探尋數(shù)學(xué)誤解的成因、表現(xiàn)及應(yīng)對(duì)方略

吉智深

（南通師范高等?？茖W(xué)校小學(xué)教育研究所，江蘇 南通 226500）

誤解并非是無(wú)知，它是指在一個(gè)新情境下運(yùn)用貌似合理但并非正確的方式解決問(wèn)題。在數(shù)學(xué)中這些誤解現(xiàn)象非常多，有時(shí)誤解程度還很深，比如許多小學(xué)生覺得小數(shù)乘法非常難，因?yàn)樗愠龅拇鸢副仍紨?shù)據(jù)還?。凰心挲g段的學(xué)生經(jīng)常把等號(hào)作為計(jì)算的開始，而不是看成相等關(guān)系的代表。一些學(xué)生即使數(shù)學(xué)成績(jī)很優(yōu)秀，但在后來(lái)遇到需要應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題時(shí)，也暴露了他們對(duì)一些數(shù)學(xué)知識(shí)存在誤解?；诖?，本文擬對(duì)教學(xué)誤解的成因、表現(xiàn)及應(yīng)對(duì)方略進(jìn)行探尋，以期引起大家對(duì)數(shù)學(xué)誤解的關(guān)注與討論，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的真正理解與正確應(yīng)用。

一、數(shù)學(xué)誤解的成因

當(dāng)學(xué)生產(chǎn)生了數(shù)學(xué)誤解，教師感到非常失望與氣憤，總質(zhì)疑自己講得不好，或者目標(biāo)設(shè)計(jì)得不恰當(dāng)。失望與氣憤無(wú)助于問(wèn)題的解決，我們應(yīng)該靜下心來(lái)，仔細(xì)想一想，為什么會(huì)出現(xiàn)這些數(shù)學(xué)誤解。

成因1：人類本身學(xué)習(xí)的特點(diǎn)

我們首先來(lái)看一個(gè)“魚就是魚”的故事。有一條魚，它很想了解陸地上發(fā)生的事，卻因?yàn)橹荒茉谒泻粑鵁o(wú)法實(shí)現(xiàn)。它與一個(gè)小蝌蚪交上了朋友，小蝌蚪長(zhǎng)成青蛙之后，便跳上陸地。幾周后青蛙回到池塘，向魚匯報(bào)它所看到的。青蛙描述了陸地上的各種東西：鳥、牛和人。魚就根據(jù)青蛙的描述對(duì)每一樣?xùn)|西進(jìn)行了創(chuàng)作——鳥是長(zhǎng)著翅膀的魚、牛是長(zhǎng)著乳房的魚、人是用魚尾巴走路的魚。

魚根據(jù)自己已有的知識(shí)去建構(gòu)新知識(shí)的過(guò)程中，出現(xiàn)了對(duì)鳥、牛和人的錯(cuò)誤創(chuàng)造，而人在學(xué)習(xí)的過(guò)程中也會(huì)出現(xiàn)類似的誤解，因?yàn)楝F(xiàn)代學(xué)習(xí)觀認(rèn)為人們也是用他們已知道和相信的知識(shí)去建構(gòu)新知識(shí)和理解新知識(shí)，如果從這個(gè)角度看，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)類似“魚就是魚”的誤解就不足為奇了。

正因?yàn)槿藗冇盟麄円阎篮拖嘈诺闹R(shí)去建構(gòu)新知識(shí)及理解新知識(shí)，就造成了人們對(duì)于那些自以為知道的事情很容易產(chǎn)生誤解，而且這種誤解還經(jīng)常不被人察覺。如學(xué)生知道整數(shù)加減法時(shí)，末位對(duì)齊，而一旦遇到小數(shù)加減法時(shí)，自然首先想到把兩個(gè)小數(shù)最后一位對(duì)齊，而不是小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。

