形式求同存異 意蘊(yùn)但見(jiàn)不凡

郭源源

【摘 要】 三角形的中位線是初中幾何非常重要的定理教學(xué)內(nèi)容.文章以三角形中位線的幾種常見(jiàn)引入為例，分析對(duì)比其各自的優(yōu)劣，引發(fā)對(duì)教學(xué)問(wèn)題的思考.通過(guò)再思考后的再設(shè)計(jì)，達(dá)到搭建知識(shí)框架，尋找結(jié)構(gòu)路徑，利于學(xué)生理解的目的.

【關(guān)鍵詞】 課堂引入;三角形中位線;基于學(xué)生

三角形中位線是三角線中繼垂線、角平分線、中線之后又一條重要的線段，在三角形體系和四邊形體系中都有著至關(guān)重要的作用.蘇科版中，本節(jié)課是在平行四邊形體系之后學(xué)習(xí)，既是平行四邊形性質(zhì)判定深化應(yīng)用的延續(xù)，又是全面研究幾何元素位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的開(kāi)端.學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題→提出問(wèn)題→分析問(wèn)題→解決問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)了定理的一般探究過(guò)程，感悟到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，發(fā)展了數(shù)學(xué)的思維.筆者認(rèn)為本節(jié)課是定理探究課的經(jīng)典代表，其應(yīng)用在生活中得到體現(xiàn)，證明過(guò)程滲透著重要的思想方法，它的引入也成為了教學(xué)者精雕細(xì)琢、反復(fù)推敲的環(huán)節(jié).本文僅以三角形中位線的常見(jiàn)引入為例，談?wù)劰P者的實(shí)踐與感悟.

1 基于淺層經(jīng)驗(yàn)下的幾種引入

根據(jù)自己的教學(xué)經(jīng)歷，結(jié)合每一屆重新教學(xué)時(shí)對(duì)知識(shí)的再認(rèn)知過(guò)程，筆者在本節(jié)課的引入環(huán)節(jié)，先后大致設(shè)計(jì)過(guò)以下四種方式.

1.從生活情境出發(fā)——測(cè)量有障礙的兩點(diǎn)間距離

引入 如圖1，我區(qū)的花神湖兩岸上的兩棵樹(shù)，被湖水隔開(kāi)，想想辦法如何測(cè)量它們之間的距離？

分析 將教材中的定理應(yīng)用——解決實(shí)際問(wèn)題，改編成引入問(wèn)題情境，通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題→提出猜想→定理證明→運(yùn)用定理再解決引入中的問(wèn)題.這樣的做法，中位線定理的發(fā)現(xiàn)就變得很簡(jiǎn)單，課堂的引入也會(huì)很流暢.

教后反思 好比事先知道結(jié)果來(lái)鋪設(shè)道路.看似學(xué)生是從生活情境發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，其實(shí)這條路是老師給學(xué)生鋪設(shè)好的，不是真實(shí)的發(fā)現(xiàn).若把情境中的三角形隱藏（圖2），試問(wèn)學(xué)生還會(huì)想到中位線嗎？因此這種發(fā)現(xiàn)沒(méi)有實(shí)質(zhì)的意義.

2.從動(dòng)手操作開(kāi)始——三角形紙片剪拼成平行四邊形

引入 怎樣將一張三角形紙片剪成兩部分，使這兩部分能拼成一個(gè)平行四邊形？

分析 在本章平行四邊形的體系下，這樣的引入能進(jìn)一步搭建三角形中位線和平行四邊形的關(guān)系;此外本節(jié)課的難點(diǎn)之一在于中位線的證明，經(jīng)歷這種操作過(guò)程對(duì)后面定理證明有一定的聯(lián)想和提醒作用.

教后反思 嘗試之后出現(xiàn)問(wèn)題：①剪一刀拼成一個(gè)平行四邊形，普通班只有少部分學(xué)生想到沿著中點(diǎn)剪（圖3），課堂顯得很拖沓.②中位線的定理證明雖難，但證明思路卻涵蓋著很好數(shù)學(xué)思想方法.為了避開(kāi)難點(diǎn)，采用向難點(diǎn)妥協(xié)的操作提醒，一定程度上也剝奪了學(xué)生發(fā)展思維的機(jī)會(huì)，作為定理的一般探究課有些顯得不夠自然.

3.淡化概念，注重定理——直接給出中位線的概念

引入 請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)△ABC，取AB、AC的中點(diǎn)D、E，連接DE.

問(wèn)：分別測(cè)量DE和BC的長(zhǎng)度，你發(fā)現(xiàn)了什么？提出你的猜想.

