。轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生振動(dòng)并產(chǎn)生噪聲，使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的工作效率降低，嚴(yán)重時(shí)振動(dòng)會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)軸斷裂，造成嚴(yán)重的事故[1]。

系統(tǒng)的頻率可靠性問(wèn)題的研究主要有兩個(gè)方向，一是由強(qiáng)迫振動(dòng)引起的系統(tǒng)響應(yīng)超限；二是由于系統(tǒng)共振與非共振引起的結(jié)構(gòu)疲勞[7]。文獻(xiàn)[4]研究了具有獨(dú)立失效模式的隨機(jī)多自由度非線性系統(tǒng)的可靠性分析；文獻(xiàn)[5]在強(qiáng)迫振動(dòng)放大系數(shù)模型的基礎(chǔ)上提出了離心葉輪葉片的振動(dòng)可靠性分析方法；文獻(xiàn)[6]以結(jié)構(gòu)振動(dòng)設(shè)計(jì)方法為基礎(chǔ)，通過(guò)應(yīng)力-干涉理論研究了一種振動(dòng)可靠性分析辦法；文獻(xiàn)[7]研究了具有相關(guān)失效模式的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)頻率可靠性的問(wèn)題。

本文以三盤轉(zhuǎn)子為研究對(duì)象，考慮了彈性支承與圓盤質(zhì)量的隨機(jī)特性，應(yīng)用有限元法建立系統(tǒng)的振動(dòng)方程，獲得系統(tǒng)的前6階固有頻率的隨機(jī)統(tǒng)計(jì)特性，建立了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)共振的狀態(tài)函數(shù)，并應(yīng)用Monte Carlo法分別計(jì)算出系統(tǒng)的可靠度與可靠性靈敏度[7]。

1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率與臨界轉(zhuǎn)速

對(duì)于轉(zhuǎn)軸具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，且忽略軸承座的等效質(zhì)量的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，其位移向量為：

{U1}=[x1,θy1,x2,θy2…xyn-1,θyn-1]

{U2}=[y1,-θx1,y2,-θx2…yyn-1,-θxn-1]

(1)

由于滑動(dòng)軸承的剛度系數(shù)相等，則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程的齊次式為：

(2)

其中[M1],[C],[K1],都為2n×2n的對(duì)稱稀疏帶狀矩陣。故其頻率方程為：

|-M1ω2+J1Ωω+K1|=0

(3)

當(dāng)轉(zhuǎn)子以角速度Ω轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)頻率方程可求得2n個(gè)正進(jìn)動(dòng)頻率與2n個(gè)反進(jìn)動(dòng)頻率；當(dāng)Ω=ω時(shí)，其值為系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速。

2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)可靠度與失效靈敏度分析

2.1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)可靠度計(jì)算

在結(jié)構(gòu)可靠度分析中，結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)是通過(guò)結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)描述的。對(duì)于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，其產(chǎn)生的共振會(huì)使未超過(guò)檻值的響應(yīng)導(dǎo)致系統(tǒng)的失效或使系統(tǒng)處于失效的極限狀態(tài)。根據(jù)可靠性理論，共振轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)為：

gi(n,ωi)=|n-ωi|i=1,2,…,k

(4)

式中，n為轉(zhuǎn)速，即轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的激振頻率；ωi為轉(zhuǎn)子的第i階固有頻率。當(dāng)gi>0時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)處于可靠狀態(tài)；當(dāng)gi<0時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)處于失效狀態(tài)。

當(dāng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的激振頻率接近其某階固有頻率時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)發(fā)生共振。根據(jù)此關(guān)系，將上式改寫為：

(5)

其中γ為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)一階固有頻率的10%。

對(duì)于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，只要有一個(gè)激振頻率接近其某階固有頻率，則系統(tǒng)就會(huì)發(fā)生共振導(dǎo)致失效。故應(yīng)把轉(zhuǎn)子系統(tǒng)考慮為串聯(lián)結(jié)構(gòu)體系。此時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的失效概率為：

(6)

(7)

式中，Pi為第i失效模式下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)失效概率；Pf為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)聯(lián)合失效概率；μn-ωi為固有頻率均值與激振頻率差的均值；σn-ωi為固有頻率方差與激振頻率差的標(biāo)準(zhǔn)差。

2.2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)可靠性靈敏度計(jì)算

Monte Carlo法是最通用的、應(yīng)用范圍最廣的計(jì)算可靠性靈敏度的數(shù)字模擬方法。此方法對(duì)于狀態(tài)函數(shù)的形式與隨機(jī)參數(shù)的分布情況沒有特殊要求，主要是把求解可靠性靈敏度的復(fù)雜積分問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求解數(shù)學(xué)期望問(wèn)題，用樣本均值來(lái)估計(jì)數(shù)學(xué)期望[8]。

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)失效靈敏度為失效概率Pf對(duì)隨機(jī)參數(shù)xi的分布參數(shù)μxi、σxi的偏導(dǎo)數(shù)。