還有，學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)常被看到的一些表面現(xiàn)象或特殊情況所迷惑，從而產(chǎn)生數(shù)學(xué)誤解。如除法與帶余除法表面上看起來(lái)是特殊與一般的關(guān)系，但事實(shí)上，它們本質(zhì)上是不一樣的，自然數(shù)的除法是由兩個(gè)自然數(shù)計(jì)算得到一個(gè)單獨(dú)的數(shù)，而帶余除法得到的不是一個(gè)數(shù)，而是兩個(gè)數(shù)：商和余數(shù)。又如當(dāng)學(xué)生連續(xù)從盒中摸球（盒中有黃球也有白球），摸了幾次“黃—白—黃—白”后，一個(gè)學(xué)生突然舉手，聲明自己發(fā)現(xiàn)了“規(guī)律”，這次摸到黃球，下次一定摸到白球，黃白是輪流的?！笆聦?shí)上，這是一個(gè)人所皆知的真理，即感覺到了的東西我們不一定能正確地認(rèn)識(shí)它?！盵1]學(xué)生在真正理解隨機(jī)事件發(fā)生的概率之前，依然可能會(huì)出現(xiàn)類似的數(shù)學(xué)誤解。

成因2：人類數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)

“數(shù)學(xué)本質(zhì)是人類活動(dòng)，數(shù)學(xué)史是由人類發(fā)明的。”[2]直覺是人類數(shù)學(xué)活動(dòng)中的三個(gè)基本成分之一，它包括直覺的認(rèn)識(shí)、直覺的理解、直覺的解題。直覺的認(rèn)識(shí)是直接接受的一種認(rèn)識(shí)，沒有感覺到需要任何類型的證明。如：直覺的認(rèn)識(shí)的第一個(gè)特征就是不言而喻，“整體大于部分”“兩點(diǎn)之間直線段最短”等。直覺的認(rèn)識(shí)對(duì)教學(xué)過(guò)程可能起著促進(jìn)作用，也有可能出現(xiàn)矛盾，給學(xué)生帶來(lái)認(rèn)識(shí)上的誤解。乘法運(yùn)算背后有一個(gè)直覺可接受的模型：乘法是重復(fù)的加法，3乘5就意味著5+5+5=15。但是0.75乘5是什么意思？0.75 個(gè)5 相加？這已經(jīng)不能借助重復(fù)加法的模型來(lái)表示它了。學(xué)生在做減法時(shí)，會(huì)產(chǎn)生各種經(jīng)常性的錯(cuò)誤，這些錯(cuò)誤通常是對(duì)減法運(yùn)算原始模型的依賴，如46-29=23，因?yàn)槿绻萜鲀?nèi)有A個(gè)物體，要取出B 個(gè)，只有在A>B 時(shí)，你才能做到。由于沒有“位值原則”這一內(nèi)容的支持，學(xué)生計(jì)算46-29 時(shí)，把它看成從兩個(gè)容器中取物體，當(dāng)遇到另一個(gè)容器B>A，學(xué)生就將運(yùn)算倒過(guò)來(lái)，即B-A?？傊?，我們應(yīng)該看到“基于原始的、局限的而深入根植于個(gè)人經(jīng)驗(yàn)的直覺解釋，抵消了形式的控制，或是算法解題的要求，從而歪曲了或是甚至阻塞了正確的數(shù)學(xué)反應(yīng)”[3]。

