基于“認(rèn)知行為目標(biāo)”實現(xiàn)的數(shù)學(xué)教學(xué)研究

【摘 要】 在數(shù)學(xué)教學(xué)法研究范疇，基于認(rèn)知行為目標(biāo)實施教學(xué)，有助于學(xué)生增長“學(xué)得好”的能力，具體涉及知覺模仿、變式操作、表象連貫和思維自動等維度要素。通過對認(rèn)知行為目標(biāo)的設(shè)置與研究，能讓學(xué)生形成概念理解產(chǎn)生式，進而把握概念和增強學(xué)科認(rèn)知情懷。

【關(guān)鍵詞】 認(rèn)知技能;行為目標(biāo);教學(xué)研究

認(rèn)知行為目標(biāo)作為課堂活動的思維“定盤星”，是教學(xué)目標(biāo)的核心目標(biāo)，支配著師生教與學(xué)的質(zhì)量，有助于“三高課堂”（高質(zhì)量、高效率和高品質(zhì)）的有質(zhì)量發(fā)生。一般情況下，教學(xué)目標(biāo)是預(yù)期學(xué)生通過教學(xué)活動獲得的學(xué)習(xí)結(jié)果。在教學(xué)中，教學(xué)目標(biāo)有助于指導(dǎo)教師進行教學(xué)測量與評價，選擇和使用教學(xué)策略、指導(dǎo)學(xué)生有效學(xué)習(xí)等功能。教學(xué)目標(biāo)包括認(rèn)知目標(biāo)、情感目標(biāo)和行為目標(biāo)。這些目標(biāo)需要依附于課程內(nèi)容，在學(xué)習(xí)課程內(nèi)容的行為環(huán)境下，落實知識技能目標(biāo)及其目標(biāo)體系。為此，我們需要針對學(xué)生的數(shù)學(xué)行為和已有經(jīng)驗，在關(guān)注課堂細(xì)節(jié)的思維背景下，讓學(xué)生在認(rèn)知中獲得層次性行為目標(biāo)（具體見表1），進而達(dá)成認(rèn)知行為目標(biāo)，讓學(xué)生在“思考中”獲得知識技能、思想方法及其背后的學(xué)科素養(yǎng)。

一般來說，教學(xué)的細(xì)節(jié)是由課堂教學(xué)活動中學(xué)生的學(xué)習(xí)行為所決定的，這應(yīng)該是數(shù)學(xué)課堂認(rèn)知行為目標(biāo)有效確立的“方向盤”。這里的“認(rèn)知行為目標(biāo)”主要涉及知覺模仿、變式操作、表象連貫和思維自動。本文以兩節(jié)示范課為主要思維行為載體及其目標(biāo)承擔(dān)物，在“‘學(xué)字置頂”的思維環(huán)境下，使得“三學(xué)”（真學(xué)、深學(xué)和樂學(xué)）課堂目標(biāo)得以有效著陸，發(fā)展有質(zhì)量的數(shù)學(xué)課堂及其學(xué)生認(rèn)知行為的適應(yīng)性和泛在性。

實踐表明，任何認(rèn)知行為目標(biāo)的實現(xiàn)都需要課程內(nèi)容的支撐，課程教育背后的東西才是行為目標(biāo)落地的思維根基。筆者將課程內(nèi)容目標(biāo)分解為具體目標(biāo)、產(chǎn)生條件、行為標(biāo)準(zhǔn)和行為變化等支持因素，并針對課程內(nèi)容進行具體的目標(biāo)陳述和維度劃分。一般情況下，在數(shù)學(xué)課程的四個領(lǐng)域，即“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”與“綜合與實踐”，需要分別研究具體目標(biāo)的適應(yīng)性陳述、行為目標(biāo)的產(chǎn)生條件、行為目標(biāo)的行為標(biāo)準(zhǔn)、行為目標(biāo)的行為變化。這里主要圍繞“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的內(nèi)容，結(jié)合具體目標(biāo)、產(chǎn)生條件、行為標(biāo)準(zhǔn)和行為變化因素，進行有序的清樣性實踐研究，使得學(xué)生的認(rèn)知行為目標(biāo)能有效達(dá)成。事實上，任何一節(jié)好的數(shù)學(xué)課，過程性學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成，都是在認(rèn)知技能目標(biāo)有效達(dá)成的支配下完成的。就這一認(rèn)識來說，研究行為目標(biāo)的過程就是落實知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決以及情感態(tài)度目標(biāo)的思維綜合，一方面有助于學(xué)生課程素養(yǎng)的培育，另一方面有助于教師提升課程能力，其研究意義可見一斑。

