基于“過程”教育觀的“§6.9直線相交(1)”的教學(xué)及其思考

張煒

摘要：學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展需要在有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中落實(shí)，但在以“§6.9直線相交（1）”為載體的研教活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)，概念教學(xué)普遍存在“過程”教育短暫或者缺失的現(xiàn)象.本文在“過程”教育理論的指導(dǎo)下，對于本節(jié)課的教學(xué)過程進(jìn)行重建，改進(jìn)后的教學(xué)方案在觀摩課上實(shí)施后取得了較好的評價(jià).

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);過程教育;直線相交;教學(xué)反思

1 背景介紹

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)（以下簡稱它）的形成與發(fā)展是學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的重要教學(xué)目標(biāo)之一，有專家指出“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化活動(dòng)之后所積淀和升華的產(chǎn)物”[1].這就是說，教師要用“慢”節(jié)奏的教學(xué)過程才能促進(jìn)它在學(xué)生的思維中扎根和生長.它需要在學(xué)生積極參與合理的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中才會(huì)形成.但在以浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級上冊第六章第9節(jié)“直線相交（1）”為載體的“多人同課異構(gòu)”的研修活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)，課堂教學(xué)中普遍存在對于概念的產(chǎn)生、理解、應(yīng)用、鞏固等四個(gè)基本環(huán)節(jié)中存在“過程”教育不到位的現(xiàn)象，鑒于此，筆者以師訓(xùn)主題“過程教育下的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和實(shí)踐”的教育觀為指導(dǎo)思想，對本節(jié)課的教學(xué)過程進(jìn)行了重構(gòu).改進(jìn)后的教學(xué)過程在接下來的評課中，獲得聽課教師較好的評價(jià)，并且在課后與學(xué)生的交談中，學(xué)生普遍認(rèn)為本節(jié)課聽得輕松、學(xué)的自然、理解深刻.下面呈現(xiàn)改進(jìn)后的教學(xué)過程，并提供教學(xué)后的反思.

2 教學(xué)實(shí)錄

環(huán)節(jié)1經(jīng)歷相交概念的產(chǎn)生與意義的過程——直線相交概念的索引

師：我們知道每條直線都有一些不變性，也稱為直線的性質(zhì).這些不變性對于直線的變化具有很好的刻畫作用.請你根據(jù)下列的問題回憶直線的一些性質(zhì).

師：觀察與思考：

（1）過一點(diǎn)的直線有多少條？幾個(gè)點(diǎn)確定一條直線？

（2）直線怎樣表示？（用圖中的字母來表示）

（3）我們在紙上畫的兩直線有哪些位置關(guān)系呢？

（4）直線的公共點(diǎn)都是只有一個(gè)的嗎？

（學(xué)生獨(dú)立思考或小組合作、教師巡視指導(dǎo)，等待學(xué)生的完成）

生1：過一點(diǎn)的直線有無數(shù)條，兩點(diǎn)確定一條直線.

生2：-條直線的表示為直線AB或直線。（如圖1）.

生3：經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)的直線表示為：直線a，b，c，d，e相交于點(diǎn)0或過同一個(gè)點(diǎn)0的直線a，b，c，d，e（如圖2）.

生4：不經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)的直線表示為：直線a，b，c，d，e相交于不同的點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)或過不同的點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)的相交直線a，b，c，d，e（如圖3）.

生5：我在紙上畫出來的兩條直線有平行、相交、垂直三種位置關(guān)系（如圖4）.

生6：我認(rèn)為他說的不對，兩直線的垂直是兩直線相交的特殊情況.

生7：直線的公共點(diǎn)有些是只有一個(gè)，有些是多個(gè)的，如圖2中的直線的公共點(diǎn)是只有一個(gè)的，圖5中的直線的交點(diǎn)是多個(gè)的.兩條直線相交只有一個(gè)公共點(diǎn).

師：很好，同學(xué)們在回憶直線的性質(zhì)中指出了一條直線的形狀、表示、確定等基本內(nèi)容，當(dāng)有公共點(diǎn)的直線增加數(shù)量時(shí)，直線之間公共點(diǎn)的位置和數(shù)量都會(huì)發(fā)生變化.那么直線有公共點(diǎn)的現(xiàn)象應(yīng)該從幾條直線開始呢？

生8：有公共點(diǎn)的直線從兩條直線相交開始.

師：對的，兩直線相交是直線有公共點(diǎn)的起點(diǎn)，那么從兩條直線相交開始，隨著相交的直線數(shù)量增加，直線相交又有哪些新的特性呢？這也是我們系統(tǒng)地研究直線相交的必要.像研究一條直線一樣，我們在認(rèn)識兩直線相交概念的基礎(chǔ)上，采用簡單到復(fù)雜的研究策略，先來研究兩條直線相交的關(guān)系（位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系）、特性（不變描述變化）及其應(yīng)用，

師：看來，公共點(diǎn)成為兩直線相交位置關(guān)系的關(guān)鍵數(shù)據(jù).下面給出兩直線相交的概念：

如果兩條直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，就說這兩條直線相交（ intersection），該公共點(diǎn)叫做這兩條直線的交點(diǎn).（ intersection point）（如圖5）.