分析 既然引入無(wú)法突破發(fā)現(xiàn)的真實(shí)性，那就把重點(diǎn)落在定理的探究上，淡化概念，注重定理的猜想和證明.先后經(jīng)歷畫(huà)圖→猜想→驗(yàn)證→證明的流程，筆者從自己的課堂效果看還是挺好的.延續(xù)了平行四邊形、矩形、菱形的學(xué)習(xí)套路，學(xué)生課堂的學(xué)習(xí)方向很具體清晰.

教后反思 直接按要求畫(huà)圖，缺失了發(fā)現(xiàn)的意味.雖然整體教學(xué)環(huán)節(jié)自然完整，但直接給出畫(huà)圖總感覺(jué)有些突兀.

4.注重類似概念之間的聯(lián)系——設(shè)計(jì)三角形的中線到中位線的路徑

引入 如何將三角形分成面積相等的兩部分？（圖4）

追問(wèn)1：強(qiáng)化→若要求分成面積相等的四部分，該如何操作？（圖5、圖6、圖7）

追問(wèn)2：繼續(xù)強(qiáng)化→若要求這四部分的三角形必須全等，又該如何操作？（圖8）

分析 一方面深化三角形中線等分面積的性質(zhì);另一方面中線和中位線都是三角形內(nèi)部重要的線段，由于名稱相近，初學(xué)者容易混淆兩者.這樣的從中線到中位線的引入，能起到一定的辨析作用.

教后反思 著眼于三角形知識(shí)的內(nèi)部結(jié)構(gòu).通過(guò)“中點(diǎn)”的搭配，圍繞面積相等，逐步發(fā)現(xiàn)更加特殊的中位線.但教后總覺(jué)得這種發(fā)現(xiàn)給學(xué)生的第一印象是全等，從而會(huì)淡化中位線和底邊的關(guān)系.

2 基于引入意蘊(yùn)不足下的再追問(wèn)

筆者新一輪教學(xué)中又一次開(kāi)設(shè)了中位線的公開(kāi)課，通過(guò)對(duì)知識(shí)的重新認(rèn)識(shí)和對(duì)教材的仔細(xì)研讀，追問(wèn)自己以下三個(gè)問(wèn)題：

1.為什么？

既然是三角形中重要的線段，為什么在三角形體系中沒(méi)有再接再厲去研究它，而選擇放在了四邊形體系結(jié)尾去研究？

2.要什么？

本節(jié)課到底要什么？教學(xué)意圖何在？是傳授知識(shí)讓學(xué)生僅僅會(huì)運(yùn)用一個(gè)定理，還是發(fā)展數(shù)學(xué)思維讓學(xué)生系統(tǒng)地全面地經(jīng)歷一個(gè)定理的發(fā)現(xiàn)和探究過(guò)程？是“解決問(wèn)題”還是“問(wèn)題解決”？

3.是什么？

本節(jié)課的定位是什么？概念課還是定理課？是因?yàn)橹形痪€的概念才去研究它的特殊性，還是因?yàn)檫@條線段有著和第三邊的特殊關(guān)系才去命名和研究？

3 基于問(wèn)題追問(wèn)下的再思考

只有明確且清晰的目標(biāo)意圖，才能有針對(duì)性的教學(xué)設(shè)計(jì).對(duì)于以上三個(gè)追問(wèn)筆者是這么理解的.

1.三角形體系中兩點(diǎn)構(gòu)成的線段大致可以分為三類.①由頂點(diǎn)和頂點(diǎn)連接而成的線，如三角形的三邊.②由頂點(diǎn)和邊上的點(diǎn)連接而成的線，如三角形的中線、角平分線、垂線.③由邊上的點(diǎn)和邊上的點(diǎn)連接而成的線，如中位線、垂足的連線段、角平分線交點(diǎn)的連線段、垂足和中點(diǎn)的連線段等等[1].

前兩類的思維方法背景較單一，而第三類邊上特殊點(diǎn)之間的連線種類很多，更多地側(cè)重所構(gòu)成的整體圖形里面綜合特性（如兩垂足連線的三角形相似問(wèn)題），也更加依賴一些基本圖形性質(zhì)的完善.所以不難理解第三類線段的探究不能急于求成，而是待基本圖形完善后綜合研究.

2.本節(jié)課的價(jià)值絕非是收獲一個(gè)定理這么簡(jiǎn)單，通過(guò)對(duì)三角形中相關(guān)線段的篩選發(fā)現(xiàn)特殊線段，到提出猜想、驗(yàn)證猜想，再到證明，最后應(yīng)用.讓學(xué)生完整地經(jīng)歷探究知識(shí)的過(guò)程，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)之樂(lè)，感悟數(shù)學(xué)高度的嚴(yán)謹(jǐn)性和嚴(yán)密的邏輯性，真正的理解數(shù)學(xué)的“魅力”.