1 知覺模仿，認(rèn)知行為目標(biāo)實現(xiàn)的“思維踏板”

在認(rèn)知心理學(xué)研究范疇，知覺是表象產(chǎn)生的思維前提、是感覺思維的綜合。知覺模仿是學(xué)生認(rèn)知心理發(fā)生的第一道思維工序，是認(rèn)知技能目標(biāo)實現(xiàn)的教學(xué)起點和思維踏板。比如，數(shù)學(xué)認(rèn)知行為中的“舉一反三”，就是知覺模仿的思維踏板。進一步來說，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中這樣的發(fā)問，“你能再舉出一些類似的例子嗎？”“以前，我們使用這種思想方法還研究過哪些內(nèi)容？”“你能再寫出幾個具有類似特征的式子嗎？”等。這些都是知覺模仿的學(xué)習(xí)行為表現(xiàn)，有助于概念本質(zhì)特征的抽象與把握，有助于學(xué)生知其然和知其所以然，進而在知覺模仿中實現(xiàn)認(rèn)知技能目標(biāo)的層級與緩存。

當(dāng)然，通常情況下，“知覺”是學(xué)生通過感官，對動作、物體、性質(zhì)或關(guān)系等意識能力，以及進行心理、軀體和情緒等預(yù)備調(diào)節(jié)能力（如表現(xiàn)出外部的感覺動作），“知覺模仿”是學(xué)生獲得知識技能不可或缺的思維通道，是學(xué)生獲得心智技能的思維基礎(chǔ)。因此，教學(xué)目標(biāo)的確立必須遵循學(xué)生的年齡特征、認(rèn)知規(guī)律以及已有經(jīng)驗，方能讓學(xué)生在知覺模仿中獲得真正的認(rèn)知發(fā)展。正如奧蘇貝爾的教育信念，“學(xué)生知道了什么，要探明這一點，并以此進行教學(xué)”[1]才是原本應(yīng)有的教學(xué)起點。就這一認(rèn)識來說，學(xué)習(xí)目標(biāo)是學(xué)生思維行為的指南針，學(xué)習(xí)目標(biāo)的確立需要以學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”和“思維事實”為根據(jù)，這樣才能讓學(xué)生得到應(yīng)有的良好發(fā)展，也才能有效落實人人獲得良好數(shù)學(xué)教育的課程目標(biāo)。

例如，我們在研究平方根起始概念的教學(xué)時，源于平方根的認(rèn)知行為發(fā)生是以勾股定理及其逆定理為前提條件的，起到思維層面的承上啟下作用，是鏈接“乘方”與“開方”關(guān)系的思維橋梁。目標(biāo)的確立需要基于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗和數(shù)學(xué)建模行為，因此，確立的具體目標(biāo)是：在具體活動中，讓學(xué)生經(jīng)歷平方根概念的抽象過程，知道平方根的意義，會用符號表示一個非負(fù)數(shù)的平方根，獲得描述與表征概念的能力;通過具體的概念辨析活動，知道平方根的性質(zhì)，并在使用平方根的概念行為中，獲得深度理解概念的能力。這也為后續(xù)無理數(shù)以及實數(shù)概念的理解做好鋪墊，增強學(xué)生把握概念的能力，以及知覺思維的正本清源能力，這就是認(rèn)知行為目標(biāo)的適應(yīng)與定位。換言之，課堂行為目標(biāo)的確立，必須能讓好學(xué)生跳一跳夠得到，思維比較薄弱的學(xué)生也能有話可說、有事可做，獲得應(yīng)知應(yīng)會的個性發(fā)展。