成因3：學(xué)習(xí)者錯(cuò)誤的觀念

觀念是觀察事物時(shí)所處的立場(chǎng)或出發(fā)點(diǎn)，在此是指學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)教育觀以其對(duì)于自我解題能力的認(rèn)識(shí)和信念等。學(xué)習(xí)者通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，也發(fā)展起來(lái)一些不正確的觀念、信念和態(tài)度，而這些反過(guò)來(lái)又對(duì)其進(jìn)一步的學(xué)習(xí)活動(dòng)產(chǎn)生了消極影響。對(duì)于問(wèn)題：一艘船上有26 只綿羊和10 只山羊，船上船長(zhǎng)幾歲？為什么會(huì)有許多孩子算出答案？他們認(rèn)為既然是老師出的題目，肯定每個(gè)問(wèn)題都是可解的，而且只有唯一的正確解答，通過(guò)想象計(jì)算出船長(zhǎng)的年齡。通過(guò)分析這個(gè)案例，我們找到造成學(xué)生的誤解的根源——學(xué)習(xí)者錯(cuò)誤的觀念，那么學(xué)習(xí)者還可能有哪些錯(cuò)誤的觀念呢？《認(rèn)知科學(xué) 建構(gòu)主義與數(shù)學(xué)教育》一書列舉了美國(guó)學(xué)生中普遍存在的13種錯(cuò)誤觀念，其中包括“只有書呆子才會(huì)喜歡數(shù)學(xué)”“數(shù)學(xué)是無(wú)意義的，即是與日常生活毫無(wú)關(guān)系的”“每一個(gè)問(wèn)題都只有唯一的正確解答”“每一個(gè)問(wèn)題都只有唯一的正確解題方法”等[4]，這些錯(cuò)誤的觀念導(dǎo)致學(xué)習(xí)者對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)。當(dāng)然在教學(xué)過(guò)程中，我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)其他一些錯(cuò)誤的觀點(diǎn)，如小學(xué)階段歸納教學(xué)，歸納出的規(guī)律或者猜想對(duì)不對(duì)呢？如果規(guī)律或者猜想不正確，我們?cè)O(shè)法找出反例來(lái)推翻規(guī)律或猜想；如果規(guī)律或者猜想正確，教材通常引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)各種方式對(duì)規(guī)律或猜想進(jìn)行驗(yàn)證；如果僅僅滿足于驗(yàn)證，長(zhǎng)此下去，學(xué)生會(huì)對(duì)歸納教學(xué)產(chǎn)生一些數(shù)學(xué)誤解，驗(yàn)證成了檢驗(yàn)數(shù)學(xué)規(guī)律和猜想的最后一步，可事實(shí)并非如此，證明才是說(shuō)明數(shù)學(xué)規(guī)律與猜想正確的最后環(huán)節(jié)，也是最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。

二、數(shù)學(xué)誤解的表現(xiàn)

由于學(xué)習(xí)本身的特點(diǎn)、數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)以及學(xué)習(xí)者錯(cuò)誤的觀念，在追求數(shù)學(xué)理解的過(guò)程中，不可避免地產(chǎn)生了誤解。那么，數(shù)學(xué)誤解具體表現(xiàn)在哪些方面，也是我們必須關(guān)注的一個(gè)話題，因?yàn)橹挥谐浞纸沂緦W(xué)生可能存在著的數(shù)學(xué)誤解，并且重點(diǎn)研究這些誤解，我們才有可能獲得更好的教學(xué)效果。

1.數(shù)學(xué)概念的誤會(huì)

許多數(shù)學(xué)概念都是由一些實(shí)際問(wèn)題抽象而成的，為了揭示概念的本質(zhì)屬性，也為了便于交流，給概念下定義成為數(shù)學(xué)的習(xí)慣與目標(biāo)。

教師在教學(xué)這些概念時(shí)，常常不關(guān)心概念的歷史的和認(rèn)識(shí)論的根源，只是從字面上來(lái)理解概念，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)一些概念產(chǎn)生誤會(huì)。如無(wú)理數(shù)，就是沒有道理的數(shù)，但事實(shí)上它并不是沒有道理的數(shù)，而是清代數(shù)學(xué)家華蘅芳的誤譯，實(shí)際上，英文“irrational”原意是“無(wú)比的”或“不能表達(dá)成比率的”。類似的還有對(duì)負(fù)數(shù)和虛數(shù)的認(rèn)識(shí)，總有一些學(xué)生認(rèn)為它們與常規(guī)數(shù)學(xué)不同，它們是不真實(shí)的。

