指向思維培養(yǎng)的問題設(shè)計(jì)

何萍

【摘 要】 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐步形成的，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)目標(biāo)是改善學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).剖析動(dòng)點(diǎn)解題思維難點(diǎn)，以動(dòng)點(diǎn)問題教學(xué)為例闡述指向思維培養(yǎng)的問題設(shè)計(jì)：從發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視角出發(fā)，以核心問題引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生數(shù)學(xué)問題的過程，探究圖形、數(shù)量、位置的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，讓學(xué)生逐步積累數(shù)學(xué)思維的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生探究能力.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);思維;基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);探究能力

動(dòng)點(diǎn)問題是近幾年中考熱點(diǎn)，以幾何知識(shí)和具體的幾何圖形為背景，通過點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)或圖形的變換，滲透運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)的一類問題，常常集幾何、數(shù)與式、方程與函數(shù)于一身，有著極強(qiáng)的綜合性，包含著豐富的數(shù)學(xué)思想與方法，考察學(xué)生的空間想象能力與演繹推理能力，有益于培養(yǎng)學(xué)生的思維尤其是創(chuàng)造性思維.

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新能力是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中概念的形成、結(jié)論的推導(dǎo)、方法的思考、問題的發(fā)現(xiàn)和提出、規(guī)律的揭示和證明、習(xí)題的解決等過程都是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的極好機(jī)會(huì).如何挖掘這些內(nèi)容的思維因素，怎樣培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平應(yīng)達(dá)到何種程度等，教師對(duì)此要有所思考.筆者結(jié)合實(shí)踐，以動(dòng)點(diǎn)問題教學(xué)為例，提出核心素養(yǎng)視角下問題設(shè)計(jì)的思考.

1 動(dòng)點(diǎn)解題難點(diǎn)分析

1.1 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)帶來的空間幾何圖形想象的困難

所謂動(dòng)點(diǎn)問題是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們?cè)谥本€上或曲線上運(yùn)動(dòng)，構(gòu)造出新的圖形，并進(jìn)一步通過圖形變換產(chǎn)生更多圖形.由于運(yùn)動(dòng)過程不能依托直觀工具展現(xiàn)，只能憑借學(xué)生想象，對(duì)空間想象能力較弱的學(xué)生來說，存在空間想象運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和幾何圖形的困難.尤其是學(xué)習(xí)初期，如果不及時(shí)突破這個(gè)難點(diǎn)，會(huì)造成學(xué)習(xí)興趣和信心的丟失，為后續(xù)學(xué)習(xí)帶來障礙.

1.2 遺漏對(duì)點(diǎn)的位置分類

在動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，觀察圖形的變化情況，需要理解圖形在不同位置的情況，才能做好后續(xù)計(jì)算推理的過程.這一過程，往往隨著動(dòng)點(diǎn)與靜止的點(diǎn)的相對(duì)位置不同，產(chǎn)生分類.在教學(xué)實(shí)踐中，我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)分類的討論模糊，不明白什么時(shí)候分類，如何分類，經(jīng)常遺漏分類情況.

1.3 難以在運(yùn)動(dòng)變化中找到不變的性質(zhì)

動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程復(fù)雜，其中蘊(yùn)含了數(shù)量、圖形、位置上的變化.學(xué)生害怕動(dòng)點(diǎn)問題，難在學(xué)生無法穿越動(dòng)態(tài)而抓住解決問題的關(guān)鍵，即在運(yùn)動(dòng)變化中找到不變的性質(zhì)和規(guī)律.這是動(dòng)態(tài)幾何問題最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì)，也是重要的函數(shù)思想.不少教師告訴學(xué)生解決動(dòng)點(diǎn)問題要“動(dòng)中取靜”，建立方程、函數(shù)模型，可是如何動(dòng)中取靜，如何明晰是哪一種數(shù)學(xué)模型，如何建立數(shù)學(xué)模型，這些都需要學(xué)生積累思維的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，才能學(xué)會(huì)分析和解決.

2 “梯形背景下的動(dòng)點(diǎn)探究”的問題設(shè)計(jì)

1.問題設(shè)計(jì)呈現(xiàn)

情境：如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AD=25cm，AB=12cm，BC=16cm，現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P以3cm/s的速度從點(diǎn)A→D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以2cm/s的速度從點(diǎn)C→B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）.

活動(dòng)1 教師引導(dǎo)審題.