一般情況下，為了落實知覺模仿目標(biāo)，還需要做好以下兩個層面的工作：第一是讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)與代數(shù)的抽象過程，落實知覺初始狀態(tài)的模仿目標(biāo)。比如，讓學(xué)生求出一個邊長為3和4的直角三角形的第三邊長的問題。經(jīng)歷這個問題的解決，學(xué)生能切身感受第三邊（可能是5或者是無理數(shù)34）不是有理數(shù)的情況，這就引發(fā)學(xué)生獲得新知的內(nèi)在迫切性和內(nèi)驅(qū)性，這就是良好的思維開端。一方面能讓學(xué)生的思維與“面積為2的正方形的邊長問題”直接銜接，另一方面能讓學(xué)生在分類思想的作用下獲得問題解決的基本方法和基本套路，同時還能讓學(xué)生形成一種飽滿的思維需求，迫切求探概念的來龍去脈，這就是最好的內(nèi)驅(qū)思維行為。第二是讓學(xué)生在概念發(fā)生中形成一定狀態(tài)的模型能力，落實可觀察和可測量的具體行為目標(biāo)，這是認(rèn)知目標(biāo)得以實現(xiàn)的教學(xué)起點。比如寫出、列出、解答等，旨在說明做什么。

2 變式操作，認(rèn)知行為目標(biāo)實現(xiàn)的“預(yù)備思維”

變式教學(xué)是中國數(shù)學(xué)教育的良好傳統(tǒng)，有助于認(rèn)知技能目標(biāo)的形成，為中國數(shù)學(xué)教育的發(fā)展做出了不可或缺的貢獻(xiàn)。尤其在“圖形與幾何”領(lǐng)域發(fā)揮的作用更為巨大，一方面表現(xiàn)在圖形的運動與變化及其性質(zhì)探討維度，通過變化物體的位置或數(shù)量關(guān)系，實現(xiàn)對概念本質(zhì)屬性的把握。比如，我們在研究“平行四邊形”的性質(zhì)時，讓學(xué)生畫出一個平行四邊形，在度量思維的幫助下，獲得“平行四邊形的對角線互相平分”“平行四邊形的對邊平行且相等”的性質(zhì)，就是一種變式操作的生動樣例，突出了“畫→量→個體經(jīng)驗→公共經(jīng)驗”的“變式+操作”的物理屬性的思考過程。另一方面是表現(xiàn)在圖形的抽象與分類層面，比如，我們用吸管“搭三角形”，在具體變式操作中，能讓學(xué)生感知“最短兩邊的和大于最長邊就能搭成一個三角形”以及搭成直角三角形的條件就是“較短兩邊的平方和等于第三邊的平方”以及搭成等腰三角形的條件（略）。這就使得分類思想在變式操作中得以生長，突出了“母分類→子分類”的特征，有助于概念屬性的層層外顯，為認(rèn)知行為目標(biāo)的實現(xiàn)提供了預(yù)備思維，提升了行為目標(biāo)的動作指向性及其思維結(jié)果的科學(xué)狀態(tài)。

當(dāng)然，變式操作本身就是一種行為目標(biāo)的實現(xiàn)狀態(tài)，規(guī)定著學(xué)生行為產(chǎn)生的條件，支配著學(xué)生的思維行為及其思維運動方向，能為學(xué)生獲得概念的本質(zhì)積累心理經(jīng)驗。數(shù)學(xué)教學(xué)中，這樣的提問就是一種內(nèi)驅(qū)認(rèn)知條件發(fā)生的變式操作，即你能從這些圖片中發(fā)現(xiàn)了什么？旨在說明在什么條件下做或怎樣做?；谶@一認(rèn)識，并不是所有的變式操作都能促進學(xué)生的認(rèn)知技能目標(biāo)的達(dá)成，只有基于學(xué)生的經(jīng)驗心理水平，方能讓學(xué)生獲得應(yīng)知應(yīng)會的發(fā)展以及力所能及的發(fā)展。因此，在變式操作層面需要做好三個維度的工作。一是外源變式，讓學(xué)生經(jīng)歷概念屬性的提煉過程;二是內(nèi)源變式，讓學(xué)生經(jīng)歷概念非本質(zhì)屬性的“去偽”過程，實現(xiàn)對概念本質(zhì)特征的把握;三是概括表征，讓學(xué)生在概括中獲得認(rèn)知技能，在表征中獲得概念本質(zhì)，進而實現(xiàn)對概念的工具性理解。