學(xué)生對(duì)概念的誤會(huì)有時(shí)也與形象有關(guān)，心理學(xué)教科書經(jīng)常區(qū)分概念與形象，把它們作為思維活動(dòng)的兩個(gè)基本成分，兩者總體上是共生關(guān)系。但在幾何圖形中，形象的直覺與概念的本質(zhì)有時(shí)會(huì)產(chǎn)生抵觸，如學(xué)生很難接受正方形是特殊的長(zhǎng)方形，即使他們知道“有一組鄰邊相等的長(zhǎng)方形叫作正方形”，但學(xué)生總認(rèn)為正方形是正方形，長(zhǎng)方形是長(zhǎng)方形，學(xué)生只看到正方形的直覺形象，而無(wú)視正方形的概念。 又如學(xué)生對(duì)“角的大小與兩邊長(zhǎng)短無(wú)關(guān)”這一結(jié)論很難理解，這與小學(xué)階段對(duì)角的描述性定義有關(guān)，也與角的直覺形象有關(guān)。角的定義無(wú)論靜態(tài)的還是動(dòng)態(tài)的，角的兩邊——射線不能全部在平面上畫出來(lái)，只能畫出射線的一部分——線段，所以呈現(xiàn)在學(xué)生眼前的射線就是線段，線段是有長(zhǎng)短的，兩個(gè)線段之間的區(qū)域就有大小之分，角的大小可能就與線段的長(zhǎng)短有關(guān)。

無(wú)論表達(dá)數(shù)學(xué)概念的文字或形象，都有可能讓學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)誤會(huì)，這需要我們有意識(shí)地關(guān)注這些數(shù)學(xué)誤會(huì)產(chǎn)生的原因，進(jìn)而想辦法消除這些誤會(huì)。

2.符號(hào)意義的誤解

數(shù)學(xué)符號(hào)的簡(jiǎn)潔性、準(zhǔn)確性和形式化，使得它成為研究數(shù)學(xué)不可或缺的工具，但也恰恰是因?yàn)閿?shù)學(xué)符號(hào)的這些特征，會(huì)讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)產(chǎn)生誤解。

數(shù)學(xué)符號(hào)形成過(guò)程中，一些不恰當(dāng)?shù)膶?shí)例，會(huì)讓學(xué)生形成不正確的直覺。如教材通常利用把正方形對(duì)折來(lái)認(rèn)識(shí)，在得到3 個(gè)分?jǐn)?shù)時(shí)，都是把正方形分成全等的幾個(gè)小正方形。如果遇到下列問(wèn)題時(shí)，學(xué)生會(huì)有怎樣的反應(yīng)呢？已知ΔABC，D是BC 邊的中點(diǎn)，如果ΔABC 是1，此時(shí)ΔADC 是嗎？因?yàn)镈 是BC 邊的中點(diǎn)，AD 把ΔADC 分成面積相等的兩部分，自然會(huì)認(rèn)為ΔADC 是。但如果認(rèn)為ΔABC是一個(gè)幾何體，應(yīng)該把ΔABC分成兩個(gè)全等的區(qū)域，這就對(duì)產(chǎn)生了誤解。[5]

忽視數(shù)學(xué)符號(hào)形式中的約束因素，會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)所表示的運(yùn)算產(chǎn)生誤解。如計(jì)算有些學(xué)生認(rèn)為計(jì)算等于，分母加分母，分子加分子，很簡(jiǎn)單嘛。為什么會(huì)有這樣的誤解呢？因?yàn)閷W(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)中的形式成分與算法成分之間的關(guān)系缺乏理解。首先對(duì)和這樣形式的數(shù)缺乏理解，和不是1和2、1和3的簡(jiǎn)單排列，這些數(shù)字借助分?jǐn)?shù)線表示特定的意義，當(dāng)然它們之間的加法也就不同于簡(jiǎn)單的整數(shù)相加了。