問題1：觀察P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑，哪個(gè)點(diǎn)先到達(dá)？到達(dá)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)在什么位置？

問題2：在這個(gè)運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)，哪些量不變，哪些量變？

問題3：你能得到哪些結(jié)論？

問題4：你選擇哪些變量為研究對(duì)象？你是如何選擇？結(jié)合P、Q的運(yùn)動(dòng)路徑，你想研究變量的哪些方面？

說明 問題1啟發(fā)學(xué)生關(guān)注觀察動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間和運(yùn)動(dòng)范圍，問題2、3和4，引導(dǎo)學(xué)生分析在運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)，哪些不變，哪些變，讓學(xué)生先提出，教師一一羅列.不變的量可以先求出來，如梯形ABCD的面積、周長(zhǎng)，CD長(zhǎng)等.重點(diǎn)要關(guān)注變的量.這個(gè)過程中，PQ在變，梯形ABQP和梯形PQCD的面積在變，但和不變，可以選擇其中一個(gè)面積去研究.這樣，確定兩個(gè)變量，PQ和梯形面積，去研究有關(guān)動(dòng)點(diǎn)的數(shù)量和圖形問題，從而思考從哪些角度提出新問題.

活動(dòng)2 關(guān)注PQ的變化

問題1：在這個(gè)過程中，PQ長(zhǎng)度變化的趨勢(shì)是怎樣？∠QPD變化的趨勢(shì)是怎樣？你能發(fā)現(xiàn)哪些特殊情況？

問題2：根據(jù)問題1，你想解決哪些數(shù)學(xué)問題？提出問題并選擇其中一個(gè)進(jìn)行解決.

學(xué)生提出了如下新問題：PQ的取值范圍是什么？什么時(shí)候PQ取到最小值？什么時(shí)候PQ⊥CD？什么時(shí)候PQ∥CD（平行四邊形PDCQ）？什么時(shí)候PQ=CD？什么時(shí)候得到矩形ABPQ？……

說明 抓住變量PQ研究動(dòng)點(diǎn)問題，首先要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注PQ的變化是一個(gè)什么樣的變化，PQ的位置在變，PQ的數(shù)量在變.如果研究PQ的數(shù)量變化，那么首先要弄清PQ在運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)變化的趨勢(shì).通過畫圖感受PQ在運(yùn)動(dòng)中變短又變長(zhǎng)，自然地，學(xué)生想解決PQ的取值范圍和PQ的最小值.如果研究PQ的位置變化，即研究PQ與AD相交的角度變化，考慮直線PQ的角度的轉(zhuǎn)動(dòng).初始位置時(shí)∠QPD是一個(gè)銳角，轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，∠QPD從銳角到直角到鈍角，學(xué)生自然想解決有關(guān)PQ的特殊位置問題，其中，提出研究PQ∥CD，PQ⊥CD比研究PQ⊥CB，PQ∥AB有意義.

活動(dòng)3 關(guān)注梯形PQCD面積的變化

問題1：在這個(gè)過程中，梯形PQCD的面積怎么變化？請(qǐng)說明理由.

問題2：根據(jù)問題1，你能發(fā)現(xiàn)哪些特殊情況，從而提出想解決的數(shù)學(xué)問題？并選擇其中一個(gè)進(jìn)行解決.

在問題1的解決中，學(xué)生分別從數(shù)和形兩個(gè)角度分析梯形PQCD的面積的變化情況.從數(shù)的角度，列出梯形PQCD的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式：S=（2t+25-3t）×122=150-6t，從函數(shù)關(guān)系中看出面積變小，面積變化的范圍是102≤S≤150;從形的角度，根據(jù)梯形PQCD的面積公式，高是確定的，面積的變化由上底和下底的和的變化決定，由于Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度比P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度慢，所以上底和下底的和逐步減少，由此推斷面積變小.然后，學(xué)生分別提出了下列問題進(jìn)行求解：梯形PQCD的面積的最小值是多少？何時(shí)PQ平分梯形ABCD面積？何時(shí)得到等腰梯形PQCD？……

說明 抓住面積研究動(dòng)點(diǎn)問題，選取梯形PQCD的面積，首先考慮在這個(gè)運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)，面積怎么變化？其次，在面積從大到小的過程中，梯形PQCD的面積有沒有可能是梯形ABCD面積的一半？觀察運(yùn)動(dòng)過程，梯形PQCD的面積與梯形ABCD面積的關(guān)系，從原來大于梯形ABCD面積的一半到后來小于梯形ABCD面積的一半，那么中間必然有等于梯形ABCD面積的一半的時(shí)刻，即存在梯形PQCD的面積是梯形ABCD面積一半的可能性，然后再去解決問題.在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，有沒有出現(xiàn)等腰梯形，即PQ=CD的情況？根據(jù)PQ的取值范圍，除去平行四邊形這種可能性后，判斷15在不在這個(gè)范圍內(nèi)，即有沒有可能相等.