比如，我們在研究“一次函數(shù)的圖像”這一內(nèi)容時，就是突出“變式操作”特征，落實預(yù)備思維目標(biāo)的鋪墊。具體來說，首先，讓學(xué)生觀察蠟燭燃燒的狀態(tài)，并進行靜態(tài)的抽象，感知一次函數(shù)的圖像是一條直線這一結(jié)論;其次，讓學(xué)生通過“列表→畫圖→描點→連線”等系列性思維層面的變式操作，讓學(xué)生驗證猜想的結(jié)論;最后，讓學(xué)生任意寫一個一次函數(shù)表達(dá)式，并畫出該函數(shù)圖像，經(jīng)過思維的聚焦與概括，結(jié)合已有的“兩點確定一條直線”的幾何經(jīng)驗，抽象出一次函數(shù)圖像的畫法，即用解方程的方法確立坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)，即可畫出一次函數(shù)的圖像，而確立原點和橫坐標(biāo)為1的點的坐標(biāo)，即可畫出正比例函數(shù)的圖像，進而真正把握“一次函數(shù)圖像是一條直線”的結(jié)論。

如果把“蠟燭燃燒”的圖像看成是一條直線，是一種工具性概念理解，那么變式畫圖則是認(rèn)知技能目標(biāo)實現(xiàn)的變式行為，思維分類則是一種行為表征與行為概括。毋容置疑，所有數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)都必須經(jīng)歷變式教學(xué)，才能讓學(xué)生在不斷的變式思維中把握概念的本質(zhì)特征?；谶@一認(rèn)識，外源變式是一種數(shù)學(xué)直觀，內(nèi)源變式是一種思維抽象、表征以及分類，有助于概念從“工具性理解”到“關(guān)系性理解”[2]的把握，這就是認(rèn)知技能獲得的思維基礎(chǔ)，鋪墊了概念認(rèn)知的思維地基。

3 表象連貫，認(rèn)知行為目標(biāo)實現(xiàn)的“度量標(biāo)尺”

在數(shù)學(xué)教學(xué)法范疇，表象是概念特征在人腦中形成的一種思維形象。表象連貫是認(rèn)知技能目標(biāo)得以實現(xiàn)的一種法定尺度，有助于概念關(guān)系的建立及其概念的關(guān)系性理解。有如我們既要讓學(xué)生理解“古典概型”（用頻率估計概率，拋擲一枚硬幣，正面朝上和反面朝上的可能性都是0.5），也要讓學(xué)生理解“幾何概型”（超市有獎轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動，指針指向獲獎區(qū)域的概率就是“幾何概型”的一個例子），這樣才能在分析數(shù)據(jù)中實現(xiàn)對概念的整體把握，進而落實數(shù)據(jù)分析觀念的培養(yǎng)目標(biāo)。當(dāng)然，表象連貫本身就是一種整體思維，是整體與局部的哲學(xué)關(guān)系，是抽象與具體的兩個方面。在概念認(rèn)知范疇，連貫是按照規(guī)定順序和協(xié)調(diào)要求，去調(diào)整行為、動作等能力（如，準(zhǔn)確規(guī)范地畫圖）。這里的連貫是指對局部概念的綜合與概括，形成整體概念或系統(tǒng)概念。比如，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，我們常這樣發(fā)問，“你是怎么知道的？”“舉例說明你對概念的理解”“下一步，還需要怎樣做？”“還有沒有其他的方法或者更優(yōu)化的方法？”這種讓學(xué)生經(jīng)歷在實際問題中收集和處理數(shù)據(jù)、利用數(shù)據(jù)分析問題、獲取信息的過程，就是概念表象得以連貫的行為表征，有助于概念特征的立體把握。

當(dāng)然，概念表象連貫的水平，自身無法掌控，都是依靠對認(rèn)知技能目標(biāo)實現(xiàn)的水平來顯化。換句話說，表象連貫是一種內(nèi)隱的知識或者說緘默的知識，需要通過認(rèn)知技能目標(biāo)達(dá)成的結(jié)果狀態(tài)來認(rèn)證。就這一認(rèn)識來說，表象連貫是衡量認(rèn)知技能目標(biāo)達(dá)成的法定標(biāo)尺。比如，在課堂教學(xué)過程中，我們常常提出符合每一個學(xué)生的行為要求的行為標(biāo)準(zhǔn)，在試卷講評課上，要求大家交流5分鐘、指出每道題考查哪個概念、方法，每道題的思想原型是什么？這些思維連貫的標(biāo)準(zhǔn)呈現(xiàn)，旨在說明怎么做或者說做什么等問題。就表象連貫層面來說，我們需要做好三個層面的工作：一是設(shè)置先行組織者，讓學(xué)生在概念銜接中，實現(xiàn)對概念結(jié)構(gòu)的認(rèn)知把握;二是設(shè)置問題鏈，讓學(xué)生在整體思維的幫助下，落實變換角度看問題的能力;三是問題解決，讓學(xué)生在提出問題和分析問題中，獲得對概念的使用與解釋。

