任意初態(tài)下的擾動系統(tǒng)學習控制

李國軍，周國民，陳東杰，許中石

（1.浙江警察學院公共基礎部，浙江杭州310053；2.浙江警察學院計算機與信息技術系，浙江杭州310053）

學習本是指人們通過閱讀、聽講、思考、研究、實踐等途徑獲得知識或技能的過程，目前已被廣泛引申到其他領域。控制領域的學習大致可分為三類：單一目標學習,多目標學習以及量化的生物學習。經(jīng)過研究者的不斷努力,學習控制理論體系已日益完善并成為控制方法論中的一個重要分支。學習控制主要包括迭代學習控制和重復學習控制[1]。迭代學習控制(iterative learning control,簡稱ILC)適用于在有限區(qū)間重復作業(yè)的場合,利用先前的控制輸入和輸出產(chǎn)生當前次的輸入,以便改進輸出效果,經(jīng)過多次迭代以后,系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)完全無誤差跟蹤[2-3]。重復學習控制同樣著眼于利用受控對象和目標軌跡的周期性或重復性,利用上一周期的輸入輸出信息來改善當前的控制輸入,以期獲得理想的輸出效果。最大的區(qū)別在于迭代學習控制目標是在有限區(qū)間上達到完全跟蹤,而重復學習控制目標是在無限區(qū)間上達到漸近跟蹤。由于設計簡單、在線計算量小、控制效果好,學習控制被應用于工業(yè)機器人控制、化工過程控制等場合。

應用ILC方法時,要求每次的初始定位必須處于某個理想位置,但實際上無法做到。實際應用時只能在某個指定區(qū)間實現(xiàn)完全跟蹤。在此情形下,可放松對初始定位條件的限制,即每次迭代時的初始狀態(tài)可不相同。重復學習控制對初始定位操作不作要求,從而回避了迭代學習控制中的初始定位問題,一定程度上推廣了重復學習控制的應用范圍。

在有初態(tài)偏差的情形下,為了實現(xiàn)完全跟蹤,研究者做了大量有益的工作[4-22]。目前的解決方法主要分為兩類,一類是壓縮映射方法,另一類是Lyapunov-like方法。LEE等[9]和PARK等[10]提出了一種基于固定初態(tài)誤差的修正方法,能在指定區(qū)間實現(xiàn)完全跟蹤；針對線性連續(xù)多智能系統(tǒng),李國軍等[12]提出了一種用step-by-step控制器修正高階多智能體的初態(tài)誤差方法,但該方法只能修正固定初態(tài)誤差,無法修正任意初態(tài)誤差；LI等[13]提出了一種針對任意初態(tài)誤差的修正方法,但無法完全修正初始誤差,而且只適用于一階系統(tǒng)。對于相對高階離散系統(tǒng),在初態(tài)偏差滿足某種特定條件下,LI等[14]實現(xiàn)了精確跟蹤；對于迭代時變不確定系統(tǒng),MEMG等[15]實現(xiàn)了有界跟蹤。對于任意初態(tài)誤差的情形,一般采用Lyapunov-like分析方法[16-22]；CHIEN等[18]應用邊界層方法達到了漸近跟蹤；文獻[19-21]利用吸引子達到了實際完全跟蹤；YIN等[22]提出了一種離散自適應ILC方法,能確保系統(tǒng)沿著迭代軸漸近收斂、沿著時間軸在指定區(qū)間內(nèi)逐點收斂。

無論是迭代學習控制還是重復學習控制都有自己的優(yōu)勢。但一般的過程控制,既不滿足迭代學習控制有限區(qū)間重復作業(yè)的要求,也不滿足重復學習控制中目標軌跡具有周期性或重復性的特點。本文針對任意初態(tài)下帶有擾動的線性定常系統(tǒng),利用迭代學習控制的思想,提出了一種新的學習控制算法,該算法將受控過程分成無窮個子過程,不僅可利用上一子過程的輸入輸出信息來調(diào)節(jié)當前的輸入,而且還可通過初始修正策略獲得更快更好的控制效果。該算法系統(tǒng)穩(wěn)定,且當子過程長度趨向零時,可實現(xiàn)任意小誤差跟蹤。

1 問題闡述

考慮線性定常系統(tǒng)

其中,t∈ [0,∞ ),x(t)∈Rn,y(t)∈Rr,u(t)∈Rm分別表示系統(tǒng)狀態(tài)、控制輸入和輸出向量,ω(t)∈Rn為系統(tǒng)擾動。A,B,C是合適維數(shù)的系統(tǒng)參數(shù)矩陣，并且B,C可逆。