活動(dòng)4 探索新問題

問題：如果改變上述Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，將“從點(diǎn)C→B運(yùn)動(dòng)”改為“從點(diǎn)D→C→B運(yùn)動(dòng)”（圖2），你還能提出哪些不同的新問題？

學(xué)生提出了一些新的問題并進(jìn)行求解驗(yàn)證：何時(shí)PQ⊥CD？何時(shí)得到Rt△PQD？是否存在等腰（等邊）三角形PDQ？何時(shí)PQ∥AC？何時(shí)PQ⊥BD？何時(shí)PQ存在最小值，此時(shí)最小值是多少？△PQD的面積與t的函數(shù)關(guān)系式？△PQD的面積是否有最大值，是多少？何時(shí)，以PQ為直徑的圓與梯形ABCD的邊相切？……

說明 改變Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)觀察動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑和產(chǎn)生的圖形、數(shù)量關(guān)系的過程分析，進(jìn)一步提出有關(guān)圖形、數(shù)量上的問題，并解決問題，突出動(dòng)點(diǎn)問題解決策略的教學(xué).比較活動(dòng)2、3，活動(dòng)4引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生分類的原因，為什么分類，何時(shí)分類，如何分類，保證思維的嚴(yán)密性，從而化解動(dòng)點(diǎn)問題中的分類情況這一教學(xué)難點(diǎn).觀察圖2，首先描述P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑，確定運(yùn)動(dòng)范圍：P點(diǎn)先到達(dá)D點(diǎn)，到達(dá)時(shí)，Q點(diǎn)到達(dá)離C點(diǎn)53cm處.在這個(gè)運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)，出現(xiàn)了轉(zhuǎn)折點(diǎn)C點(diǎn)，關(guān)注Q點(diǎn)什么時(shí)候轉(zhuǎn)折，此時(shí)P點(diǎn)的位置在哪里？由點(diǎn)的位置不同分成兩種情況：Q在CD上和Q在CB上.再去關(guān)注特殊情況提出問題.在求解“何時(shí)得到Rt△PQD”，“等腰三角形PDQ”，“以PQ為直徑的圓與梯形ABCD的邊相切”也需要進(jìn)行分類討論.

活動(dòng)5 課堂小結(jié)

問題：通過上述活動(dòng)，你獲得了哪些經(jīng)驗(yàn)？

說明：引導(dǎo)學(xué)生歸納動(dòng)點(diǎn)問題解決的一般路徑，構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)（圖3）.

3 指向思維培養(yǎng)的問題設(shè)計(jì)思考

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中將數(shù)學(xué)表述為“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”，提出數(shù)學(xué)研究在本質(zhì)上是研究與數(shù)量或者圖形有關(guān)的東西.隨著落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo)的提出，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)越來越突出對(duì)學(xué)生探究能力的考查，往往抓住等量關(guān)系、變量關(guān)系、圖形形狀的特殊狀態(tài)、圖形間的特殊關(guān)系等進(jìn)行研究考察.在變化過程中存在的等量關(guān)系、變量關(guān)系是分析的難點(diǎn).從發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視角出發(fā)，設(shè)計(jì)核心問題研究動(dòng)點(diǎn)教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷由點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生數(shù)學(xué)問題的過程，提出問題并驗(yàn)證問題的合理性，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，發(fā)展學(xué)生的探究能力，為動(dòng)點(diǎn)教學(xué)另辟蹊徑.

