平面閉曲線流幾何演化性質(zhì)的研究

丁丹平, 程永婷

(江蘇大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

1 背景與問題

基于物理現(xiàn)象和現(xiàn)實(shí)問題的需要，曲線和曲面受外力的影響產(chǎn)生相應(yīng)流的性質(zhì)得到愈來愈多的關(guān)注和研究。其中收縮曲線流是其典型問題之一。即設(shè)X(s,t):[a,b]×[0,T]→R2是一族平面簡單閉曲線，X0(s)=X(s,0)是初始曲線，則收縮曲線流定義為：

(1)

其中κ是曲線上點(diǎn)(s,t)處的高斯曲率，N是對應(yīng)內(nèi)法向量。1984年，Gage Hamilton證明當(dāng)初始曲線為凸的平面簡單閉曲線時(shí)，則在演化過程中曲線流(1)將保持凸的，并在有限時(shí)間內(nèi)收縮成點(diǎn)[1]。1986年，Gage[2]討論了上述平面曲線收縮流(1),得出了如果M是嵌入在平面中的凸曲線,則熱方程將縮小到一個(gè)點(diǎn),在某種意義上,曲線保持凸起并隨收縮而變成圓形。

(2)

(3)

其中L，N和κ分別是長度，單位法向量和曲線的曲率。證明了平面閉凸曲線在演化過程中始終保持凸起，當(dāng)減小其長度并保留閉區(qū)域時(shí)，曲線在演化過程中變得越來越圓，最后隨著時(shí)間t變?yōu)闊o窮大其收斂到C度量中的有限圓。MIKULA K等也做了類似的工作[9-11]。

本文主要考慮如下簡單閉曲線伸縮流X(s,t):S1→R2

(4)

其中T單位切向量，N單位內(nèi)法向量，X0(s)是t=0時(shí)給定的平面簡單閉曲線。

切線、法線、曲率、角度、弧長和面積由標(biāo)準(zhǔn)方法定義，即

2 若干幾何量的演化控制方程

直接計(jì)算：

曲線流(3)對應(yīng)的度量g、角度θ、弧長L的演化控制方程(詳見[8])，即：

進(jìn)一步計(jì)算，

故

(5)

(6)

故

(7)

又因?yàn)?/p>

可得

再由(6)得到曲率κ的演化控制方程

3 弧長、面積和曲率的有界性

由(5)、(6)、(8)可知L,A,κ的演化控制方程不依賴Xt在切線上的分量。此外，我們由曲線的局部幾何性質(zhì)約束曲線流的形變,即β應(yīng)該是曲率函數(shù)(詳見[6])。假設(shè)Xt=X(.,t)是一族C2經(jīng)典解曲線流，?t∈[0,t′)(t′<)，考慮α=0這一形式，即

(7)

引理3.1 假設(shè)X(s,t)是(8)的解，且t∈[0,t′)(t<)，那么

-2πMLt-2πm。

證明：因?yàn)棣?κ)是光滑函數(shù)，所以mβ(κ)M，則有-Mκgds-βκgds-mκgds，即：-2πMLt-2πm。

引理3.2 假設(shè)X(s,t)是具有凸初值曲線(8)的一族解,如果βκ

證明：

因?yàn)棣?0、βκ>0，那么

引理3.3 假設(shè)X(s,t)是(8)的解，那么曲線長度的變化速度在區(qū)間[0,2π]上是均勻的。

證明：

因此曲線長度的變化速度在區(qū)間[0,2π]上是均勻的。

引理3.4 假設(shè)X(s,t)是(8)的解，且t∈[0,t′)(t<)，那么

-ML(t)At-mL(t)

證明：

即：-ML(t)At-mL(t)。

引理3.5 假設(shè)X(s,t)是一族具有凸初值條件曲線(8)的解，如果β>dκ，那么At區(qū)間[0,t′)上單調(diào)遞減。

證明：

因?yàn)棣?0、βκ>0、βκκ>0，

那么

與引理3.2類似，我們用反證法可以得出如果β>dκ，那么At在區(qū)間[0,t′)上單調(diào)遞減，即面積的變化速度在區(qū)間[0,t′)是遞增的。

引理3.6 假設(shè)X(s,t)是具有凸初值曲線(8)的一族解，那么曲線面積的變化速度在區(qū)間[0,2π]上是均勻的。

證明：計(jì)算

因此曲線面積的變化速度在區(qū)間[0,2π]上是均勻的。

因?yàn)?/p>

引理3.8 假設(shè)X(s,t)是具有凸初值曲線(8)的一族解，那么絕對總高斯曲率的變化速度在區(qū)間[0,2π]上是均勻的。

證明：計(jì)算

所以絕對總高斯曲率的變化速度在區(qū)間[0,2π]上是均勻的。

引理3.9 假設(shè)X(s,t)是(8)的解，且t∈[0,t′)(t<)，那么

證明：因?yàn)棣?κ)是光滑函數(shù)，所以β(κ)M。定義

這里q是f(x)=|x|的分段光滑凸近似，

那么

因?yàn)棣娄?0，且q的凸性得到qκκ<0，我們有qt(t)-[q(κ)-κqκ(κ)](βκg)ds，

同時(shí)可以得到:

0q(x)-xq′(x)

因?yàn)?/p>

β(κ)M,且[q(κ)-κqκ(κ)]≥0，

因此

有

4 曲線行進(jìn)的距離

在本節(jié)中將引用[6]中的部分引理，以此證明曲線演化速度是有限的。

對于子集S?R2，令Nδ(S)表示δ-閉鄰域，定義一個(gè)點(diǎn)(R2中的點(diǎn))到曲線的符號距離為：

令

d(t):=d(p,Xt)

定理4.1 假設(shè)p是R2中的一點(diǎn)，如果C1βκC2,那么Xt是有限的。

eC1t+d(0)≥d(t)≥eC2t+d(0)。

其次，考慮點(diǎn)p在Xt內(nèi)，此時(shí)κ(q(t))詳見[6]引理4.1.2)。

則dC1d′(t)=-βdC2，那么C2C1。即：

eC2t+d(o)d(t)eC1t+d(o)。

綜上，Xt是有限的。