環(huán)節(jié)2參與相交性質(zhì)的探究與形成的活動(dòng)——對頂角概念的形成

師：老師用劃線標(biāo)注了關(guān)鍵詞，除了它們都具備有唯一的公共點(diǎn)，兩直線相交還有哪些共同點(diǎn)呢？觀察圖6和7，你從中獲得哪些啟示.提示：一條直線的位置變化可以用角來衡量.

生8：圖7中，四個(gè)角∠1，∠2，∠3，∠4是90°，因?yàn)檫@四個(gè)角是直角.

師：你觀察的正確，從角的特征去刻畫直線相交的位置變化，這也是直觀描述直線相交的一個(gè)重要方法.那么，這四個(gè)角的位置特征是怎樣的？

生9：這四個(gè)角的位置有些是相鄰的，有些是相對的.

師：對的，相鄰的角在上一節(jié)（§6.8余角和補(bǔ)角）已經(jīng)學(xué)習(xí)過，下面重點(diǎn)關(guān)注相對的角的結(jié)構(gòu)，它們彼此的位置特征是怎樣的？（提示：從角的頂點(diǎn)，角的兩邊去觀察、思考）

生10：角的頂點(diǎn)相同，角的兩邊在同一條直線上.

師：由于角的兩邊是射線，準(zhǔn)確地說，角的兩邊互為反向延長線.

師：對比圖6，有這樣相對的角嗎？角的位置特征一樣嗎？

眾生：還存在，位置特征一樣.

師：結(jié)合直線相交的認(rèn)識，下面用數(shù)學(xué)語言給出對頂角的概念，兩條直線相交形成四個(gè)角中，相對的一對角叫做對頂角（ opposite aagle）.

師：在圖7中角的標(biāo)注是什么含義？形成的四個(gè)角大小彼此是怎樣的？這樣的現(xiàn)象在圖6還存在嗎？

生11：角的標(biāo)注是直角的含義.因?yàn)閮删€垂直，很容易確定∠1=∠2=∠3= ∠4 =90°.

師：對的，這是直線相交的特殊情形，那么，在圖6中，這樣的四個(gè)角還能相等嗎，請說明理由.（學(xué)生畫圖思考，允許合作討論）

生12：我發(fā)現(xiàn)，相對的兩個(gè)角還能相等.分別是∠3與∠4;理由：因?yàn)椤?+∠4=1800，又因?yàn)椤?+∠3 =180°，所以∠3=∠4，依據(jù)是同角的補(bǔ)角相等.同理可得∠1=∠2.

師：同學(xué)們結(jié)合補(bǔ)角的認(rèn)識，由直角（特殊）到任意角（一般）產(chǎn)生對頂角的大小是相等關(guān)系.這也是我們研究事物的一般規(guī)律，先從特殊的人手，由特殊到一般.對頂角的相等，又為研究兩直線相交提供了一個(gè)形與數(shù)的聯(lián)系.（具體關(guān)系圖如下）對頂角相等是對頂角的性質(zhì)，也是兩直線相交的性質(zhì).

兩直線相交，相對的角（線）[形]對頂角 角的頂點(diǎn)相同，角的邊互為反向延長線（角）[數(shù)]

環(huán)節(jié)3 參與嘗試知識應(yīng)用的活動(dòng)——合作完成有代表性的問題

首先，要求完成課本的課內(nèi)練習(xí)（1）（2），并在學(xué)生完成之后組織學(xué)生進(jìn)行交互反饋與評價(jià).

其次，要求學(xué)生解答下列問題：

（1）觀察下列圖片，∠1與∠2是對頂角的是（ ）.

（2）如圖8，已知直線AD與BE相交于點(diǎn)0，∠DOE與∠COE互余，∠COE= 62°，求∠AOB的度數(shù).

師：哪位同學(xué)已經(jīng)做到心中有數(shù)，請舉手，上黑板講解思路.

師：結(jié)合對頂角的思路，可以匯總為以下兩個(gè)方面：

分析1 由因索果

由直線AD與BE相交于O知∠AOB與∠DOE是對頂角;

由直線∠DOE與∠COE互余知∠DOE+∠COE=90°：

由∠COE =62°知∠DOE =90° -∠COE =28°;

由∠AOB= ∠DOE知∠AOB =28°.

分析2 由果索因

求∠AOB只需∠AOB與∠DOE是對頂角;

求∠DOE只需∠DOE與∠COE互余;

求∠DOE只需∠COE= 62。.

詳解因?yàn)椤螪OE與∠COE互余（已知），

所以∠DOE+∠COE =90°（互余的意義）.

所以∠DOE= 90° -∠COE =90° -62°= 28°.

又因?yàn)椤螦OB與∠DOE是對頂角（已知），

所以∠AOB= ∠DOE（對頂角相等）.