數(shù)學(xué)符號(hào)長(zhǎng)期、單一的使用，也是對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)產(chǎn)生數(shù)學(xué)誤解的原因之一。小學(xué)生在低年級(jí)就開始接觸計(jì)算，在計(jì)算過(guò)程中等號(hào)右側(cè)通常展示“結(jié)果”或者“答案”。他們到高年級(jí)學(xué)習(xí)方程時(shí)，經(jīng)常不把方程式中的等號(hào)看成相等關(guān)系的代表，卻可能把這種誤解延續(xù)到以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。

數(shù)學(xué)符號(hào)的形成、形式和使用都有可能成為數(shù)學(xué)誤解的原由，我們要重視發(fā)現(xiàn)和分析這些原由，進(jìn)而設(shè)法消除它們。

3.模式識(shí)別的誤用

研究表明：學(xué)生在解決文字應(yīng)用題的過(guò)程中，形成了若干模式，這些模式在解決新問(wèn)題時(shí)發(fā)揮了十分重要的作用，但如果不注重問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系的分析，盲目地運(yùn)用模式識(shí)別，會(huì)給新問(wèn)題的解決帶來(lái)“干擾”。

如當(dāng)學(xué)生看到應(yīng)用題的開頭“一艘船順流而下……”就立刻意識(shí)到這個(gè)問(wèn)題是一個(gè)“水流問(wèn)題”，并且意識(shí)到“順流時(shí)，船的速度等于船靜水的速度+水流速度”“逆流時(shí)，船的速度等于船靜水的速度-水流速度”。當(dāng)然，這種模式識(shí)別在解決新問(wèn)題時(shí)，導(dǎo)致學(xué)生只是注意到其中的某些方面，從而造成一些數(shù)學(xué)誤解。如：5 千克蘋果價(jià)值40 元，7 千克蘋果價(jià)值多少？這是一個(gè)典型的基本比例問(wèn)題，有些學(xué)生直接寫出比例。當(dāng)遇到第二個(gè)問(wèn)題：7 個(gè)工人在28 天內(nèi)完成某件工作，5 個(gè)工人要幾天才能完成此工作？學(xué)生斷定這也是比例問(wèn)題，并寫出，求得x=20，這就是問(wèn)題的答案。

類似地，在解應(yīng)用題時(shí)，過(guò)分強(qiáng)調(diào)通過(guò)關(guān)鍵詞“一共”“剩余”等確定所進(jìn)行的運(yùn)算，雖然這樣的做法短時(shí)間內(nèi)能很好地應(yīng)付考試，但長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，會(huì)讓學(xué)生在解決新問(wèn)題時(shí)錯(cuò)誤地運(yùn)用模式，從而對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生消極影響。

4.相似條件的誤導(dǎo)

數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)基本上都涉及遷移，比如整數(shù)的運(yùn)算律也適用于分?jǐn)?shù)和小數(shù)運(yùn)算，平面幾何中平行的傳遞性與全等的概念等仍然適用于立體幾何。這些都是正遷移的例子，當(dāng)然，也有負(fù)遷移的例子，它們也會(huì)妨礙學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解。

如不少文章圍繞“1.7÷0.2 = 17÷2 = 8……1 到底錯(cuò)在哪里”開展了深入的探討，但很少有教師能夠提出產(chǎn)生誤解的根源。根據(jù)前面所分析“帶余除法”與“除法”有著本質(zhì)的區(qū)別，對(duì)于除法1.7÷0.2 =8.5，我們可以根據(jù)商不變的規(guī)律，得到17÷2 = 8.5，但對(duì)于帶余除法1.7÷0.2 = 8……0.1，則不能用商不變的規(guī)律，因?yàn)樗旧砭筒皇堑仁?，如果非要把被除?shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大10倍，則要探討商與余數(shù)分別發(fā)生了哪些變化（商不變，余數(shù)擴(kuò)大10倍）。教師為了避免這樣的錯(cuò)誤，還提出了一些改進(jìn)意見，如把“1.7÷0.2 = 8……0.1”改寫成這樣的改寫同樣也忽視了數(shù)學(xué)結(jié)論的適用范圍，事實(shí)上帶余除法只能用于自然數(shù)，而不能推廣到分?jǐn)?shù)和小數(shù)。

