非自治動(dòng)力系統(tǒng)中周期跟蹤和極限跟蹤的研究

冀占江 ，楊甲山

（1.梧州學(xué)院大數(shù)據(jù)與軟件工程學(xué)院，廣西梧州543002；2.梧州學(xué)院廣西高校圖像處理與智能信息系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西梧州543002）

0 引 言

跟蹤性是動(dòng)力系統(tǒng)中重要的概念之一，不僅與系統(tǒng)的穩(wěn)定性和混沌密切相關(guān)[1],而且在計(jì)算數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景，已成為一種重要的技術(shù)工具。隨著動(dòng)力系統(tǒng)的不斷發(fā)展，基于理論和實(shí)際的需要，出現(xiàn)了各種跟蹤性概念，例如周期跟蹤性、極限跟蹤性、漸進(jìn)平均跟蹤性、序列跟蹤性、強(qiáng)跟蹤性、Lipschitz跟蹤性等，在離散動(dòng)力系統(tǒng)中，這些跟蹤性的理論已經(jīng)非常成熟[2-10]。趙俊玲等[2]研究了緊致度量空間中周期偽軌跟蹤性和偽軌跟蹤性的關(guān)系；李明軍等[3]研究了逆極限空間中f具有序列跟蹤性與移位映射σ具有序列跟蹤性的關(guān)系，冀占江[4]研究了拓?fù)淙鹤饔孟履鏄O限空間中f具有強(qiáng)跟蹤性與移位映射σ具有強(qiáng)跟蹤性的關(guān)系。由于非自治動(dòng)力系統(tǒng)的研究起步較晚，其理論成果不及離散系統(tǒng)豐富與完善。目前，很多學(xué)者已在研究非自治動(dòng)力系統(tǒng)的混沌、熵、穩(wěn)定性等動(dòng)力學(xué)性質(zhì)[11-13]，但有關(guān)非自治動(dòng)力系統(tǒng)跟蹤性的研究成果較有限[14-15]。本文受文獻(xiàn)[3-4]研究思路的啟發(fā)，通過(guò)將周期跟蹤性和極限跟蹤性的概念引入非自治動(dòng)力系統(tǒng)，以研究非自治動(dòng)力系統(tǒng)中的拓?fù)涔曹棽蛔冃?，得 到 ：(1)若拓?fù)涔曹椨趧tF具有周期跟蹤性當(dāng)且僅當(dāng)G具有周 期 跟 蹤 性 ；(2)若拓?fù)涔曹椨贕=則F具有極限跟蹤性當(dāng)且僅當(dāng)G具有極限跟蹤性。另外，還在非自治動(dòng)力系統(tǒng)中引入乘積系統(tǒng)定義，并證明了：若乘積系統(tǒng)(X×Y,F×G)具有周期跟蹤性，則(X,F)和(Y,G)具有周期跟蹤性。由于離散動(dòng)力系統(tǒng)是非自治動(dòng)力系統(tǒng)的一種特殊情況，因此,本文的結(jié)論是對(duì)離散動(dòng)力系統(tǒng)中周期跟蹤和極限跟蹤性相應(yīng)結(jié)果的推廣，同時(shí)也豐富了非自治動(dòng)力系統(tǒng)周期跟蹤性和極限跟蹤性理論，有一定的學(xué)術(shù)價(jià)值。

1 有關(guān)概念和記號(hào)

定義1設(shè)X，Y是拓?fù)淇臻g，若f：X→Y為一一 映 射 ，并 且f，f-1：Y→X都 是 連 續(xù) 的 ,則稱f為同胚映射。

定義 2［12]設(shè) (X,d)是度量空間，fk：X → X 為一列連續(xù)映射，k=1,2,…，f0為單位映射，記Fk=fk?fk-1?… ?f1?f0，稱為X上的一個(gè)時(shí)變映射族，(X,d,F)為非自治離散動(dòng)力系統(tǒng),簡(jiǎn)稱(X,F)非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)。

定義3[13]設(shè)(X,F)為非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)，為X上的一個(gè)時(shí)變映射族，x∈X。 若存在正整數(shù)m∈N+使得Fm(x)=x，則稱點(diǎn)x為F的周期點(diǎn)。F周期點(diǎn)組成的集合記為P(F)。

定義4[13]設(shè)(X,F)和(Y,G)為非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)和分別為X和Y上的時(shí)變映射族。若存在同胚映射h：X→Y使得對(duì)任意的自然數(shù)k均有g(shù)k?h=h?fk，則稱與關(guān)于h拓?fù)涔曹棥?/p>