3.“連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段平行于第三邊且等于第三邊的一半”，因此這條特殊的線段有必要給它起個(gè)名稱（中位線）.筆者認(rèn)為應(yīng)先定理后概念，注重在同類線段中發(fā)現(xiàn)此條線段的特殊性從而研究，而不是因?yàn)樗兄形痪€就要研究.

4 基于分析思考下的再設(shè)計(jì)

筆者上述的那些引入設(shè)計(jì)都是在課的開(kāi)端規(guī)定一個(gè)具體方向，讓學(xué)生在這個(gè)方向上輕易找到需要的那條路，然后美其名曰學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的路，其實(shí)學(xué)生仍然處于“被發(fā)現(xiàn)”的角色.有價(jià)值的發(fā)現(xiàn)應(yīng)是在框架體系內(nèi)，按照某個(gè)路徑像一張網(wǎng)一樣鋪開(kāi)找到同類目標(biāo)，再通過(guò)對(duì)比、甄別、排序最終確定本節(jié)課的研究對(duì)象.所以筆者這次課引入環(huán)節(jié)的課堂實(shí)錄如下：

師：回顧三角形的知識(shí)，你能說(shuō)出三角形中哪些重要的線段？試著畫(huà)出來(lái).（提出問(wèn)題）

生：三角形的三條邊，三角形的高、中線和角平分線.（畫(huà)圖說(shuō)明）

師：這些線段有頂點(diǎn)與頂點(diǎn)的連線，也有頂點(diǎn)與邊上的點(diǎn)的連線，請(qǐng)將其分類.（理出路徑）

生：三邊屬于頂點(diǎn)與頂點(diǎn)的連線，三線屬于頂點(diǎn)與邊上點(diǎn)的連線.（簡(jiǎn)單分類）

師：頂點(diǎn)與頂點(diǎn)、頂點(diǎn)與邊上的點(diǎn)都是產(chǎn)生三角形重要線段的路徑，還有其他的路徑嗎？在這條路徑下，你能找到哪些重要線段，畫(huà)畫(huà)看.（規(guī)劃路徑，尋找目標(biāo)）

生：邊上的點(diǎn)與邊上的點(diǎn)的連線.（確定路徑，畫(huà)圖操作）

（此處給了學(xué)生5分鐘時(shí)間畫(huà)圖，構(gòu)造的線段大致有以上幾種（圖9）.其實(shí)這幾種都是初中常見(jiàn)的經(jīng)典圖形，二圖構(gòu)成直角三角形斜邊中線，三圖是經(jīng)典相似問(wèn)題，四圖是角平分線夾角問(wèn)題.）

師：觀察這些線段，對(duì)比、交流后選擇你要研究的對(duì)象？說(shuō)出理由（對(duì)比甄別，篩選對(duì)象）

生：研究連接兩邊中點(diǎn)的線段，這條線段好像都和第三邊平行.（根據(jù)直觀，確定對(duì)象）

引入結(jié)束…

后續(xù) 畫(huà)出圖形提出猜想→一般測(cè)量驗(yàn)證猜想→已知求證規(guī)范證明→結(jié)合實(shí)際運(yùn)用定理.5 基于重新設(shè)計(jì)下的再反思

有意蘊(yùn)的引入不僅是要引出本節(jié)課要研究的知識(shí)內(nèi)容，還要讓學(xué)生體會(huì)一種搭建知識(shí)框架的方式和尋找結(jié)構(gòu)路徑的方法[2].教學(xué)者應(yīng)注重把握知識(shí)生長(zhǎng)的根系，指導(dǎo)學(xué)生架構(gòu)這種研究知識(shí)的路徑，觸發(fā)出更多的枝干，讓學(xué)生在這樣的體系下不但明白學(xué)什么？而且理解為什么是這么學(xué)？也許這樣的引入設(shè)計(jì)會(huì)延誤一些時(shí)間，也許這時(shí)學(xué)生走向發(fā)現(xiàn)的困難會(huì)更大一些，也許引出的對(duì)象有些并不是本節(jié)課的內(nèi)容，但在這樣的背景下，哪怕有一點(diǎn)發(fā)現(xiàn)，也是貨真價(jià)實(shí)的發(fā)現(xiàn)，這種借助數(shù)學(xué)內(nèi)部力量的發(fā)現(xiàn)才能伴學(xué)生走得更遠(yuǎn)，才能使學(xué)生站得更高，也才能讓學(xué)生學(xué)得更通透，從而真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思維的奧秘.

參考文獻(xiàn)

[1]尤善培.領(lǐng)悟知識(shí)意蘊(yùn)設(shè)計(jì)教學(xué)路徑[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2015（12）.

[2]卜以樓.生長(zhǎng)構(gòu)架：復(fù)習(xí)課的理念創(chuàng)新[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2016（10）