學(xué)生對(duì)形式的結(jié)構(gòu)和正確的理由必須有清晰的理解，否則問(wèn)題表面相似就會(huì)引導(dǎo)到錯(cuò)誤的推廣。

三、數(shù)學(xué)誤解的應(yīng)對(duì)方略

數(shù)學(xué)誤解，特別是那些持續(xù)的誤解會(huì)讓一些教師感到不安與苦惱，總在質(zhì)疑自己講得不夠好，不夠清楚，而事實(shí)并非如此，誤解不但是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的一個(gè)必要組成部分，而且這些誤解對(duì)于教師來(lái)講非常有價(jià)值，它們可以幫助我們成功地推動(dòng)數(shù)學(xué)理解。鑒于此，我們處理數(shù)學(xué)誤解的策略是：既不能抑制學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)遷移的嘗試，又不能無(wú)視或強(qiáng)化這些并不成功的遷移，教師要耐心尋找消除數(shù)學(xué)誤解、促進(jìn)數(shù)學(xué)理解的方法。

1.逆向設(shè)計(jì)，暴露誤解

既然數(shù)學(xué)誤解不可避免，而且它的存在可能是潛在的，不易消除，那么教師必須使用逆向思維，以前瞻性的方式設(shè)計(jì)教學(xué)。在教學(xué)設(shè)計(jì)前，教師要考慮哪些誤解最有可能產(chǎn)生，換句話說(shuō)，我們首先找影響進(jìn)一步理解的主要障礙，然后才能有針對(duì)性地消除數(shù)學(xué)誤解。學(xué)生在解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的過(guò)程中，常常把應(yīng)用題看成虛構(gòu)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。為了改變學(xué)生心中存在的錯(cuò)誤觀念，教師可以有意識(shí)地、有針對(duì)性地設(shè)計(jì)一些基于真實(shí)性的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如：每輛卡車可以載36 個(gè)士兵，現(xiàn)有1128 個(gè)士兵需用卡車運(yùn)送到訓(xùn)練營(yíng)地，問(wèn)需用多少輛卡車？在我們學(xué)生中還存在其他一些錯(cuò)誤觀念，如：每一個(gè)問(wèn)題所給的條件對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的求解來(lái)說(shuō)一定是“不多也不少”，如果未用到全部的條件，你的解答一定是錯(cuò)誤的。另外，如果真正用到了每一個(gè)條件，那么就一定可以解決這一問(wèn)題。針對(duì)“不多也不少”這種錯(cuò)誤觀念，教師必須設(shè)計(jì)針對(duì)性的練習(xí)，以此提醒和促使學(xué)生拋棄這種錯(cuò)誤觀念。如：抽屜里有黑襪子和藍(lán)襪子，數(shù)量比是4比5，房間里漆黑不見五指，看不到襪子的顏色，現(xiàn)必須從抽屜里取出幾只襪子才能保證組成一雙顏色一致的襪子？這個(gè)問(wèn)題中的信息太少，人們更容易假設(shè)問(wèn)題的每一個(gè)信息都有用。事實(shí)上，正確的答案是“三只”，答錯(cuò)的人多半是被問(wèn)題中的那個(gè)無(wú)關(guān)信息所干擾。通過(guò)類似的例子說(shuō)明，在問(wèn)題解決過(guò)程中選擇與甄別信息的能力是多么重要。