下面參照離散動(dòng)力系統(tǒng)中周期跟蹤性和極限跟蹤性的定義，給出非自治動(dòng)力系統(tǒng)中周期跟蹤性和極限跟蹤性的概念。

定義5設(shè)(X,d)為度量空間為X上的時(shí)變映射族為X中的序列。若對(duì)任意的i≥ 0，均有d(fi+1(xi),xi+1)＜δ，則稱是F的δ-偽軌。

定義6設(shè)(X,d)為 度量空間為X上的時(shí)變映射族為F的δ-偽軌。若存在n＞ 0使得xkn+j=xj,k＞ 0,0≤j＜n，則稱是F的δ-周期偽軌。

定義7設(shè)(X,d)為度量空間為X上的時(shí)變映射族為X中的序列。若對(duì)任意的i≥ 0，均有d(Fi(y),xi)＜ε，則稱yε-跟蹤

定義8設(shè)(X,d)為度量空間為X上的時(shí)變映射族，?ε＞ 0，?δ＞ 0，使得對(duì)X中F的任意δ-周期偽軌存在y∈P(F)，y ε- 跟蹤則稱F具有周期跟蹤性。

定義9設(shè)(X,d)為度量空間為X上的時(shí)變映射族為X中的序列。若則稱是F的極限偽軌。

定義10設(shè)(X,d)為度量空間為X上的 時(shí)變映射族為X中的序列。若則稱y極限跟蹤

定義11設(shè)(X,d)為度量空間為X上的時(shí)變映射族。若對(duì)X中F的任意極限偽軌存在y∈X，y極限跟蹤則稱F具有極限跟蹤性。

設(shè) (X,d1)和 (Y,d2)為度量空間和分別為X和Y上的時(shí)變映射族。在乘積空間X×Y定義d：

則d為乘積空間X×Y上的度量。

設(shè)f：X→X連續(xù)，g：Y→Y連續(xù)，定義映射

則稱f×g是f與g的乘積映射。記

為X×Y時(shí)變映射族，因此(X×Y,F×G)為非自治動(dòng)力系統(tǒng)。

定義12設(shè)(X,F)和(Y,G)為非自治離散動(dòng)力 系 統(tǒng)如上定義，此時(shí)(X×Y,F×G)為非自治動(dòng)力系統(tǒng)，稱(X×Y,F×G)為(X,F)和(Y,G)的乘積空間。

2 相關(guān)引理

引理1設(shè)(X,F)和(Y,G)為非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)分別為X和Y上的時(shí)變映射族，m∈N，若關(guān)于h：X→Y拓?fù)涔曹?，則有

(1)h?Fm=Gm?h；

(2)Fm?h-1=h-1?Gm。

證明由定義很容易得到，這里不再證明。

引理2設(shè)(X,F)和(Y,G)為非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)和分別為X和Y上的時(shí)變映射族,x∈X。 若與關(guān)于h：X→Y拓?fù)涔曹?，則

證明設(shè)x∈P(F)，則?m∈ N+，使得

由引理1知

又hFm(x)=h(x)，故Gm(h(x))=h(x)，因 此h(x)∈P(G)。

設(shè)h(x)∈P(G)，則 ?n∈ N+，使得

同樣由引理1知

故h(Fn(x))=h(x)。又h是同胚映射，故Fn(x)=x，則x∈P(F)。

引理3設(shè)(X,F)和(Y,G)為非自治離散動(dòng)力系統(tǒng),(X×Y,F×G)為(X,F)和(Y,F)的乘積空間 ，z=(x,y)∈X×Y，若z∈P(F×G)，則x∈P(F)，y∈P(G)。

證明設(shè)z=(x,y)∈P(F×G)，則存在n＞0使得(F×G)n(x,y)=(x,y)。 因此Fn(x)=x，Gn(y)=y，故x∈P(F)，y∈P(G)。

3 主要定理及證明

定理1設(shè)(X,d1)和(Y,d2)為緊致度量空間，分別為X和Y上的時(shí)變映射族。若關(guān) 于h：X→Y拓?fù)涔曹?，則F具有周期跟蹤性當(dāng)且僅當(dāng)G具有周期跟蹤性。

證明設(shè)F具有周期跟蹤性。由h：X→Y一致連 續(xù) 知 ，?ε＞ 0，?0＜ε1＜ε，當(dāng)d1(z1,z2)＜ε1時(shí)，有

由F具有周期跟蹤性知，對(duì)ε1＞ 0，存在ε2＞ 0，使得當(dāng)是X中F的任意ε2-周期偽軌時(shí)，存在x∈P(F)，xε1跟 蹤由h-1：Y→X一 致 連續(xù) 知 ，對(duì)ε2＞ 0，?0 ＜ε3＜ε2，當(dāng)d2(z3,z4)＜ε3時(shí)，有