(8)

將式(8)中的積分變換成數(shù)學(xué)期望的表達(dá)式，之后就可以用Monte Carlo法來(lái)計(jì)算轉(zhuǎn)子系統(tǒng)失效靈敏度。具體變換方法如下：

(9)

在用Monte Carlo法計(jì)算的過(guò)程中，采用樣本均值來(lái)代替總體均值，則均值靈敏度計(jì)算公式為：

(10)

同理，可得到標(biāo)準(zhǔn)差靈敏度公式為：

(11)

為了更好的比較不同分布參數(shù)對(duì)失效概率的影響程度，要消除基本變量量綱對(duì)失效靈敏度的影響。以均值靈敏度為例，其無(wú)量綱的靈敏度表達(dá)式為：

(12)

Sμxi的估計(jì)值為：

(13)

對(duì)于正態(tài)變量有：

(14)

式中，μi為對(duì)基本隨機(jī)向量x=(x1,x2,x3,…,xn)T中的第i個(gè)分量xi引入的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量。

則除去量綱影響的均值失效靈敏度為：

(15)

同理可得去除量綱影響的標(biāo)準(zhǔn)差失效靈敏度為：

(16)

式中，μji為第j個(gè)樣本xj=(xj1,xj2,xj3,…,xjn)的第i個(gè)分量xji所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)化樣本。

3 數(shù)值算例

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1。軸承1與軸承3分別位于轉(zhuǎn)軸的兩側(cè)，軸承2位于圓盤2與圓盤3之間。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)幾何參數(shù)值如表1所示。

圖1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

幾何參數(shù)數(shù)值幾何參數(shù)數(shù)值L/m1.474D3/m0.15d/m0.045B1/m0.02D1/m0.100B2/m0.02D2/m0.225B3/m0.03

由于制造環(huán)境、技術(shù)條件、制造和安裝誤差及材料的多相特征等因素使得圓盤質(zhì)量、軸承剛度與阻尼具有一定的隨機(jī)特性[9]。本文中把上述參數(shù)作為隨機(jī)參數(shù)，一般來(lái)講，結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度和阻尼服從正態(tài)分布，如果隨機(jī)參數(shù)服從非正態(tài)分布，可將非正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布處理。如果其具體的分布如表2所示。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的前6階固有頻率為隨機(jī)輸出參數(shù)，其具體的分布如表3所示。

抽樣方法本文選用重要度抽樣法(importance sampling method)。通過(guò)改變隨機(jī)抽樣的中心，使樣本點(diǎn)有較大概率處于失效域內(nèi)。為了使Monte Carlo法的計(jì)算結(jié)果達(dá)到較高的精度要求，本文取抽樣次數(shù)為500次進(jìn)行循環(huán)仿真，分析了在不同的激振頻率(服從正態(tài)分布)下，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的可靠度。其結(jié)果如表4所示。

表2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨機(jī)參數(shù)統(tǒng)計(jì)特性

表3 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率隨機(jī)特性

表4 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)可靠度

其中450 rad/s這一激振頻率處于1階與2階固有頻率之間，距離兩固有頻率分布都較遠(yuǎn)，系統(tǒng)發(fā)生共振的概率較低，所以轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的可靠度較高；而952 rad/s與1 100 rad/s這兩激振頻率分別距離4階固有頻率與6階固有頻率非常近，系統(tǒng)發(fā)生共振的概率較高，所以轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的可靠度較低。

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在不同激振頻率下的各參數(shù)失效靈敏度如圖2～圖6所示。

由于在952 rad/s這一激振頻率下，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的可靠性最低，所以分析此狀態(tài)下的各參數(shù)靈敏度顯得十分重要。如圖4所示，2軸承y方向剛度方差靈敏度與1軸承x方向剛度均值靈敏度值最大且為正，而圓盤2質(zhì)量方差靈敏度也較大且為負(fù)，故想在此工作狀態(tài)下提高轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的可靠度應(yīng)增大2軸承y方向剛度方差與1軸承x方向剛度均值，同時(shí)要減小圓盤2質(zhì)量方差。

圖2 450 rad/s下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)各參數(shù)失效靈敏度

圖3 850 rad/s下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)各參數(shù)失效靈敏度

圖4 952 rad/s下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)各參數(shù)失效靈敏度

圖5 990 rad/s下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)各參數(shù)失效靈敏度

圖6 1 100 rad/s下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)各參數(shù)失效靈敏度

4 結(jié)論

本文以多盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對(duì)象，基于共振失效的基本準(zhǔn)則，建立了多盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)可靠性模型，提出了多盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)失效靈敏度分析方法，研究了隨機(jī)參數(shù)統(tǒng)計(jì)特性對(duì)于系統(tǒng)失效的影響規(guī)律，研究成果能夠?yàn)檗D(zhuǎn)子系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、制造和結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供一定的理論依據(jù)。