鄭毓信指出，重視“核心問題”的提煉，即如“核心問題指向所學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，通過它，學(xué)生能理解所學(xué)知識(shí)的要點(diǎn);核心問題是整合數(shù)學(xué)內(nèi)容的關(guān)鍵和重點(diǎn)，其它問題由它派生出來，并與它有著內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，通過它，學(xué)生能實(shí)現(xiàn)知識(shí)的整體建構(gòu);核心問題是思考的動(dòng)力，是知識(shí)學(xué)習(xí)的大綱，提煉核心問題，要在知識(shí)理解的關(guān)鍵”[1].從發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視角出發(fā)，那么動(dòng)點(diǎn)教學(xué)的核心問題應(yīng)該是，通過某個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題的解決，提煉歸納出動(dòng)點(diǎn)問題的一般思考方法，使學(xué)生掌握舉一反三解決問題的能力，并獲得思考數(shù)學(xué)問題的一般結(jié)構(gòu)和方法.

我們先來分析動(dòng)點(diǎn)問題的解答過程.清晰運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和路徑是分析問題的第一步，然后，清晰哪些量引起了圖形或數(shù)量關(guān)系的變化，找到變化中的規(guī)律性，即不變的本質(zhì)，然后構(gòu)建合適的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解決.在這個(gè)解答過程中，首先是探究一個(gè)具體問題的存在性，其次才是求解這個(gè)問題.如何設(shè)計(jì)核心問題從而達(dá)到教學(xué)目的？怎么讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和提出新問題，這些問題是怎么產(chǎn)生，提出的問題是否合理，怎么去驗(yàn)證猜想的合理性，教師通過問題設(shè)計(jì)要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)此進(jìn)行探索和體驗(yàn).案例中的活動(dòng)1問題的設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程，確定變量，活動(dòng)2、3的問題設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷求變化中的范圍和研究特殊數(shù)量關(guān)系和特殊位置，從而體會(huì)研究特殊情況是發(fā)現(xiàn)新問題的重要途徑，活動(dòng)4問題的設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用前面的發(fā)現(xiàn)、提出、解決問題策略在新情境中的運(yùn)用.這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，與簡(jiǎn)單的講解法比較，可以讓學(xué)生體會(huì)到動(dòng)點(diǎn)問題中滲透的“一般性”（函數(shù)思想）和“特殊性”（方程思想）的關(guān)系，使得發(fā)現(xiàn)和提出問題的認(rèn)知過程有序、合理，培養(yǎng)學(xué)生良好的動(dòng)點(diǎn)思維習(xí)慣，發(fā)展幾何直觀.

數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)思維的動(dòng)力，并為思維指出了方向，數(shù)學(xué)思維的過程就是不斷地提出問題、解決問題的過程，提出問題是探索活動(dòng)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，同時(shí)也為更深入的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)提供動(dòng)力和規(guī)劃方向.章建躍教授指出，數(shù)學(xué)教學(xué)要使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，特別是學(xué)會(huì)“有邏輯地思考”、創(chuàng)造性思考.所以，數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)要發(fā)揮“一般觀念”的引領(lǐng)作用，以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，整體構(gòu)建研究新的一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的研究思路，在解決問題過程中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[2].基于此，動(dòng)點(diǎn)教學(xué)的目的不僅僅是教會(huì)學(xué)生去解這個(gè)題目，而是通過某個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題的解決，提煉歸納出動(dòng)點(diǎn)問題的一般思考方法，使學(xué)生掌握舉一反三解決問題的能力，并獲得思考數(shù)學(xué)問題的一般結(jié)構(gòu)和方法.解題盡管有促進(jìn)理解的功效，但卻代替不了知識(shí)的整體理解和整體加工處理，代替不了知識(shí)的綜合和提煉。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是隱性的，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展必須內(nèi)化在思維活動(dòng)中.在觀察基礎(chǔ)上，從最簡(jiǎn)單問題入手，逐步猜想和發(fā)現(xiàn)，不斷檢驗(yàn)和修正，感悟問題的核心和問題之間的聯(lián)系，并學(xué)會(huì)演繹地證明，經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間積累后形成思維模式.進(jìn)而使其建立一定的數(shù)學(xué)直覺，能夠直覺到數(shù)學(xué)關(guān)系，一眼“看”出數(shù)學(xué)的結(jié)果，即由條件“看”出結(jié)果、由結(jié)果“看”出條件。這種“看”是一種直觀判斷能力，是學(xué)生未來創(chuàng)造的基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)

[1]鄭毓信.“問題意識(shí)”與數(shù)學(xué)教師的專業(yè)成長(zhǎng)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（5）：1-6.

[2]章建躍.樹立課標(biāo)意識(shí) 落實(shí)核心素養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2016，55（5）：1-4.