初中數(shù)學(xué)經(jīng)典題賞析

蔣成海

摘要：本文以“蛋圓”“伴侶矩形”“海倫公式”為例對(duì)數(shù)學(xué)經(jīng)典題進(jìn)行詳解，賞析其方法內(nèi)涵，找到解決這類問題的一般思路與技巧.

關(guān)鍵詞：經(jīng)典數(shù)學(xué);問題認(rèn)知;方法指導(dǎo)

1 “蛋圓”的認(rèn)知與求解

例1“蛋圓”是數(shù)學(xué)圖形中的一個(gè)有趣形狀，它是拋物線的一部分與一個(gè)半圓合成的封閉圖形.一條直線如果與“蛋圓”僅有一個(gè)交點(diǎn)，它叫做“蛋圓”的切線.如圖1所示，“蛋圓”與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)分別是點(diǎn)A、B、C、D.半圓部分的圓心為M（1，0），AB為直徑，AB =4，已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-3）.

（1）根據(jù)題目中的已知條件，請(qǐng)寫出“蛋圓”拋物線部分的解析式，并寫出自變量的取值范圍;

（2）請(qǐng)確定“蛋圓”過點(diǎn)C的切線解析式;

（3）請(qǐng)確定“蛋圓”的過點(diǎn)D的切線解析式.

解析（1） AB =4，半圓部分的圓心為M（1，0），由此可知A（-1，0），B（3，0）.

設(shè)拋物線的方程為y=a（x+l）（x-3）（a ≠0）.

又拋物線過點(diǎn)D（0，-3），代入解析式可得-3=a（0+1）（0 -3），解得a=l.

所以拋物線的解析式y(tǒng) =x²-2x -3.

由圖象可知自變量范圍是-1≤x≤3.

（2）連結(jié)CM，“蛋圓”過點(diǎn)C的切線CE交戈軸于點(diǎn)層，半圓的半徑為2，圓心M（1，0）.

在Rt△MOC中，因?yàn)镺M=1，CM =2，所以∠CMO =60°，0C=√F

在Rt△MCE中，因?yàn)镃M =2，∠CMO= 60°，所以ME =4.

所以C（O，√3），E（-3，0）.

所以“蛋圓”的過點(diǎn)C的切線CE的解析式為y=√3/3x+√3

（3）設(shè)“蛋圓”過點(diǎn)D（0，-3）切線的解析式為y=kx-3（k≠0）.

點(diǎn)D（0，-3）是拋物線與切線的唯一公共點(diǎn)，即

點(diǎn)評(píng)“蛋圓”是圓與拋物線結(jié)合形成的一種特殊幾何圖形，把枯燥的解析圖形賦予生命力，能激發(fā)學(xué)生探究的興趣.掌握直線與拋物線方程的確定方法是解題的基礎(chǔ)，充分將圓、三角形、拋物線、直線的基本知識(shí)結(jié)合推理是關(guān)鍵，將數(shù)形與方程思路結(jié)合應(yīng)用是解題的技巧.

2“伴侶矩形”的認(rèn)知與求解

例2 在同一平面內(nèi)，如果OM上一點(diǎn)到矩形ABGD四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，這個(gè)矩形ABCD叫做OM的“伴侶矩形”.如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系中，直線l交x軸于點(diǎn)M且過B、D，l的解析式為y=√3x -3，BD =2，⊙M半徑為2.矩形ABCD沿直線l運(yùn)動(dòng)，保持AB//y軸，運(yùn)動(dòng)中矩形ABCD成為OM的“伴侶矩形”時(shí)，求點(diǎn)C坐標(biāo)，

解析由“伴侶矩形”可知，圓上到四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)必是矩形的對(duì)角線交點(diǎn)，因此矩形ABCD成為OM的“伴侶矩形”有兩種情況：一種在x軸下方;一種在x軸上方.據(jù)此可畫出圖形如圖4所示.

點(diǎn)評(píng) 緊緊扣住“伴侶矩形”的定義找到圖形幾何特征是解題的技巧，數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程函數(shù)等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，綜合應(yīng)用直線方程、圓的知識(shí)以及作輔助線構(gòu)建相似三角形就會(huì)使問題得以突破[2].

點(diǎn)評(píng) 中外古代數(shù)學(xué)家在不同的年代獨(dú)自發(fā)現(xiàn)了相同規(guī)律，成為人類數(shù)學(xué)研究的佳話.掌握三角形面積計(jì)算的各種方法是解題的基礎(chǔ)，熟練的構(gòu)造公式模型與公式法分解因式是解題的關(guān)鍵，具備及時(shí)應(yīng)用知識(shí)的能力就能突破問題

參考文獻(xiàn)：

[1]李玉強(qiáng).二次函數(shù)的動(dòng)態(tài)解析式及其圖像[N].中國電腦教育報(bào)，2004.