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    基于U型統(tǒng)計量的泊松過程參數變點檢驗

    2019-08-01 11:03:20范梓淼田夢琴
    關鍵詞:變點泊松定理

    范梓淼, 田夢琴

    (新疆農業(yè)大學 數理學院,新疆 烏魯木齊 830052)

    引 言

    變點問題是統(tǒng)計學中的熱門研究方向,在金融、醫(yī)學、氣象學和計算機領域等方面有廣泛地應用。該問題源于質量檢測與監(jiān)控?,F今,變點的應用不再局限于工業(yè)質量的檢測中,更廣泛地被應用于經濟、醫(yī)學、計算機等領域。[1]例如,在醫(yī)學中,心電圖韻律的檢測及流行病中傳染病的傳染率檢測;計算機領域中,圖像識別和圖形邊界的判斷等都依賴于變點的發(fā)展使用。另外,在生態(tài)環(huán)境和突發(fā)災難方面,變點研究方法也發(fā)揮著重大作用。因此對變點問題的深入研究有著重大意義。

    泊松過程由法國數學家Poisson Simeon-Denis首先提出的,是一個時間連續(xù)狀態(tài)離散隨機過程,是記錄隨機事件發(fā)生次數累加的獨立增量過程[2]。泊松過程不僅是作為計數過程的重要隨機過程模型,也是重要隨機過程的特例,且通過泊松過程可以構造其他獨立增量過程,所以其在隨機過程中占重要位置。研究泊松過程變點問題,也為進一步研究隨機過程奠定了一定基礎,是有意義的。本文基于泊松過程,采用U統(tǒng)計量方法研究參數變點的假設檢驗問題。

    U統(tǒng)計量是由W.Hoeffding于1948年引入統(tǒng)計學研究中的,它被廣泛地應用于非參數統(tǒng)計學研究中??姲仄?、魏登云通過U統(tǒng)計量研究了刻度參數變點的統(tǒng)計推斷[3-5];Horváth通過U統(tǒng)計量討論了分布函數的變點問題[6];Cs?rg?,M,Orasch等在變點問題研究的其他應用中都使用了U統(tǒng)計量[7]。

    U統(tǒng)計量的定義為:設X1,X2,…,Xn為獨立隨機變量,φ(x1,x2,…,xm)為其某一對稱函數,mn。則以φ(x1,x2,…,xm)為核構造的統(tǒng)計量

    稱為U統(tǒng)計量。

    1 泊松過程參數變點模型

    X1,X2,…Xτ0~P(λ1),X(τ0+1),…Xn~P(λ2)

    (1)

    其中P(λ)為參數λ的泊松過程。

    關于泊松過程變點的問題可以化為如下假設檢驗問題:

    H0:λ1=λ2vsH1:λ1≠λ2

    (2)

    2 U統(tǒng)計量法

    為敘述方便,首先給出以下定義

    設X1,X2,…,Xmi.i.d~F,Y1,Y2,…,Yni.i.d~G,

    對于對稱函數φ(x1,x2,…,xm;y1,y2,…,yn),定義

    φij(X1,X2,…,Xi;Y1,Y2,…,Yj)=E[φ(X1,X2,…,Xm;Y1,Y2,…,Yn)|X1,X2,…,Xi;Y1,Y2,…,Yj],

    σij2=Varφij(X1,X2,…,Xi;Y1,Y2,…,Yj),1im,1jn。

    定理1 若X1,X2,…,Xn為來自泊松過程的獨立隨機變量,定義

    若k滿足

    (3)

    為了證明定理1,需指出以下引理。

    引理1[8]設隨機變量X1,X2,…,Xn,i.i.d.~F,Var(X1)<,φ(x,y)為R2上的二元可測函數,且|φ(x,y)|bEφ(Xi,Xj)=0,i≠j。

    則存在常數C>0,對?ε>0,當m充分大時,

    引理2[8]設X1,X2,…,Xni.i.d~F,φ(x,y)為R2上的二元可測函數,且

    |φ(x,y)|b,Eφ(Xi,Xj)=0,i≠j,Eφ(Xi,Xj|Xi)=0。

    設Un是以φ(x,y)為核的U型統(tǒng)計量,則對?ε>0,δ>0,當n充分大時,有

    由Uk的定義知

    -φ01(Xj1)-φ01(Xj2)+φ10(Xi1)+φ10(Xi2)+φ01(Xj1)+φ01(Xj2)]

    ?U1+U2

    定理2 若n和k滿足定理1的條件(3),則

    證明:

    -φ12(Xi2;Xj1,Xj2)+φ12(Xi1;Xj1,Xj2)+φ12(Xi2;Xj1,Xj2)+φ02(Xj1,Xj2)-φ10(Xi1)-φ10(Xi2)

    -φ01(Xj1)-φ01(Xj2)]

    -φ12(Xi1;Xj1,Xj2)]

    由φ(Xi1,Xi2;Xj1,Xj2)定義知,|φ(x,y)|

    ∴當Xk+1,Xk+2,…,Xn給定時,由引理2可得,

    同理,當X1,X2,…,Xk給定時,

    由引理1

    U14和U15符合引理2條件,所以有,

    ∴存在c(ε),使得

    由定理1條件知,當n充分大時,上述不等式右邊小于n-2,由Borel-Cantelli引理知,該定理成立。

    其中c>0為任一常數。

    引理4[8]若{Z(t),t≥0}為一平穩(wěn)高斯過程,且

    ρ(τ)=E[Z(t)Z(t+τ)]=1-|τ|+ο(|τ|),τ→0

    定理1證明:

    由定義知

    設{B(t),t≥0}為標準布朗運動,進行如下運算,有

    由引理4和定理條件,有

    作高斯過程Z(t)=B(t)-B(t-1),易知Z(t)為平穩(wěn)過程,

    EZ(t)=0

    ∴由引理5,可得

    綜上,

    該定理給出了檢驗假設模型(2)的方法,假設給定顯著性水平為α。由

    exp{-2e-x}=1-α,

    解得

    那么當且僅當

    時,拒絕原假設,也就是接受有變點。

    本文構造適應于泊松過程的檢驗統(tǒng)計量,并證明了該檢驗統(tǒng)計量的極限分布為第一型極限分布。如果令k從小到大增加,則|Uk|會增大,當到達變點位置τ0時,|Uk|應該會出現最大值;如果k繼續(xù)增大,|Uk|又會減小,因此,參數變點位置的估計可選取使得檢驗統(tǒng)計量最大的點作為。

    3 結 論

    變點分析理論在科學研究和實踐應用等方面都有著快速的發(fā)展。變點問題的統(tǒng)計推斷就是根據具體的背景,對變點做出估計,并對估計量的性質進行統(tǒng)計分析。本文在泊松過程模型下,對其參數的變點進行假設檢驗,在存在變點的情形下,對變點位置做出了估計。對深入研究泊松過程有一定的幫助。

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