2.交流反思，意識(shí)誤解

交流是數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育中很關(guān)鍵的一個(gè)部分，是分享觀點(diǎn)和澄清理解的一種方式，通過(guò)交流可以精煉、討論和修正數(shù)學(xué)觀點(diǎn)。如當(dāng)甲乙兩名學(xué)生比較7.5 和7.55 大小時(shí)，乙根據(jù)錯(cuò)誤的規(guī)則得到7.5>7.55，甲認(rèn)為順序恰恰相反，他是這樣說(shuō)服乙：建議乙使兩個(gè)小數(shù)部分有一樣的數(shù)位，7.5 等于7.50，使乙分辨出7.50 比7.55 小。這樣的交流使一些學(xué)生意識(shí)到自己錯(cuò)誤的觀點(diǎn)，并形成正確的觀點(diǎn)。反思是意識(shí)誤解的另一種方式，雖然它不能保證學(xué)生完全不誤入歧途，但它可以由反思發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤并通過(guò)探本求源走出歧途。如：7 個(gè)工人在28 天內(nèi)完成某件工作，5 個(gè)工人要幾天才能完成此工作？學(xué)生斷定這也是比例問(wèn)題，并寫出，求得x=20。如果學(xué)生能在做完這道題后，反思一下結(jié)果是否合理，就可能意識(shí)到這個(gè)答案可能錯(cuò)了，同樣一件工作，工人變少了，怎么可能需要的天數(shù)卻變少了呢？既然得到答案不符合常理，那么接下來(lái)要重新考慮解題方法了。

3.尋找反例，打消誤解

尋找并利用數(shù)學(xué)反例是打消誤解的有效手段之一，數(shù)學(xué)上有不少這樣的例子。最熟悉的就是對(duì)費(fèi)馬數(shù)的探討，當(dāng)F1、F2、F3、F4都是質(zhì)數(shù)時(shí)，由于F5是一個(gè)較大的數(shù)，費(fèi)馬就猜想形如這樣的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，可事實(shí)這是一個(gè)誤解，F(xiàn)5就是一個(gè)合數(shù)。由此我們可以看到，歸納推理的優(yōu)點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)新規(guī)律、新結(jié)論，但它的局限性也是顯而易見的。如果不能讓學(xué)生意識(shí)到歸納推理的局限性，久而久之會(huì)讓學(xué)生形成一個(gè)誤解：歸納推理得到的結(jié)論都是正確的。為了避免這樣的誤解產(chǎn)生，教師應(yīng)該通過(guò)強(qiáng)有力的反例來(lái)糾正學(xué)生的誤解。《美國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》就有這樣一個(gè)例子：一位教師讓學(xué)生確定在一個(gè)每邊為5 個(gè)單位（5×5）的幾何板上有多少條聯(lián)接釘子而得到不同長(zhǎng)度的線段[6]。教師引導(dǎo)學(xué)生從1×1到4×4的變化，如圖1。

學(xué)生記錄在每一個(gè)正方形中不同長(zhǎng)度的線段并注意到增長(zhǎng)的規(guī)律，如表1。

很多學(xué)生能迅速找到規(guī)律并能預(yù)測(cè)5×5 幾何板上，不同長(zhǎng)度線段的條數(shù)是（2+3+4+5）+6，即20條，但有學(xué)生通過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)：圖1 第5 種情形，線段AB 與CD 的長(zhǎng)度相等，不同長(zhǎng)度線段的總條數(shù)應(yīng)該是19，而不應(yīng)該是20，不少學(xué)生對(duì)此都感到震驚，由此，他們對(duì)歸納推理的局限性有了深刻的認(rèn)識(shí)，少了一份誤解，多了一份理性。