故

又h-1是一一映射，故是F的ε2-周期偽軌。 因此存在x∈P(F)，對(duì)?i≥ 0，有

由式(1)知，

由引理1知，當(dāng)i≥ 0時(shí)，有

由引理2知，h(x)∈P(G)。故G具有周期跟蹤性。

假設(shè)G具有周期跟蹤性。由h-1：Y→X一致連續(xù)知，?η＞ 0，?0 ＜η1＜η，當(dāng)d2(z1,z2)＜η1時(shí)，有

由G具有周期跟蹤性知，對(duì)η1＞ 0，存在η2＞ 0，使得當(dāng)是Y中G的任意η2-周期偽軌時(shí)，存在跟 蹤由h：X→Y一 致 連 續(xù)知，對(duì)η2＞ 0，?0 ＜η3＜η2，當(dāng)d1(z3,z4)＜η3時(shí)，有

故

又因h是一一映射，故{h(xi)}∞i=0是G的η2-周期偽軌。 因此，存在y∈P(G)，對(duì) ?i≥ 0，有

由式(3)知，

由引理1知，當(dāng)i≥ 0時(shí)，有

由引理2知，h-1(y)∈P(F)。故F具有周期跟蹤性。

定理2設(shè)(X,d1)和(Y,d2)為緊致度量空間，和分別為X和Y上的時(shí)變映射族。若與關(guān)于h：X→Y拓?fù)涔曹?，則F具有極限跟蹤性當(dāng)且僅當(dāng)G具有極限跟蹤性。

證明設(shè)F具有極限跟蹤性為G作用下的極限偽軌，則由h-1：Y→X一 致 連 續(xù) 知 ，?ε＞ 0，?0 ＜ε1＜ε，當(dāng)d2(z1,z2)＜ε1時(shí)，有

對(duì)ε1＞ 0，?N1∈ N+,當(dāng)i＞N1時(shí)，有

由式(5)知，

故

由h：X→Y一 致 連 續(xù) 知 ，?0＜ε2＜ε，當(dāng)d1(z3,z4)＜ε2時(shí)，有

對(duì)ε2＞ 0，?N2∈ N+,當(dāng)i＞N2時(shí)，有

由式(6)知，

由引理1知，

設(shè)G具有極限跟蹤性為F作用下的極限偽軌，則由h：X→Y一致連續(xù)知，對(duì) ?η＞ 0，?0＜η1＜η，當(dāng)d1(z1,z2)＜η1時(shí)，有

對(duì)η1＞ 0，?N3∈ N+,當(dāng)i＞N3時(shí)，有

由式（7）知，

故

因此{(lán)h(xi)}∞i=0是G的極限偽軌，由G具有極限跟蹤性知，存在y∈Y，有

由h-1：Y→X一 致 連 續(xù) 知 ，?0＜η2＜η，當(dāng)d2(z3,z4)＜η2時(shí)，有

對(duì)η2＞ 0，?N4∈ N+,當(dāng)i＞N4時(shí)，有

由式（8）知，

由引理1知，

定理3設(shè)(X,d1)和(Y,d2)為緊致度量空間，分別為X和Y上的時(shí)變映射族,(X×Y,F×G)為(X,F)和(Y,F)的乘積空間。若F×G具有周期跟蹤性，則F和G具有周期跟蹤性。

證明設(shè)F×G具有周期跟蹤性，則對(duì)任意的ε＞ 0，存在δ＞ 0，使得當(dāng)中F×G的任意δ-周期偽軌時(shí)，存在t∈P(F×G)，tε跟蹤設(shè)為F的δ-周期偽軌，{yi}i≥0為G的δ-周期偽軌。則有

取zi=(xi,yi),i≥ 0，則有

故

由引理3知，x∈P(F)，y∈P(G)，故F和G具有周期跟蹤性。

4 總 結(jié)

在非自治動(dòng)力系統(tǒng)中引入了周期跟蹤性和極限跟蹤性的概念，利用拓?fù)涔曹椨成浜统朔e映射的性質(zhì)，研究了周期跟蹤的拓?fù)洳蛔冃院统朔e性，以及極限跟蹤的拓?fù)洳蛔冃裕玫搅溯^好的結(jié)果，推廣和改進(jìn)了離散動(dòng)力系統(tǒng)中周期跟蹤性和極限跟蹤性的結(jié)果，為跟蹤性在計(jì)算數(shù)學(xué)、生物數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)等領(lǐng)域的應(yīng)用提供了理論依據(jù)和科學(xué)基礎(chǔ)。