盤點中考中具有生活氣息的“圓”

吳國慶

摘要：圓作為日常生活中常見圖形，是中考命題的一個熱點.本文從生活出發(fā)，以數(shù)學的視角，例析現(xiàn)實生活中的圓（?。┰谥锌贾谐霈F(xiàn)的一類試題.

關鍵詞：生活;圓（弧）;中考

生活中的圓（?。﹫D形比比皆是，其在各地中考試題中也頻頻出現(xiàn)，現(xiàn)分類例析如下：

1 圖案與對稱

例1 （山東青島中考題）下列四個圖形中，是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是（）.

解析在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形;在平面內(nèi)，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，故選A.

評析生活中有很多與圓（?。┫嚓P的美麗圖案，利用軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義可以判斷其對稱性.

2 破鏡與圓弧

例2（江蘇常州中考題）如圖1，把直角三角板的直角頂點0放在破損玻璃鏡的圓周上，兩直角邊與圓弧分別交于點M、N，量得OM= 8cm，ON= 6cm，則該圓玻璃鏡的半徑是（）.

A. √10cm

B.5cm

C.6cm

D.lOcm

所以該圓玻璃鏡的半徑是1/2MN=5cm.故選B.評析利用90°的圓周角所對的弦為直徑及勾股定理求直徑，從而求出半徑.

3 拱橋與圓弧

例3（貴州六盤水中考題）趙洲橋是我國建筑史上的一大創(chuàng)舉，它距今約1400年，歷經(jīng)無數(shù)次洪水沖擊和8次地震卻安然無恙.如圖2，若橋跨度AB約為40米，主拱高CD約10米，則橋弧AB所在圓的半徑R=

米.

解析 根據(jù)垂徑定理，得AD=1/2AB=20米.設圓的半徑是r，根據(jù)勾股定理，得R²=20²+（R -10）²，解得R=25（米）.故答案為25.

評析 利用圓中垂徑定理.構造由半徑、半弦、弦心距組成的直角三角形，運用勾股定理進行有關的計算.

4 管道（門）與圓形

例4 （四川樂山中考題）如圖3是“明清影視城”的一扇圓弧形門，小紅到影視城游玩，他了解到這扇門的相關數(shù)據(jù)：這扇圓弧形門所在的圓與水平地面是相切的，AB= CD =0. 25米，BD =1.5米，且AB、CD與水平地面都是垂直的.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，請你幫小紅計算出這扇圓弧形門的最高點離地面的距離是（）.

A.2米 B.2.5米 C.2.4米 D.2.1米

解析 取門的圓心為點O，門與地面切點為點M，連接MO并延長，交圓于點E，連接AC，交OM于點Ⅳ，連接OA，則這扇圓弧形門的最高點離地面的距離為EM.由條件MN=0.25米，AC=1.5米，設OA =r，在△OAN中，有r²=0.75²+（r -0.25）².

所以r =125米，EM =2.5米，故選B.

評析 將管道截面、圓弧形門中相關問題轉(zhuǎn)化為半徑、半弦、弦心距三量關系，利用勾股定理建立方程即可解決.

5 彎道與圓弧

例5（湖北孝感中考題）如圖4，一條公路的轉(zhuǎn)

彎處是一段圓弧AB.

（1）用直尺和圓規(guī)作出AB所在圓的圓心0（要求保留作圖痕跡，不寫作法）;

（2）若AB的中點C到弦AB的距離為20m，AB=80m，求AB所在圓的半徑，

解析（1）如圖5，連結AC、BC，分別作AC和BC的垂直平分線，兩垂直平分線的交點為點0;

（2）連接OA，oc，OC交AB于D，如圖6，根據(jù)垂徑定理的推論，由C為AB的中點得到OC⊥AB，AD=BD= 1AB =40，則CD =20.

設00的半徑為r，在Rt△OAD中由勾股定理得r²=（ r -20）²+40².

解方程得r =50m.

所以AB所在圓的半徑為50m.

評析 問題考查了尺規(guī)作圖，同時也考查了勾股定理和垂徑定理.

6 折疊與圓形

例6（山東聊城中考題）如圖7，點0是圓形紙片的圓心，將這個圓形紙片按下列順序折疊，使弧AB和弧BC都經(jīng)過圓心O，則陰影部分的面積是oo面積的（ ）.

A.1/2 B.1/3 c.2/3 D.3/5

解析 如圖8，作OD⊥AB于點D，由折疊知OD= 1/2AO.連接AO，BO，CO，則∠OAD =30°.

所以∠AOB =2 ∠AOD= 120°.

所以∠AOC= 120°，S陰影=S扇形AO，=1/3S○o.

故答案為B.

評析 本題主要考查了圓的折疊問題，解題的關鍵是確定∠AOC= 120°，計算面積時用到割補法.