設yd(t)是給定的期望軌跡，xd(t)是給定的期望狀態(tài)，e(t)=yd(t)-y(t)表示輸出誤差。

假設 初始狀態(tài)x(0)隨機，并且狀態(tài)x(t)可測。

為便于收斂性分析,采用以下形式來描述系統(tǒng)(1)：

其中,t∈[0,h]指有限時間,h為預設的時間常量;k=0,1,2,…,可以理解為迭代次數(shù);xk(t)∈Rn,yk(t)∈Rr,uk(t)∈Rm,ωk(t)∈Rn(相應可以簡寫為xk,yk,uk,ωk)分別表示系統(tǒng)狀態(tài)、控制輸入、輸出和擾動向量。

設yk,d(t)和xk,d(t)(可簡寫為yk,d和xk,d)分別表示kh+t時刻的期望軌跡和期望狀態(tài)，ek(t)=yk,d(t)-yk(t)表示kh+t時刻的輸出誤差。

由系統(tǒng)(2)和系統(tǒng)(1),有

同理,yk(t),yk,d(t),xk,d(t),ωk(t)和ek(t)也具有類似于式(3)的性質(zhì)。

2 控制器設計

本節(jié)的任務是設計一套控制算法,使得系統(tǒng)(2)能跟蹤期望軌跡。為此,提出下面的控制律：

其中,

事實上,控制律中的函數(shù)Θ(t)并不唯一,但須滿足以下性質(zhì)：

性質(zhì)對函數(shù)Θ(t),有

注1此性質(zhì)表明,Θ(t)函數(shù)經(jīng)過1次積分后具有與脈沖函數(shù)類似的作用。而實際中,脈沖函數(shù)是不存在的,因此可用此函數(shù)代替脈沖函數(shù)。

3 收斂性分析

這一節(jié)著重分析系統(tǒng)(2)在應用控制律(4)以后的收斂性。上節(jié)提出的控制律(4)中,引入了初始修正函數(shù)Θ(t),關于初始修正函數(shù)有以下定理：

定理如果初始狀態(tài)是任意有限值,C,B,I+CBΓ1都是可逆矩陣,并且滿足

那么，修正控制律(4)能使系統(tǒng)(2)跟蹤目標軌跡,并且當k→∞時,跟蹤誤差可達任意小。

證明為書寫方便,記

當t∈[kh,(k+1)h)時,可得

上式兩端同乘以矩陣C,整理后可得

代入Ξk(0)和Ξk+1(0)的表達式,進一步化簡上式，可得

上式兩端同時左乘(I+CBΓ1)-1,可得

假設軌跡

可實現(xiàn),相應的誤差記為e*k(t)=yk*,d(t)-yk(t),而且

由式(6)和(7)得

時,有

且當t=h時,根據(jù)Θ(t)函數(shù)的性質(zhì)有

由式(7)有

注2由β的定義知

事實上,如果系統(tǒng)(2)無擾動,只需采用以下控制律即可：

其中,

在此情形下,

上式兩端同乘以C并代入Ξ(0),化簡后可得

因此,當t≥h時,誤差e(t)≡ 0。

4 數(shù)值仿真

考慮連續(xù)系統(tǒng)

顯然,該系統(tǒng)不穩(wěn)定。其作業(yè)區(qū)間為[0,20],系統(tǒng)的跟蹤軌跡為yd,1(t)=cos(0.1πt),yd,2(t)=sin(0.1πt)。系統(tǒng)擾動為rand(rand表示0～1之間的隨機數(shù)),系統(tǒng)運行之前的初始狀態(tài)為x1(0)=0,x2(0)=0?？刂圃鲆姒?=0.8,Γ1=0.8,修正時間h=0.2。仿真結(jié)果如圖1～圖3所示。

圖1 期望軌跡yd(t)和實際軌跡y(t)Fig.1 Desired trajectoryyd(t)and actual trajectoryy(t)

從圖1和圖2中可以看出,系統(tǒng)在初始階段并未跟蹤上目標軌跡,而是經(jīng)過若干個周期的修正后才實現(xiàn)跟蹤，但仍無法達到完全跟蹤。

圖2 實際跟蹤誤差e(t)Fig.2 Actual tracking errore(t)

圖3 控制量u(t)Fig.3 Actual tracking erroru(t)

從圖3中可以看出,系統(tǒng)以0.2為周期不斷進行修正,直至誤差為零。由于跟蹤過程中存在隨機擾動,控制器存在輕微顫振。

若系統(tǒng)無擾動,則只需經(jīng)過1次修正即可達到完全跟蹤。

5 結(jié) 論

討論了帶有擾動的線性定常系統(tǒng)的學習控制問題,基于迭代學習控制思想,借助壓縮映射手段,提出了一種帶修正因子的控制策略。對于連續(xù)系統(tǒng),通過不斷修正跟蹤誤差,將誤差控制在一定范圍,當修正區(qū)間長度趨于零時,可實現(xiàn)任意小誤差跟蹤。特別地,當系統(tǒng)無擾動時,可在指定區(qū)間實現(xiàn)完全跟蹤。本文從理論和實踐兩方面驗證了算法的有效性。