所以∠AOB =28°，

師：下面做一些解題思路上的反思，除了采用對頂角相等的推算外，還有些同學(xué)采用平角結(jié)構(gòu)推算，大家比較一下，解題思路上對頂角有哪些優(yōu)勢？

眾生：角的計(jì)算更快，已知角和未知角的聯(lián)系的途徑更方便…….

（3）思考與探索

材料1 小明是一個(gè)愛動(dòng)腦筋的學(xué)生，他在學(xué)習(xí)了直線、線段之后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)一條直線上有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段的總數(shù)與點(diǎn)的個(gè)數(shù)n之間是有規(guī)律的？你知道這個(gè)規(guī)律嗎？（如圖9）

材料2 在學(xué)習(xí)了角之后，他對于一個(gè)端點(diǎn)引出的n條射線形成的角進(jìn)行了再思考，他認(rèn)為角的總數(shù)與線段的總數(shù)計(jì)算結(jié)果一致，你認(rèn)為對嗎？（如圖10）

材料3 在學(xué)習(xí)了直線相交之后，他認(rèn)為直線相交于一點(diǎn)的對頂角的個(gè)數(shù)與直線的條數(shù)n也是符合的，你同意嗎？（如圖11）

師：回憶在直線上的n個(gè)點(diǎn)，線段的總數(shù)用點(diǎn)的個(gè)數(shù)是多少呢？

生13：答案是n（n-1）/2.

師：那對于角的總數(shù)的計(jì)算用射線的數(shù)量n來衡量一樣嗎？

生14：我們比較過答案是一致的，也是n（n-1）/2

師：那么對于對頂角的總數(shù)用直線的數(shù)量n來衡量還一致嗎？（提示直線很多，可以先從數(shù)量少的方面來驗(yàn)證）.

生15：我驗(yàn)證過，以兩條直線相交為例，就不符合，因?yàn)閚=2時(shí)，對頂角的數(shù)量是2對.按照n（n-1）/2的計(jì)算結(jié)果2×1/2 =1，答案不一致（如圖12）.

生16：我根據(jù)他的回答采用三條直線驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)也不成立（如圖13）.

師：那么這里的對頂角總數(shù)的謎底是什么，下面同學(xué)們在練習(xí)紙上畫一畫、想一想，也可以同桌交流一下.不妨就先從三條直線相交于一點(diǎn)開始.

生17：我是采用數(shù)角的方式.對頂角是一對，我數(shù)其中一半角的數(shù)量，發(fā)現(xiàn)3對對頂角.以點(diǎn)O為頂點(diǎn)先考慮單獨(dú)一個(gè)角，再考慮兩個(gè)角拼起來的方式.具體如圖14.

生18：老師，不對，我發(fā)現(xiàn)兩個(gè)銳角拼在一起構(gòu)成一個(gè)較大的銳角，還有三個(gè)對頂角，具體如圖15.

師：根據(jù)角的結(jié)構(gòu)特征確定對頂角的數(shù)量是一個(gè)不錯(cuò)的考慮方式.后一個(gè)同學(xué)注意角的和、差，發(fā)現(xiàn)圖形中拼在一起也存在新的對頂角的特征.這構(gòu)成了直接性和間接性.根據(jù)對頂角的特點(diǎn)你還有哪些統(tǒng)計(jì)對頂角的方式呢？

生：我根據(jù)前面學(xué)習(xí)通過射線數(shù)角的方式，選擇某條直線為基準(zhǔn)，分為兩部分，具體如圖16.

生19：我是從上面同學(xué)的講解獲得啟發(fā)，通過對頂角是兩直線相交形成的，因此我通過數(shù)相交線的方法去數(shù)對頂角的數(shù)量，具體如圖17.

生20：我也有方法了，我發(fā)現(xiàn)每條直線與另外的直線相交構(gòu)成對頂角，所以我數(shù)直線的方式就夠了.具體操作如下：三條直線除自己外還剩下兩條直線，可以形成2對對頂角，合計(jì)為3 x2 =6（組）對頂角.

師：觸類旁通，相互啟發(fā)形成思維的創(chuàng)造性，這也是數(shù)學(xué)的魅力.數(shù)學(xué)是屬于大家的，數(shù)學(xué)的美在于集思廣益不斷發(fā)現(xiàn)新的方法.那么我們把這些從三條直線相交于一點(diǎn)的對頂角總數(shù)的成果進(jìn)一步推算到四條直線相交于一點(diǎn)……，n條直線形成的對頂角的總數(shù)是多少呢？

眾生：n（n-l）.

環(huán)節(jié)4參與回顧與反思的活動(dòng)——師生參與反思與小結(jié)

首先，教師出示下列“問題清單”，并要求學(xué)生圍繞“問題清單”進(jìn)行回顧與思考.

（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？

（2）我們是怎樣探究兩直線相交的概念及性質(zhì)的？

（3）對頂角的特征是怎樣確定的？

（4）你在學(xué)習(xí)過程中還有何感觸？

其次，教師組織學(xué)生進(jìn)行合作交流，同時(shí)教師邊傾聽、邊評價(jià).