7 雨刷與圓弧

例7 （山東青海中考題）如圖9，AC是汽車擋風玻璃前的雨刷器，如果AO =45cm，CO =5cm，當AC繞點0順時針旋轉(zhuǎn)90。時，則雨刷器AC掃過的面積為___cm2（結果保留π）.

解析 由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知OA= OA，OC= OC.AC=A'C，所以△AOC≌△A'OC，可得雨刷AC掃過的面積=S扇形AOA'- S扇形coc=500π，

評析問題涉及到旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及不規(guī)則圖形面積計算（割補方式）.

8 工件與圓形

例8 （四川南充中考題）如圖10，是由兩個長方形組成的工件平面圖（單位：mm），直線Z是它的對稱軸，能完全覆蓋這個平面圖形的圓面的最小半徑是____ mm.

解析 如圖11，設圓心為0，連接AO，CO.

又直線l是對稱軸，所以CM =30，AN =40.

又CM²+ OM²=AN²+ ON²，即30²+ OM²= 40²+（70 - OM）²，解得OM= 40，OC =50.即能完全覆蓋這個平面圖形的圓面的最小半徑是50mm.

評析 利用對稱及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，借助兩組半徑、半弦、弦心距建立方程.

9 扇形與圓錐

例9 （山東淄博中考題）現(xiàn)有一張圓心角為108°，半徑為40cm的扇形紙片，小紅剪去圓心角為θ的部分扇形紙片后，將剩下的紙片制作成一個底面半徑為10cm的圓錐形紙帽（接縫處不重疊），則剪去的扇形紙片的圓心角θ為______..

解析由扇形底面半徑是10cm，可知展開圖扇形的弧長是20πcm.根據(jù)弧長公式20π=nπ·40/180，解得n= 90°.剪去的扇形紙片的圓心角為108°- 90°=18°故答案為18°.

評析問題中要抓住圓錐的母線長等于側(cè)面展開圖的扇形半徑，圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長，依據(jù)這些關系進行扇形和圓錐的相關計算.

10 圓環(huán)與投影

例10（湖南永州中考題）圓桌面（桌面中間有一個直徑為0.4m的圓洞）正上方的燈泡（看作一個點）發(fā)出的光線照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如圖13所示的圓環(huán)形陰影.已知桌面直徑為1.2m，桌面離地面1m，若燈泡離地面3m，則地面圓環(huán)形陰影的面積是（）.

評析 問題考查中心投影，其實是利用“A”形相似圖構造相似進行計算.

11 健身與圓弧

例11 （甘肅省白銀市中考題）圖15是小明在健身器材上進行仰臥起坐鍛煉時的情景，圖16是小明鍛煉時上半身由ON位置運動到與地面垂直的OM位置時的示意圖.已知AC=0.66米，BD=0.26米，a=

（1）求AB的長（精確到0.01米）;

（2）若測得ON =0.8米，試計算小明頭頂由點Ⅳ運動到點M的路徑MN的長度（結果保留π）.

解析（1）過點B作BE⊥AC，垂足為點E，解直角三角形可以求出AB≈1.17米;

（2）可求∠MON= 110°，由弧長公式求出路徑MN的長度為22/45π（米）.

評析 問題為解直角三角形的應用，弧長的計算，要求學生能夠從實際問題中抽象出數(shù)學問題.12等寬曲線與圓形

例12（山東威海中考題）閱讀理解：如圖18，⊙0與直線a、b都相切，不論⊙0如何轉(zhuǎn)動，直線a、b之間的距離始終保持不變（等于⊙0的直徑），我們把具有這一特性的圖形稱為“等寬曲線”.圖19是利用圓的這一特性的例子，將等直徑的圓棍放在物體下面，通過圓棍滾動，用較小的力就可以推動物體前進.據(jù)說，古埃及人就是利用這樣的方法將巨石推到金字塔頂?shù)?

拓展應用：如圖20所示的弧三角形（也稱為萊洛三角形）也是“等寬曲線”.如圖21，夾在平行線c，d之間的萊洛三角形無論怎么滾動，平行線間的距離始終不變，若直線c，d之間的距離等于2cm，則萊洛三角形的周長為____ cm.

評析 問題主要考查新定義下弧長的計算，理解“等寬曲線”得出等邊三角形是解題的關鍵.

13 三角板與圓形

例13 （江蘇鹽城中考題）如圖22，△ABC是一塊直角三角板，且∠C =90°，∠A =30°，現(xiàn)將圓心為點0的圓形紙片放置在三角板內(nèi)部.

（1）如圖22，當圓形紙片與兩直角邊AC、BC都相切時，試用直尺與圓規(guī)作出射線捌CO（不寫作法與證明，保留作圖痕跡）;

（2）如圖23，將圓形紙片沿著三角板的內(nèi)部邊緣滾動1周，回到起點位置時停止，若BC =9，圓形紙片的半徑為2，求圓心0運動的路徑長.