比如，我們在研究“一次函數(shù)的圖像”的使用與解釋時，首先是讓學(xué)生舉例說明一次函數(shù)圖像的特征（一次函數(shù)的圖像是一條直線），并用“兩點法”畫出該函數(shù)圖像;其次是讓學(xué)生在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出一次函數(shù)y=2x+1、y=2x和y=2x-1的圖像，然后在觀察與交流的背景下，抽象概括這些一次函數(shù)圖像有怎樣的位置特征，并概括出一般性的結(jié)論（k值相同，b值不同的一次函數(shù)的圖像具有平行的位置關(guān)系）;最后是讓學(xué)生任意寫出兩個簡單的一次函數(shù)表達(dá)式，畫出圖像，并計算兩條直線與橫軸圍成的三角形的面積（k值不同，兩條直線相交于一點，在解方程的背景下，該點的縱坐標(biāo)就是所圍成的三角形的高，于是三角形的面積不難求）。并追問：經(jīng)歷上述活動，你獲得了哪些結(jié)論，用語言描述你的發(fā)現(xiàn)。

如果說，“寫→畫”是一種先行組織者，那么“畫圖→探討位置關(guān)系”則是問題鏈的表現(xiàn)形式，則“寫出→畫圖→計算→一般性的結(jié)論”是問題解決的通用技術(shù)，能讓學(xué)生在問題解決中經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程，實現(xiàn)對概念的解釋和使用，形成一般化結(jié)論，使得概念的結(jié)構(gòu)性知識轉(zhuǎn)化為概念的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這就是表象連貫的外在表現(xiàn)。在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出，基于學(xué)生的已有經(jīng)驗，創(chuàng)設(shè)問題，讓學(xué)生經(jīng)歷解決實際問題的過程，抽象出數(shù)學(xué)模型，并對結(jié)果進行討論與解釋，這就是概念表象連貫的例子。換句話說，讓學(xué)生在建立模型的過程中，實現(xiàn)對模型的解釋與遷移，這就是認(rèn)知行為目標(biāo)得以實現(xiàn)的具體表現(xiàn)。

另外，自動思維是“學(xué)為中心”課堂教學(xué)的表現(xiàn)形式，是學(xué)生自主研修能力獲得的關(guān)鍵行為，是認(rèn)知行為目標(biāo)得以實現(xiàn)的外在標(biāo)志。一般情況下，學(xué)生自發(fā)或自覺地行動能力（自然穩(wěn)定的行為就是思維自動表現(xiàn)），也就是學(xué)生能下意識地、有效率地將各部分動作協(xié)調(diào)一致地操作。比如，在數(shù)學(xué)實驗過程中，學(xué)生能依據(jù)實驗步驟和實驗內(nèi)容，有序地進行操作與交流，這就是思維自動的常見形式。一方面有助于學(xué)生獲得自學(xué)能力和體驗基本思維方式;另一方面，能讓學(xué)生在思維自動中獲得對概念關(guān)系的理解，即從概念的工具性理解到概念的關(guān)系性理解，也才能讓學(xué)生把握“完形概念”，走向?qū)W好數(shù)學(xué)的美好未來。

參考文獻(xiàn)

[1]胡秀明.思維悟中長，素養(yǎng)自然成——以“相似三角形”復(fù)習(xí)課為例[J].中國數(shù)學(xué)教育，2018（12）：33-37.

[2]馬復(fù).試論數(shù)學(xué)理解的兩種類型——從R.斯根普的工作談起[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2001，10（3）：50-51.作者簡介 許禮光（1963—），男，江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社基礎(chǔ)教育分社主任、蘇科版初中《數(shù)學(xué)》教材責(zé)任編輯、副編審，主要從事初中數(shù)學(xué)教材編寫、數(shù)學(xué)教學(xué)論、數(shù)學(xué)實驗理論與實踐研究。