基于U型統(tǒng)計量的泊松過程參數變點檢驗

范梓淼, 田夢琴

(新疆農業(yè)大學 數理學院，新疆 烏魯木齊 830052)

引 言

變點問題是統(tǒng)計學中的熱門研究方向，在金融、醫(yī)學、氣象學和計算機領域等方面有廣泛地應用。該問題源于質量檢測與監(jiān)控?，F今，變點的應用不再局限于工業(yè)質量的檢測中，更廣泛地被應用于經濟、醫(yī)學、計算機等領域。[1]例如，在醫(yī)學中，心電圖韻律的檢測及流行病中傳染病的傳染率檢測；計算機領域中，圖像識別和圖形邊界的判斷等都依賴于變點的發(fā)展使用。另外，在生態(tài)環(huán)境和突發(fā)災難方面，變點研究方法也發(fā)揮著重大作用。因此對變點問題的深入研究有著重大意義。

泊松過程由法國數學家Poisson Simeon-Denis首先提出的，是一個時間連續(xù)狀態(tài)離散隨機過程，是記錄隨機事件發(fā)生次數累加的獨立增量過程[2]。泊松過程不僅是作為計數過程的重要隨機過程模型，也是重要隨機過程的特例，且通過泊松過程可以構造其他獨立增量過程，所以其在隨機過程中占重要位置。研究泊松過程變點問題，也為進一步研究隨機過程奠定了一定基礎，是有意義的。本文基于泊松過程，采用U統(tǒng)計量方法研究參數變點的假設檢驗問題。

U統(tǒng)計量是由W.Hoeffding于1948年引入統(tǒng)計學研究中的，它被廣泛地應用于非參數統(tǒng)計學研究中?？姲仄?、魏登云通過U統(tǒng)計量研究了刻度參數變點的統(tǒng)計推斷[3-5]；Horváth通過U統(tǒng)計量討論了分布函數的變點問題[6]；Cs?rg?,M，Orasch等在變點問題研究的其他應用中都使用了U統(tǒng)計量[7]。

U統(tǒng)計量的定義為：設X1,X2,…,Xn為獨立隨機變量，φ(x1,x2,…,xm)為其某一對稱函數，mn。則以φ(x1,x2,…,xm)為核構造的統(tǒng)計量

稱為U統(tǒng)計量。

1 泊松過程參數變點模型

X1,X2,…Xτ0～P(λ1)，X(τ0+1),…Xn～P(λ2)

(1)

其中P(λ)為參數λ的泊松過程。

關于泊松過程變點的問題可以化為如下假設檢驗問題:

H0:λ1=λ2vsH1:λ1≠λ2

(2)

2 U統(tǒng)計量法

為敘述方便，首先給出以下定義

設X1,X2,…,Xmi.i.d～F，Y1,Y2,…,Yni.i.d～G，

對于對稱函數φ(x1,x2,…,xm;y1,y2,…,yn)，定義

φij(X1,X2,…,Xi;Y1,Y2,…,Yj)=E[φ(X1,X2,…,Xm;Y1,Y2,…,Yn)|X1,X2,…,Xi;Y1,Y2,…,Yj]，

σij2=Varφij(X1,X2,…,Xi;Y1,Y2,…,Yj)，1im，1jn。

定理1 若X1,X2,…,Xn為來自泊松過程的獨立隨機變量，定義

若k滿足

(3)

為了證明定理1，需指出以下引理。

引理1[8]設隨機變量X1,X2,…,Xn，i.i.d.～F，Var(X1)<，φ(x,y)為R2上的二元可測函數，且|φ(x,y)|bEφ(Xi,Xj)=0,i≠j。

則存在常數C>0，對?ε>0，當m充分大時，

引理2[8]設X1,X2,…,Xni.i.d～F，φ(x,y)為R2上的二元可測函數，且

|φ(x,y)|b，Eφ(Xi,Xj)=0,i≠j，Eφ(Xi,Xj|Xi)=0。

設Un是以φ(x,y)為核的U型統(tǒng)計量，則對?ε>0，δ>0，當n充分大時，有

由Uk的定義知

-φ01(Xj1)-φ01(Xj2)+φ10(Xi1)+φ10(Xi2)+φ01(Xj1)+φ01(Xj2)]

?U1+U2

定理2 若n和k滿足定理1的條件(3)，則

證明:

-φ12(Xi2;Xj1,Xj2)+φ12(Xi1;Xj1,Xj2)+φ12(Xi2;Xj1,Xj2)+φ02(Xj1,Xj2)-φ10(Xi1)-φ10(Xi2)

-φ01(Xj1)-φ01(Xj2)]

-φ12(Xi1;Xj1,Xj2)]

由φ(Xi1,Xi2;Xj1,Xj2)定義知，|φ(x,y)|

∴當Xk+1,Xk+2,…,Xn給定時，由引理2可得，

同理，當X1,X2,…,Xk給定時，

由引理1

U14和U15符合引理2條件，所以有，

∴存在c(ε)，使得

由定理1條件知，當n充分大時，上述不等式右邊小于n-2，由Borel-Cantelli引理知，該定理成立。

其中c>0為任一常數。

引理4[8]若{Z(t),t≥0}為一平穩(wěn)高斯過程，且

ρ(τ)=E[Z(t)Z(t+τ)]=1-|τ|+ο(|τ|),τ→0

定理1證明:

由定義知

設{B(t),t≥0}為標準布朗運動，進行如下運算，有

由引理4和定理條件，有

作高斯過程Z(t)=B(t)-B(t-1)，易知Z(t)為平穩(wěn)過程，

EZ(t)=0

及

∴由引理5，可得

綜上，

該定理給出了檢驗假設模型(2)的方法，假設給定顯著性水平為α。由

exp{-2e-x}=1-α，

解得

那么當且僅當

時，拒絕原假設，也就是接受有變點。

本文構造適應于泊松過程的檢驗統(tǒng)計量，并證明了該檢驗統(tǒng)計量的極限分布為第一型極限分布。如果令k從小到大增加，則|Uk|會增大，當到達變點位置τ0時，|Uk|應該會出現最大值；如果k繼續(xù)增大，|Uk|又會減小，因此，參數變點位置的估計可選取使得檢驗統(tǒng)計量最大的點作為。

3 結 論

變點分析理論在科學研究和實踐應用等方面都有著快速的發(fā)展。變點問題的統(tǒng)計推斷就是根據具體的背景，對變點做出估計，并對估計量的性質進行統(tǒng)計分析。本文在泊松過程模型下，對其參數的變點進行假設檢驗，在存在變點的情形下，對變點位置做出了估計。對深入研究泊松過程有一定的幫助。