圖1 幾何板上的不同長(zhǎng)度的線段

表1

4.搭橋策略，糾正誤解

學(xué)生通過(guò)自己已有經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)來(lái)理解數(shù)學(xué)，他們有時(shí)會(huì)固守一些錯(cuò)誤觀念，如果能在錯(cuò)誤觀念與正確觀念搭起一座“橋梁”，或許能夠幫助他們糾正錯(cuò)誤觀念。乘法模型首先來(lái)自于自然數(shù)的“重復(fù)加法”，當(dāng)學(xué)生面對(duì)小數(shù)乘法0.75×0.25時(shí)，雖然已經(jīng)不能用“重復(fù)加法”來(lái)表示它，但學(xué)生仍然產(chǎn)生“0.75乘0.25 的結(jié)果應(yīng)該比0.75 大”這樣的誤解。為了糾正這樣的誤解，我們可以從另一個(gè)角度定義乘法，a×b=邊長(zhǎng)為a 和b 的矩形的面積，對(duì)2×3 = 6，這個(gè)6顯然是圖2 矩形的面積。0.75 除了表示一個(gè)長(zhǎng)度以外，也等于1×0.75，即圖3矩形的面積。0.75×0.25是圖3面積的，也就是圖4加粗矩形的面積，很顯然，0.75乘以0.25以后，結(jié)果要比0.75×1來(lái)得小，也就是比0.75小。

圖2

圖3

圖4

學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)運(yùn)算時(shí)，總會(huì)遇到麻煩與困惑，如分?jǐn)?shù)加法出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤，因?yàn)樽匀粩?shù)的運(yùn)算法則已經(jīng)在他們腦子里根深蒂固，即使教師告訴他們，分?jǐn)?shù)的加法與自然數(shù)的加法是不同的，應(yīng)該先通分化成同分母分?jǐn)?shù)再計(jì)算，但真正能理解的學(xué)生有多少呢？我們應(yīng)該從統(tǒng)一的角度，建立起自然數(shù)的加法與分?jǐn)?shù)的加法的聯(lián)系，不要再?gòu)淖钚」稊?shù)來(lái)講分?jǐn)?shù)加法，而是從單位相同的數(shù)才可以相加的角度，統(tǒng)一一般加法必須遵循的原則。

5.利用演示，消除誤解

另一種幫助學(xué)生消除誤解的方法就是通過(guò)互動(dòng)的課堂演示，這其中最著名的例子就是伽利略在比薩斜塔上做的“兩個(gè)鐵球同時(shí)落地”的實(shí)驗(yàn)，它糾正了一個(gè)持續(xù)了1900 多年之久的錯(cuò)誤結(jié)論。數(shù)學(xué)上教師也可通過(guò)類似的演示，如直觀演示、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和問(wèn)題解決過(guò)程等，讓學(xué)生消除誤解。問(wèn)題：一人以15 千米/小時(shí)的速度勻速騎自行車去鄉(xiāng)下，回來(lái)的路上他加快速度（仍然是勻速）到18 千米/小時(shí)，問(wèn)整個(gè)往返途中的平均速度是多少？如果學(xué)生把“平均速度”計(jì)算成兩個(gè)速度的平均值，這顯然是錯(cuò)的，計(jì)算整個(gè)往返的平均速度應(yīng)該是總路程除以總時(shí)間，現(xiàn)在又不知道兩地間的路程，我們好像被難住了。教師可以引導(dǎo)如果兩地的路程是40 千米，平均速度=，如果觀察這個(gè)結(jié)果，分子、分母同時(shí)除以40，可能發(fā)現(xiàn)平均速度=。如果兩地的路程是70 千米呢？平均速度還是對(duì)于，如果把這個(gè)問(wèn)題一般化，兩地的距離為S 呢？通過(guò)這樣的引導(dǎo)與演示，學(xué)生不但意識(shí)到該問(wèn)題的答案與兩地距離無(wú)關(guān)，而且學(xué)會(huì)了抵制錯(cuò)誤誘惑，準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)定義。

總之，為了成功地推動(dòng)理解，我們必須逆向思考，要承認(rèn)數(shù)學(xué)誤解在教育教學(xué)中的存在，通過(guò)分析表現(xiàn)找到形成數(shù)學(xué)誤解的原因，進(jìn)而找到有針對(duì)性消除數(shù)學(xué)誤解的方法和策略，最終促進(jìn)數(shù)學(xué)理解的教與學(xué)的開展。▲